הפעולה הבאה שניתן לבצע עם שברים רגילים היא חיסור. כחלק מחומר זה נשקול כיצד לחשב נכון את ההפרש בין שברים בעלי מכנים זהים ושונים, כיצד להחסיר שבר ממספר טבעי ולהיפך. כל הדוגמאות יומחשו במשימות. נבהיר מראש שננתח רק מקרים שבהם הפרש השברים מביא למספר חיובי.
Yandex.RTB R-A-339285-1
כיצד למצוא את ההבדל בין שברים עם אותו מכנה
נתחיל מיד עם דוגמה ממחישה: נניח שיש לנו תפוח שחולק לשמונה חלקים. נשאיר חמישה חלקים בצלחת וניקח שניים מהם. את הפעולה הזו אפשר לכתוב כך:
בסופו של דבר נקבל 3 שמיניות כי 5 − 2 = 3 . מסתבר ש5 8 - 2 8 = 3 8 .
עם הדוגמה הפשוטה הזו, ראינו בדיוק כיצד פועל כלל החיסור עבור שברים עם אותם מכנים. בואו ננסח את זה.
הגדרה 1
כדי למצוא את ההבדל בין שברים עם אותם מכנים, צריך להחסיר את המונה של אחד מהמונה של השני, ולהשאיר את המכנה אותו הדבר. את הכלל הזה אפשר לכתוב כ- b - c b = a - c b .
נשתמש בנוסחה זו בהמשך.
בואו ניקח דוגמאות ספציפיות.
דוגמה 1
הורידו מהשבר 24 15 את השבר הנפוץ 17 15 .
פִּתָרוֹן
אנו רואים שלשברים אלו יש את אותם מכנים. אז כל מה שאנחנו צריכים לעשות זה להחסיר 17 מ-24. נקבל 7 ונוסיף לו מכנה, נקבל 7 15 .
ניתן לכתוב את החישובים שלנו כך: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15
במידת הצורך, אתה יכול להפחית שבר מורכב או להפריד את כל החלק מחלק לא תקין כדי להפוך אותו לנוח יותר לספור.
דוגמה 2
מצא את ההבדל 37 12 - 15 12 .
פִּתָרוֹן
בואו נשתמש בנוסחה שתוארה לעיל ונחשב: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12
קל לראות שאפשר לחלק את המונה והמכנה ב-2 (כבר דיברנו על זה קודם כשניתחנו את סימני ההתחלקות). מצמצמים את התשובה, נקבל 11 6 . זהו שבר לא תקין, שממנו נבחר את כל החלק: 11 6 \u003d 1 5 6.
כיצד למצוא את ההבדל בין שברים עם מכנים שונים
ניתן לצמצם פעולה מתמטית כזו למה שכבר תיארנו לעיל. לשם כך, פשוט הביאו את השברים הרצויים לאותו מכנה. בואו ננסח את ההגדרה:
הגדרה 2
כדי למצוא את ההבדל בין שברים שיש להם מכנים שונים, צריך לצמצם אותם לאותו מכנה ולמצוא את ההבדל בין המונים.
בואו נסתכל על דוגמה כיצד זה נעשה.
דוגמה 3
הורידו 1 15 מ-2 9.
פִּתָרוֹן
המכנים שונים, ואתה צריך לצמצם אותם לערך המשותף הקטן ביותר. במקרה זה, ה-LCM הוא 45. עבור השבר הראשון נדרש גורם נוסף של 5, ולשני - 3.
בואו לחשב: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45
קיבלנו שני שברים עם אותו מכנה, ועכשיו נוכל למצוא בקלות את ההבדל ביניהם באמצעות האלגוריתם שתואר קודם לכן: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45
תיעוד קצר של הפתרון נראה כך: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.
אין להזניח את הפחתת התוצאה או בחירת חלק שלם ממנה, במידת הצורך. בדוגמה זו, איננו צריכים לעשות זאת.
דוגמה 4
מצא את ההבדל 19 9 - 7 36 .
פִּתָרוֹן
אנו מביאים את השברים המצוינים בתנאי למכנה המשותף הנמוך ביותר 36 ומקבלים 76 9 ו-7 36 בהתאמה.
אנו רואים את התשובה: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36
ניתן להפחית את התוצאה ב-3 כדי לקבל 23 12. המונה גדול מהמכנה, מה שאומר שאנחנו יכולים לחלץ את כל החלק. התשובה הסופית היא 1 11 12 .
סיכום הפתרון כולו הוא 19 9 - 7 36 = 1 11 12 .
כיצד להחסיר מספר טבעי משבר משותף
ניתן לצמצם פעולה כזו בקלות לחיסור פשוט של שברים רגילים. ניתן לעשות זאת על ידי ייצוג מספר טבעי כשבר. בואו נראה דוגמה.
דוגמה 5
מצא את ההבדל 83 21 - 3 .
פִּתָרוֹן
3 זהה ל-3 1. אז אתה יכול לחשב כך: 83 21 - 3 \u003d 20 21.
אם בתנאי יש צורך להחסיר מספר שלם משבר לא תקין, נוח יותר לחלץ ממנו תחילה את המספר השלם, לרשום אותו כמספר מעורב. אז אפשר לפתור את הדוגמה הקודמת אחרת.
מהשבר 83 21, כאשר אתה בוחר את החלק השלם, אתה מקבל 83 21 \u003d 3 20 21.
עכשיו פשוט תחסיר ממנו 3: 3 20 21 - 3 = 20 21 .
כיצד להחסיר שבר ממספר טבעי
פעולה זו נעשית בדומה לקודמתה: אנו משכתבים מספר טבעי כשבר, מביאים את שניהם למכנה משותף ומוצאים את ההבדל. בואו נמחיש זאת באמצעות דוגמה.
דוגמה 6
מצא את ההבדל: 7 - 5 3 .
פִּתָרוֹן
בואו נעשה 7 לשבר 7 1 . אנו מבצעים את החיסור וממירים את התוצאה הסופית, תוך חילוץ של החלק השלם ממנה: 7 - 5 3 = 5 1 3 .
יש דרך אחרת לעשות חישובים. יש לו כמה יתרונות שניתן להשתמש בהם במקרים שבהם המונים והמכנים של השברים בבעיה הם מספרים גדולים.
הגדרה 3
אם השבר שיש לגרוע נכון, אז המספר הטבעי שממנו אנו מפחיתים חייב להיות מיוצג כסכום של שני מספרים, שאחד מהם שווה ל-1. לאחר מכן, אתה צריך להחסיר את השבר הרצוי מאחדות ולקבל את התשובה.
דוגמה 7
חשב את ההפרש 1 065 - 13 62 .
פִּתָרוֹן
השבר שיש לגרוע נכון, כי המונה שלו קטן מהמכנה. לכן, עלינו להחסיר אחד מ-1065 ולהחסיר ממנו את השבר הרצוי: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62
עכשיו אנחנו צריכים למצוא את התשובה. באמצעות מאפייני החיסור, ניתן לכתוב את הביטוי המתקבל כ-1064 + 1 - 13 62. בוא נחשב את ההפרש בסוגריים. לשם כך, נציג את היחידה כשבר 1 1 .
מסתבר ש- 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.
כעת נזכור בערך 1064 וננסח את התשובה: 1064 49 62 .
אנחנו משתמשים בדרך הישנה כדי להוכיח שזה פחות נוח. להלן החישובים שנקבל:
1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4
התשובה זהה, אבל החישובים כמובן מסורבלים יותר.
שקלנו את המקרה כאשר אתה צריך להחסיר את השבר הנכון. אם הוא שגוי, אנחנו מחליפים אותו במספר מעורב ומחסירים לפי הכללים המוכרים.
דוגמה 8
חשב את ההפרש 644 - 73 5 .
פִּתָרוֹן
השבר השני אינו תקין, ויש להפריד ממנו את כל החלק.
כעת אנו מחשבים בדומה לדוגמה הקודמת: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5
תכונות חיסור בעבודה עם שברים
תכונות אלה שיש לחיסור של מספרים טבעיים חלות גם על מקרים של חיסור של שברים רגילים. בואו נראה כיצד להשתמש בהם בעת פתרון דוגמאות.
דוגמה 9
מצא את ההבדל 24 4 - 3 2 - 5 6 .
פִּתָרוֹן
כבר פתרנו דוגמאות דומות כאשר ניתחנו חיסור של סכום ממספר, אז אנו פועלים לפי האלגוריתם המוכר כבר. ראשית, אנו מחשבים את ההפרש 25 4 - 3 2, ולאחר מכן מפחיתים ממנו את השבר האחרון:
25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12
בואו נשנה את התשובה על ידי חילוץ החלק השלם ממנה. התוצאה היא 3 11 12.
סיכום קצר של כל הפתרון:
25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12
אם הביטוי מכיל גם שברים וגם מספרים טבעיים, מומלץ לקבץ אותם לפי סוגים בעת החישוב.
דוגמה 10
מצא את ההבדל 98 + 17 20 - 5 + 3 5 .
פִּתָרוֹן
הכרת המאפיינים הבסיסיים של חיסור וחיבור, נוכל לקבץ מספרים באופן הבא: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5
הבה נשלים את החישובים: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4
אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter
מספרים שבריריים רגילים פוגשים לראשונה תלמידי בית ספר בכיתה ה' ומלווים אותם לאורך כל חייהם, שכן בחיי היומיום יש לעתים קרובות צורך לשקול או להשתמש בחפץ כלשהו לא לגמרי, אלא בחלקים נפרדים. תחילת הלימוד בנושא זה - שתפו. מניות הן חלקים שוויםשאליו מחולק חפץ. הרי לא תמיד ניתן לבטא, למשל, אורך או מחיר של מוצר כמספר שלם, יש לקחת בחשבון חלקים או מניות של כל מידה. נוצר מהפועל "למחץ" - לחלק לחלקים, ובעל שורשים ערביים, במאה השמיני הופיעה המילה "שבר" עצמה ברוסית.
ביטויים שברים נחשבים זה מכבר לחלק הקשה ביותר במתמטיקה. במאה ה-17, כאשר הופיעו ספרי הלימוד הראשונים במתמטיקה, הם כונו "מספרים שבורים", דבר שהיה קשה מאוד להציג בהבנתם של אנשים.
הצורה המודרנית של שאריות חלקיות פשוטות, שחלקים מהם מופרדים בדיוק על ידי קו אופקי, קודמה לראשונה על ידי פיבונאצ'י - ליאונרדו מפיזה. כתביו מתוארכים לשנת 1202. אך מטרת מאמר זה היא להסביר לקורא בצורה פשוטה וברורה כיצד מתרחשת הכפלה של שברים מעורבים עם מכנים שונים.
הכפלת שברים עם מכנים שונים
בתחילה, יש צורך לקבוע זנים של שברים:
- נכון;
- שגוי;
- מעורב.
לאחר מכן, עליך לזכור כיצד מוכפלים מספרים שברים בעלי אותם מכנים. עצם הכלל של תהליך זה קל לניסוח עצמאי: התוצאה של הכפלת שברים פשוטים עם אותם מכנים היא ביטוי שבר, שהמונה שלו הוא המכפלה של המונים, והמכנה הוא מכפלת המכנים של השברים הללו. . כלומר, למעשה, המכנה החדש הוא הריבוע של אחד הקיימים בתחילה.
בעת הכפלה שברים פשוטים עם מכנים שוניםעבור שני גורמים או יותר, הכלל אינו משתנה:
א/ב * c/ד = a*c / b*d.
ההבדל היחיד הוא שהמספר שנוצר מתחת לסרגל השבר יהיה מכפלה של מספרים שונים, ומטבע הדברים, לא ניתן לקרוא לו ריבוע של ביטוי מספרי אחד.
כדאי לשקול את הכפל של שברים עם מכנים שונים באמצעות דוגמאות:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
הדוגמאות משתמשות בדרכים להפחתת ביטויי שברים. אתה יכול לצמצם רק את המספרים של המונה עם המספרים של המכנה; לא ניתן להקטין גורמים סמוכים מעל או מתחת לסרגל השבר.
יחד עם מספרים שברים פשוטים, יש את הרעיון של שברים מעורבים. מספר מעורב מורכב ממספר שלם וחלק שברי, כלומר, הוא הסכום של המספרים הללו:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
איך עובד הכפל?
מספר דוגמאות מובאות לשיקול.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
הדוגמה משתמשת בכפל של מספר ב חלק חלקי רגיל, אתה יכול לרשום את הכלל עבור פעולה זו על ידי הנוסחה:
א * ב/ג = a*b /ג.
למעשה, מוצר כזה הוא סכום של שאריות חלקיות זהות, ומספר האיברים מציין את המספר הטבעי הזה. מקרה מיוחד:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
ישנה אפשרות נוספת לפתרון הכפל של מספר בשארית שבר. אתה רק צריך לחלק את המכנה במספר הזה:
ד* ה/ו = ה/ו: ד.
כדאי להשתמש בטכניקה זו כאשר המכנה מחולק במספר טבעי ללא שארית או, כמו שאומרים, לחלוטין.
המר מספרים מעורבים לשברים לא תקינים וקבל את המוצר בדרך שתוארה קודם לכן:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
דוגמה זו כוללת דרך לייצג שבר מעורב כשבר לא תקין, ניתן לייצג אותה גם כנוסחה כללית:
א בג = a*b+ c / c, כאשר המכנה של השבר החדש נוצר על ידי הכפלת החלק השלם עם המכנה והוספתו למונה של שארית השבר המקורית, והמכנה נשאר זהה.
תהליך זה עובד גם הפוך. כדי לבחור את החלק השלם ואת השארית השברית, עליך לחלק את המונה של שבר לא תקין במכנה שלו עם "פינה".
כפל של שברים לא תקיניםמיוצר בדרך הרגילה. כאשר הערך עובר מתחת לקו שבר אחד, לפי הצורך, צריך לצמצם את השברים על מנת לצמצם את המספרים בשיטה זו וקל יותר לחשב את התוצאה.
יש הרבה עוזרים באינטרנט כדי לפתור אפילו בעיות מתמטיות מורכבות בווריאציות שונות של תוכניות. מספר מספיק של שירותים כאלה מציעים את עזרתם בחישוב הכפל של שברים עם מספרים שונים במכנים - מה שנקרא מחשבונים מקוונים לחישוב שברים. הם מסוגלים לא רק להכפיל, אלא גם לבצע את כל שאר פעולות החשבון הפשוטות עם שברים רגילים ומספרים מעורבים. לא קשה לעבוד איתו, השדות המתאימים ממולאים בדף האתר, נבחר הסימן של הפעולה המתמטית ולוחצים על "חשב". התוכנית נספרת אוטומטית.
הנושא של פעולות חשבון עם מספרים שברים רלוונטי בכל החינוך של תלמידי חטיבת הביניים והבוגרים. בתיכון, הם כבר לא שוקלים את המין הפשוט ביותר, אבל ביטויי שברים שלמים, אך הידע על הכללים לטרנספורמציה וחישובים, שהושג קודם לכן, מיושם בצורתו המקורית. ידע בסיסי שנלמד היטב נותן ביטחון מלא בפתרון המוצלח של המשימות המורכבות ביותר.
לסיכום, הגיוני לצטט את דבריו של ליאו טולסטוי, שכתב: "האדם הוא שבריר. אין בכוחו של האדם להגדיל את המונה שלו - את יתרונותיו שלו, אבל כל אחד יכול להקטין את המכנה שלו - את דעתו על עצמו, ועל ידי ירידה זו להתקרב לשלמות שלו.
חיבור והפחתה של שברים עם אותם מכנים
חיבור והפחתה של שברים עם מכנים שונים
הרעיון של NOC
הבאת שברים לאותו מכנה
איך מוסיפים מספר שלם ושבר
1 חיבור והפחתה של שברים עם אותם מכנים
כדי להוסיף שברים עם אותם מכנים, אתה צריך להוסיף את המונים שלהם, ולהשאיר את המכנה זהה, למשל:
כדי להחסיר שברים עם אותם מכנים, יש להחסיר את המונה של השבר השני מהמונה של השבר הראשון, ולהשאיר את המכנה זהה, למשל:
כדי להוסיף שברים מעורבים, עליך להוסיף בנפרד את חלקיהם השלמים, ולאחר מכן להוסיף את חלקיהם השברים, ולכתוב את התוצאה כשבר מעורב,
אם כשמוסיפים את החלקים השברים מתקבל שבר לא תקין, נבחר מתוכו את החלק השלם ונוסיף אותו לחלק השלם, למשל:
2 חיבור והפחתה של שברים עם מכנים שונים
על מנת להוסיף או להחסיר שברים עם מכנים שונים, תחילה עליך להביא אותם לאותו מכנה, ולאחר מכן להמשיך כפי שצוין בתחילת מאמר זה. המכנה המשותף של מספר שברים הוא LCM (כפולה משותפת לפחות). עבור המונה של כל אחד מהשברים, מוצאים גורמים נוספים על ידי חלוקת ה-LCM במכנה של שבר זה. נסתכל על דוגמה מאוחר יותר, לאחר שנבין מה זה LCM.
3 כפולה פחות משותפת (LCM)
הכפולה הפחות משותפת של שני מספרים (LCM) היא המספר הטבעי הקטן ביותר שמתחלק בשני המספרים הללו ללא שארית. לפעמים ניתן למצוא את ה-LCM בעל-פה, אך לעיתים קרובות יותר, במיוחד כאשר עובדים עם מספרים גדולים, יש למצוא את ה-LCM בכתב, באמצעות האלגוריתם הבא:
כדי למצוא את ה-LCM של מספר מספרים, אתה צריך:
- לפרק את המספרים הללו לגורמים ראשוניים
- קח את ההרחבה הגדולה ביותר, וכתוב את המספרים האלה כמוצר
- בחר בהרחבות אחרות את המספרים שלא מופיעים בהרחבה הגדולה ביותר (או מתרחשים בה מספר קטן יותר של פעמים), והוסיפו אותם למוצר.
- תכפיל את כל המספרים במוצר, זה יהיה LCM.
לדוגמה, בוא נמצא את ה-LCM של המספרים 28 ו-21:
4הפחתת שברים לאותו מכנה
נחזור להוספת שברים עם מכנים שונים.
כאשר אנו מצמצמים שברים לאותו מכנה, השווה ל-LCM של שני המכנים, עלינו להכפיל את המונים של השברים הללו ב- מכפילים נוספים. אתה יכול למצוא אותם על ידי חלוקת ה-LCM במכנה של השבר המתאים, למשל:
לפיכך, כדי להביא שברים לאינדיקטור אחד, תחילה עליך למצוא את LCM (כלומר, המספר הקטן ביותר שמתחלק בשני המכנים) של המכנים של השברים הללו, ואז לשים גורמים נוספים על המונה של השברים. אתה יכול למצוא אותם על ידי חלוקת המכנה המשותף (LCD) במכנה של השבר המתאים. אז אתה צריך להכפיל את המונה של כל שבר בגורם נוסף, ולשים את LCM כמכנה.
5כיצד להוסיף מספר שלם ושבר
כדי להוסיף מספר שלם ושבר, צריך רק להוסיף את המספר הזה לפני השבר, ומקבלים למשל שבר מעורב.
שקול את השבר $\frac63$. הערך שלו הוא 2, שכן $\frac63 =6:3 = 2$. מה קורה אם המונה והמכנה מוכפלים ב-2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. ברור שהערך של השבר לא השתנה, אז $\frac(12)(6)$ שווה גם ל-2 כ-y. מכפילים את המונה והמכנהב-3 וקבל $\frac(18)(9)$, או ב-27 וקבל $\frac(162)(81)$ או ב-101 וקבל $\frac(606)(303)$. בכל אחד מהמקרים הללו, הערך של השבר שאנו מקבלים על ידי חלוקת המונה במכנה הוא 2. זה אומר שהוא לא השתנה.
אותו דפוס נצפה במקרה של שברים אחרים. אם המונה והמכנה של השבר $\frac(120)(60)$ (שווה ל-2) מחולקים ב-2 (תוצאה של $\frac(60)(30)$), או ב-3 (תוצאה של $\ frac(40)(20) $), או ב-4 (התוצאה של $\frac(30)(15)$) וכן הלאה, אז בכל מקרה ערך השבר נשאר ללא שינוי ושווה ל-2.
כלל זה חל גם על שברים שאינם שווים. מספר שלם.
אם המונה והמכנה של השבר $\frac(1)(3)$ מוכפלים ב-2, נקבל $\frac(2)(6)$, כלומר, ערך השבר לא השתנה. ולמעשה, אם מחלקים את העוגה ל-3 חלקים ולוקחים אחד מהם, או מחלקים אותה ל-6 חלקים ולוקחים 2 חלקים, תקבלו בשני המקרים אותה כמות פשטידה. לכן, המספרים $\frac(1)(3)$ ו-$\frac(2)(6)$ זהים. בואו ננסח כלל כללי.
ניתן להכפיל או לחלק את המונה והמכנה של כל שבר באותו מספר, וערך השבר אינו משתנה.
כלל זה שימושי מאוד. לדוגמה, הוא מאפשר במקרים מסוימים, אך לא תמיד, להימנע מפעולות עם מספרים גדולים.
לדוגמה, נוכל לחלק את המונה והמכנה של השבר $\frac(126)(189)$ ב-63 ולקבל את השבר $\frac(2)(3)$ שקל הרבה יותר לחישוב. עוד דוגמה אחת. נוכל לחלק את המונה והמכנה של השבר $\frac(155)(31)$ ב-31 ולקבל את השבר $\frac(5)(1)$ או 5, שכן 5:1=5.
בדוגמה זו, נתקלנו לראשונה שבר שהמכנה שלו הוא 1. שברים כאלה ממלאים תפקיד חשוב בחישובים. יש לזכור שניתן לחלק כל מספר ב-1 והערך שלו לא ישתנה. כלומר, $\frac(273)(1)$ שווה ל-273; $\frac(509993)(1)$ שווה ל-509993 וכן הלאה. לכן, אין צורך לחלק מספרים ב-, שכן ניתן לייצג כל מספר שלם כשבר עם מכנה 1.
עם שברים כאלה, שהמכנה שלהם שווה ל-1, ניתן לבצע את אותן פעולות אריתמטיות כמו בכל שאר השברים: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.
אפשר לשאול מה התועלת בייצוג של מספר שלם כשבר, שתהיה לו יחידה מתחת לסרגל, כי יותר נוח לעבוד עם מספר שלם. אבל העובדה היא שהייצוג של מספר שלם כשבר נותן לנו את האפשרות לבצע פעולות שונות בצורה יעילה יותר כאשר אנו עוסקים הן במספרים שלמים והן במספרים שברים בו זמנית. למשל, ללמוד להוסיף שברים עם מכנים שונים. נניח שאנחנו צריכים להוסיף $\frac(1)(3)$ ו-$\frac(1)(5)$.
אנחנו יודעים שאפשר להוסיף רק שברים שהמכנים שלהם שווים. לכן, עלינו ללמוד כיצד להביא שברים לצורה כזו כאשר המכנים שלהם שווים. במקרה זה, אנו שוב צריכים את העובדה שאתה יכול להכפיל את המונה והמכנה של שבר באותו מספר מבלי לשנות את ערכו.
ראשית, נכפיל את המונה והמכנה של השבר $\frac(1)(3)$ ב-5. נקבל $\frac(5)(15)$, ערך השבר לא השתנה. לאחר מכן נכפיל את המונה והמכנה של השבר $\frac(1)(5)$ ב-3. נקבל $\frac(3)(15)$, שוב ערך השבר לא השתנה. לכן, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
כעת ננסה ליישם את המערכת הזו על חיבור של מספרים המכילים גם חלקים שלמים וגם חלקים שברים.
אנחנו צריכים להוסיף $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. ראשית, נמיר את כל המונחים לשברים ונקבל: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. כעת עלינו להביא את כל השברים למכנה משותף, לשם כך נכפיל את המונה והמכנה של השבר הראשון ב-12, השני ב-4 והשלישי ב-3. כתוצאה מכך, נקבל $\frac(36) )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, השווה ל-$\frac(55)(12)$. אם אתה רוצה להיפטר שבר לא תקין, ניתן להפוך אותו למספר המורכב ממספר שלם וחלק שבר: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ או $4\frac( 7)( 12)$.
כל החוקים שמאפשרים פעולות עם שברים, אשר זה עתה למדנו, תקפים גם במקרה של מספרים שליליים. אז, -1: 3 יכול להיכתב כ-$\frac(-1)(3)$, ו-1: (-3) כ-$\frac(1)(-3)$.
מכיוון שגם מחלקים מספר שלילי במספר חיובי וגם מחלקים מספר חיובי בתוצאה שלילית במספרים שליליים, בשני המקרים נקבל את התשובה בצורה של מספר שלילי. זה
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ או $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. סימן המינוס בכתיבה כך מתייחס לשבר כולו בכללותו, ולא בנפרד למונה או למכנה.
מצד שני, (-1) : (-3) ניתן לכתוב כ-$\frac(-1)(-3)$, ומכיוון שחילוק מספר שלילי במספר שלילי נותן מספר חיובי, אז $\frac (-1 )(-3)$ ניתן לכתוב כ-$+\frac(1)(3)$.
חיבור וחיסור של שברים שליליים מתבצעים באותו אופן כמו חיבור וחיסור של שברים חיוביים. לדוגמה, מה זה $1- 1\frac13$? בואו נציג את שני המספרים כשברים ונקבל $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. בואו נצמצם את השברים למכנה משותף ונקבל $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, כלומר $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$, או $-\frac(1)(3)$.
פעולות עם שברים.
תשומת הלב!
ישנם נוספים
חומר בסעיף מיוחד 555.
למי ש"לא מאוד..."
ולמי ש"מאוד...")
אז מה הם שברים, סוגי שברים, טרנספורמציות - נזכרנו. בואו נתמודד עם השאלה העיקרית.
מה אפשר לעשות עם שברים?כן, הכל זהה למספרים רגילים. להוסיף, להחסיר, להכפיל, לחלק.
כל הפעולות האלה עם נקודהפעולות עם שברים אינן שונות מפעולות עם מספרים שלמים. למעשה, בשביל זה הם טובים, עשרוני. הדבר היחיד הוא שאתה צריך לשים את הפסיק בצורה נכונה.
מספרים מעורבים, כפי שאמרתי, מועילים מעט עבור רוב הפעולות. עדיין צריך להמיר אותם לשברים רגילים.
והנה הפעולות עם שברים רגיליםיהיה חכם יותר. והרבה יותר חשוב! תן לי להזכיר לך: כל הפעולות עם ביטויים שברים עם אותיות, סינוסים, לא ידועים וכן הלאה וכן הלאה אינן שונות מפעולות עם שברים רגילים! פעולות עם שברים רגילים הן הבסיס לכל אלגברה. מסיבה זו ננתח את כל החשבון הזה בפירוט רב כאן.
חיבור וחיסור של שברים.
כל אחד יכול להוסיף (להחסיר) שברים עם אותם מכנים (אני באמת מקווה!). ובכן, הרשו לי להזכיר לכם שאני שכחני לחלוטין: כשמוסיפים (מפחיתים), המכנה לא משתנה. המונים מתווספים (מורידים) כדי לתת את המונה של התוצאה. סוּג:
בקיצור, במונחים כלליים:
מה אם המכנים שונים? לאחר מכן, באמצעות התכונה העיקרית של השבר (הנה זה הגיע שוב שימושי!), אנו הופכים את המכנים אותו הדבר! לדוגמה:
כאן היינו צריכים לעשות את השבר 4/10 מהשבר 2/5. אך ורק במטרה להפוך את המכנים זהים. אני מציין, ליתר בטחון, ש-2/5 ו-4/10 הם אותו חלק! רק 2/5 לא נוח לנו, ו-4/10 זה אפילו כלום.
אגב, זו המהות של פתרון כל משימות במתמטיקה. כשאנחנו בחוץ לא נוחביטויים כן זהה, אבל יותר נוח לפתרון.
דוגמה אחרת:
המצב דומה. כאן נעשה 48 מתוך 16. בכפל פשוט ב-3. הכל ברור. אבל כאן אנו נתקלים במשהו כמו:
איך להיות?! קשה לעשות תשע מתוך שבע! אבל אנחנו חכמים, אנחנו יודעים את החוקים! בואו נעשה שינוי כֹּלשבר כך שהמכנים זהים. זה נקרא "להפחית למכנה משותף":
אֵיך! איך ידעתי על 63? פשוט מאוד! 63 הוא מספר שמתחלק באופן שווה ב-7 וב-9 בו-זמנית. תמיד ניתן לקבל מספר כזה על ידי הכפלת המכנים. אם נכפיל מספר כלשהו ב-7, למשל, התוצאה בהחלט תחולק ב-7!
אם צריך להוסיף (להחסיר) כמה שברים, אין צורך לעשות זאת בזוגות, צעד אחר צעד. אתה רק צריך למצוא את המכנה המשותף לכל השברים, ולהביא כל שבר לאותו מכנה. לדוגמה:
ומה יהיה המכנה המשותף? אתה יכול, כמובן, להכפיל 2, 4, 8 ו-16. אנחנו מקבלים 1024. סיוט. קל יותר להעריך שהמספר 16 מתחלק בצורה מושלמת ב-2, 4 ו-8. לכן קל לקבל 16 ממספרים אלו.מספר זה יהיה המכנה המשותף. בואו נהפוך 1/2 ל-16/8, 3/4 ל-16/12 וכן הלאה.
אגב, אם ניקח את 1024 כמכנה משותף, גם הכל יסתדר, בסוף הכל יצטמצם. רק שלא כולם יגיעו לזה, בגלל החישובים...
פתור את הדוגמה בעצמך. לא לוגריתם... זה צריך להיות 29/16.
אז, עם חיבור (חיסור) של שברים ברור, אני מקווה? כמובן שקל יותר לעבוד בגרסה מקוצרת, עם מכפילים נוספים. אבל התענוג הזה זמין למי שעבד ביושר בכיתות הנמוכות... ולא שכח כלום.
ועכשיו נעשה את אותן פעולות, אבל לא עם שברים, אלא עם ביטויים שברים. מגרפות חדשות יימצאו כאן, כן...
אז, אנחנו צריכים להוסיף שני ביטויים שברים:
אנחנו צריכים להפוך את המכנים אותו הדבר. ורק בעזרת העזרה כֶּפֶל! אז המאפיין העיקרי של השבר אומר. לכן, אני לא יכול להוסיף אחד ל-x בשבר הראשון במכנה. (אבל זה יהיה נחמד!). אבל אם תכפיל את המכנים, אתה מבין, הכל יגדל ביחד! אז אנחנו רושמים את קו השבר, משאירים רווח ריק למעלה, ואז מוסיפים אותו, ורושמים את המכפלה של המכנים למטה, כדי לא לשכוח:
וכמובן, אנחנו לא מכפילים שום דבר בצד ימין, אנחנו לא פותחים סוגריים! וכעת, מסתכלים על המכנה המשותף של הצד הימני, אנו חושבים: כדי לקבל את המכנה x (x + 1) בשבר הראשון, עלינו להכפיל את המונה והמכנה של השבר הזה ב-(x + 1) . ובשבר השני - x. אתה מקבל את זה:
הערה! סוגריים כבר כאן! זו המגרפה שרבים דורכים עליה. לא סוגריים, כמובן, אלא היעדרם. סוגריים מופיעים כי אנחנו מתרבים הכלמונה ו הכלמְכַנֶה! ולא החלקים האישיים שלהם...
במונה של צד ימין, נכתוב את סכום המונים, הכל כמו בשברים מספריים, ואז נפתח את הסוגריים במונה של צד ימין, כלומר. להכפיל הכל ולתת לייק. אתה לא צריך לפתוח את הסוגריים במכנים, אתה לא צריך להכפיל משהו! באופן כללי, במכנים (כל) המוצר תמיד נעים יותר! אנחנו מקבלים:
כאן קיבלנו את התשובה. התהליך נראה ארוך וקשה, אבל הוא תלוי בתרגול. לפתור דוגמאות, להתרגל, הכל יהפוך פשוט. מי ששלט בשברים בזמן המוקצב, עשה את כל הפעולות הללו ביד אחת, על המכונה!
ועוד הערה אחת. רבים מפורסמים עוסקים בשברים, אבל תלויים בדוגמאות עם כֹּלמספרים. סוג: 2 + 1/2 + 3/4= ? איפה להדק צמד? אין צורך להדק בשום מקום, אתה צריך לעשות שבריר משני. זה לא קל, זה פשוט מאוד! 2=2/1. ככה. ניתן לכתוב כל מספר שלם כשבר. המונה הוא המספר עצמו, המכנה הוא אחד. 7 הוא 7/1, 3 הוא 3/1 וכן הלאה. זה אותו דבר עם אותיות. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 וכו'. ואז אנחנו עובדים עם השברים האלה לפי כל הכללים.
ובכן, בחיבור - חיסור שברים, הידע התרענן. טרנספורמציות של שברים מסוג אחד לאחר - חוזרות. אתה יכול גם לבדוק. נתפשר קצת?)
לחשב:
תשובות (בחוסר סדר):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
כפל/חילוק שברים - בשיעור הבא. יש גם משימות לכל הפעולות עם שברים.
אם אתה אוהב את האתר הזה...
אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)
אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. למידה - בעניין!)
אתה יכול להכיר פונקציות ונגזרות.
טוען...
