Polihedra
Polihedron- ini adalah benda yang permukaannya terdiri dari sejumlah poligon datar yang terbatas. Polihedron disebut cembung, jika terletak pada salah satu sisi bidang dari masing-masing bidang poligon pada permukaannya. Bagian persekutuan bidang tersebut dan permukaan poligon cembung disebut tepian.
Gambar di bawah menunjukkan polihedron non-cembung di sebelah kiri; pada gambar di sebelah kanan - cembung.
Muka polihedron cembung adalah poligon cembung datar. Sisi mukanya disebut tepi polihedron, dan simpul dari permukaannya adalah simpul polihedron.
Prisma
Prisma adalah polihedron yang terdiri dari dua poligon datar yang terletak di dalamnya pesawat yang berbeda dan digabungkan dengan translasi paralel, dan semua segmen yang menghubungkan titik-titik yang bersesuaian dari poligon ini (lihat gambar). Poligon disebut dasar prisma, dan segmen yang menghubungkan simpul-simpul yang bersesuaian adalah tepi lateral prisma.Sebutan: .
Permukaan lateral prisma terdiri dari jajaran genjang. Masing-masing memiliki dua sisi, yang merupakan sisi alas yang bersesuaian, dan dua lainnya merupakan rusuk samping yang berdekatan. Alas prisma adalah sama besar dan terletak pada bidang sejajar. Sisi-sisi sisi prisma sejajar dan sama panjang. Tinggi prisma disebut jarak antara bidang alasnya.
Ruas yang menghubungkan dua titik sudut pada suatu prisma yang tidak mempunyai muka yang sama disebut diagonal prisma. (Pada gambar - tinggi, dan - diagonal.)
Bagian diagonal- ini adalah bagian prisma oleh bidang yang melewati dua sisi sisi yang tidak memiliki permukaan yang sama (lihat gambar).
Prisma disebut lurus, jika sisi-sisinya tegak lurus terhadap alasnya. DI DALAM jika tidak sebuah prisma disebut cenderung.
Sisi-sisi prisma lurus berbentuk persegi panjang, tinggi prisma lurus sama dengan rusuk samping, dan bagian diagonalnya adalah persegi panjang.
Permukaan samping prisma adalah jumlah luas sisi-sisinya. Permukaan prisma penuh sama dengan jumlah permukaan lateral dan luas alasnya.
Teorema 1. Permukaan lateral prisma lurus sama dengan hasil kali keliling alas dan tinggi, yaitu panjang rusuk samping.
Bagian prisma tegak lurus kita sebut bagian tersebut sebagai bidang yang tegak lurus terhadap sisi sisi prisma (artinya bidang tersebut tegak lurus terhadap semua sisi sisi prisma).
Teorema 2. Permukaan lateral prisma miring sama dengan hasil kali panjang rusuk lateral dan keliling penampang tegak lurus.
Gambar tersebut menunjukkan bagian yang tegak lurus.
S b = H ⋅ P dasar;
S n = S b + 2 S dasar
S b = aku ⋅ P ter;
S n = S b + 2 S dasar
Jelasnya, teorema ini juga berlaku untuk prisma lurus, karena penampang tegak lurus adalah bagian bidang yang sejajar dengan bidang alas prisma.
Harap diperhatikan: jika suatu poligon tertentu merupakan bagian tegak lurus suatu prisma, maka sudut dalamnya adalah sudut linier dari sudut dihedral antara sisi-sisi yang bersesuaian.
Dalam kasus prisma lurus, sudut linier dari sudut dihedral antara sisi-sisi lateralnya adalah langsung sudut alasnya.
Contoh
Gambar tersebut menunjukkan prisma lurus.
- sudut linier dari sudut dihedral antara permukaan dan .
Prisma disebut benar, Jika:
itu didasarkan pada poligon beraturan;
prismanya lurus.
Paralelipiped
Paralelepiped adalah prisma dengan jajar genjang di alasnya. Semua permukaan jajar genjang adalah jajar genjang.
Muka-muka suatu parallelepiped yang tidak mempunyai simpul-simpul yang sama disebut di depan.
Teorema 1. Sisi-sisi yang berhadapan pada suatu parallelepiped adalah sejajar dan sama besar.
Sebuah parallelepiped tetap menjadi parallelepiped dalam semua kasus ketika kita menganggap salah satu wajahnya sebagai dasarnya (lihat gambar).
Teorema 2. Diagonal-diagonal suatu parallelepiped berpotongan di satu titik dan dibagi dua oleh titik potong tersebut.
Oleh karena itu, titik potong diagonal-diagonal suatu parallelepiped adalah pusat simetrinya.
Harap diperhatikan: paralelepiped siku-siku memiliki empat diagonal yang sama berpasangan satu sama lain.
Pada gambar; .
Ini mengikuti sifat-sifat miring, karena - tingkat tegak lurus terhadap bidang alas ABCD.
Jika dua diagonal suatu parallelepiped siku-siku berasal puncak tetangga, maka yang terbesar adalah yang menonjol ke diagonal utama alasnya, yaitu diagonal jajar genjang yang berhadapan dengan sudut tumpul. Jadi, jika pada gambar di atas kita perhatikan sudutnya ABC bodoh, kita akan mendapatkannya, .
Paralelepiped siku-siku yang alasnya berbentuk persegi panjang disebut paralelepiped persegi panjang(Lihat gambar).
Semua muka suatu persegi panjang parallelepiped adalah persegi panjang yang dapat dibagi menjadi tiga pasang sama panjang. Basisnya dapat dianggap sebagai permukaan sembarang dari paralelepiped persegi panjang. Mengingat bahwa dalam desain paralel, jajar genjang sembarang dapat diwakili oleh jajar genjang sembarang, maka bayangan jajar genjang persegi panjang sama sekali tidak berbeda dengan bayangan jajar genjang siku-siku.
Panjang sisi-sisi yang tidak sejajar disebut dimensi linier(pengukuran) dari parallelepiped persegi panjang.
Teorema 3. Dalam suatu parallelepiped persegi panjang, semua diagonalnya sama besar. Kotak diagonal sama dengan jumlahnya kuadrat dari tiga dimensinya.
Semua sudut dihedral pada parallelepiped persegi panjang adalah sudut siku-siku.
Paralelepiped persegi panjang memiliki tiga pasang bagian diagonal yang sama. Masing-masing bagian ini berbentuk persegi panjang (lihat gambar).
Setiap pasangan bagian berpotongan sepanjang garis lurus yang melalui titik potong diagonal-diagonal permukaan yang berhadapan. Ruas-ruas di antara titik-titik ini sejajar dan sama dengan salah satu rusuk persegi panjang yang sejajar.
Segitiga siku-siku dibentuk oleh diagonal-diagonal persegi panjang yang sejajar, diagonal sisi mukanya, dan sisi alasnya (lihat gambar). Misalnya, .
Paralelepiped persegi panjang memiliki pusat simetri - ini adalah titik potong diagonalnya.
Ia juga memiliki tiga bidang simetri yang melalui pusat simetri sejajar dengan permukaannya.
Paralelepiped persegi panjang yang semua rusuknya sama disebut kubus.
Bidang setiap bagian diagonal kubus adalah bidang simetrinya. Jadi, kubus mempunyai sembilan bidang simetri.
Pada gambar yang kami pertimbangkan pengaturan bersama beberapa elemen paralelepiped kanan:
- sudut antara diagonal sisi muka dan bidang alas ( - tegak lurus, - miring, CD- proyeksi).
- sudut antara diagonal paralelepiped siku-siku dan bidang alasnya ( - tegak lurus, - miring, AC- proyeksi).
- sudut kemiringan diagonal sisi muka ( IKLAN- tegak lurus, - miring, - proyeksi).
Misalkan ada parallelepiped siku-siku (lihat gambar), dimana ABCD- belah ketupat Mari kita menggambar bagiannya dengan bidang yang melewati diagonal alasnya BD dan bagian atas.
Pada penampang kita memperoleh segitiga sama kaki.
- sudut linier dari sudut dihedral antara bidang alas dan bidang bagian. menurut sifat-sifat diagonal belah ketupat, - tegak lurus, - miring, BERSAMA- proyeksi. Menurut teorema tiga garis tegak lurus: .
Piramida
Piramida disebut polihedron yang terdiri dari poligon datar - alas limas, suatu titik yang tidak terletak pada bidang alasnya - puncak limas, dan semua ruas yang menghubungkan puncak limas dengan titik-titik alasnya. . Ruas-ruas yang menghubungkan puncak limas dengan titik-titik alasnya disebut tulang rusuk lateral.Tinggi piramida- tegak lurus diturunkan dari puncak limas ke bidang alas.
Piramida disebut N-batu bara, jika dasarnya adalah N-gon. Piramida segitiga disebut juga segi empat. Sisi muka piramida- segitiga. Salah satu simpulnya adalah puncak piramida, dan sisi yang berlawanan adalah sisi dasar piramida.
Pada gambar JADI- tinggi piramida. Kemudian - sudut antara tepi samping dan bidang alas ( JADI- tegak lurus, SA- cenderung, OA- proyeksi).
Dari dasar ketinggian limas (titik A) gambarlah garis tegak lurus terhadap sisi alasnya (misalnya, AE). Alas tegak lurus ini (titik F) sambungkan ke puncak piramida (titik S). Menurut teorema tiga garis tegak lurus: . ( JADI- tegak lurus, SP- cenderung, DARI- proyeksi, oleh konstruksi.) Oleh karena itu, - sudut linier dari sudut dihedral antara bidang sisi muka ASE dan bidang alasnya.
Untuk menyelesaikan soal piramida, sangat penting untuk mengetahui di mana letak alas tingginya.
1. Jika setidaknya salah satu dari kondisi berikut terpenuhi:
semua tepi lateral piramida adalah sama;
semua rusuk samping miring ke bidang alas dengan sudut yang sama;
semua rusuk sisi membentuk sudut yang sama dengan tinggi limas;
semua rusuk sisinya berjarak sama dari alas tingginya, maka alas tinggi limas adalah pusat lingkaran yang dibatasi sekeliling alas limas.
Tulang rusuk samping aku, tinggi H dan radius R dibatasi pada alas lingkaran membentuk segitiga siku-siku:
Pada kasus ini permukaan lateral dapat dicari dengan rumus dimana aku- panjang tepi samping, , ... - sudut datar di puncak.
2. Jika setidaknya salah satu dari kondisi berikut terpenuhi:
semua sisi sisinya miring ke bidang alas dengan sudut yang sama;
semua sisi sisi memiliki ketinggian yang sama;
tinggi sisi-sisinya membentuk sudut yang sama dengan tinggi limas;
sisi-sisinya berjarak sama dari alas tingginya, maka alas tingginya terletak di pusat lingkaran yang terdapat pada alas limas.
Pada gambar - persegi panjang, - jari-jari lingkaran yang tertulis di ABCDEF;
- tinggi piramida, SP- tinggi sisi muka;
- sudut linier sudut dihedral antara sisi muka dan bidang alas;
TENTANG- pusat lingkaran pada alasnya, yaitu titik potong garis-bagi ABCDEF.
Pada kasus ini .
3. Jika rusuk samping tegak lurus terhadap bidang alas, maka rusuk tersebut adalah tinggi limas (lihat gambar).
Pada kasus ini Dan - sudut kemiringan rusuk lateral SV Dan SC masing-masing terhadap bidang alasnya. adalah sudut linier dari sudut dihedral antara sisi-sisinya KANTUNG. Dan S.B.A..
4. Jika sisi sisinya tegak lurus terhadap bidang alasnya (lihat gambar), maka tinggi limas adalah tinggi sisi tersebut (menurut teorema “Jika sebuah garis lurus yang terletak pada salah satu dari dua bidang yang tegak lurus adalah tegak lurus terhadap garis perpotongannya, maka tegak lurus terhadap bidang kedua”).
5. Jika dua sisi sisinya tegak lurus terhadap bidang alasnya, maka tinggi limas adalah sisi persekutuannya.
Jarak dari dasar ketinggian limas
Jarak dari pangkal tinggi limas ke tepi sampingnya adalah tegak lurus yang dijatuhkan dari suatu titik TENTANG di tepi ini (lihat gambar). Harap diperhatikan: , tetapi pada gambar tidak boleh lurus: sudut tidak dipertahankan selama desain paralel. DARI- jarak dari pangkal ketinggian ke tepi samping SE.;
PADA- jarak dari pangkal ketinggian ke tepi samping A.S.B.(Lihat jarak ini lebih detail di bawah).
, di mana sudut antara tepinya SE. dan bidang alasnya.
Jarak dari pangkal ketinggian ke tepi samping
Misalkan , maka dengan teorema tiga garis tegak lurus. Karena itu, AB tegak lurus terhadap bidang oke. Oleh karena itu, jika , maka PADA tegak lurus terhadap bidang A.S.B...
Piramida disebut benar, jika alasnya adalah poligon beraturan, dan alasnya tingginya berimpit dengan pusat poligon tersebut. Sumbu piramida beraturan adalah garis yang memuat tingginya. Sisi-sisi lateral limas beraturan adalah sama, sisi-sisi sisinya sama segitiga sama kaki. Ketinggian sisi muka yang ditarik dari puncak limas disebut apotema. Ini adalah garis bagi dan median sisi lateral, dan merupakan segitiga sama kaki.
Dalil. Permukaan lateral limas beraturan sama dengan hasil kali keliling alas dan apotema.
; ,
Di mana R- keliling dasar, A- sisi dasar, aku- panjang apotema.
Piramida segitiga biasa
Di dasar piramida segitiga beraturan terdapat segitiga sama sisi, digambarkan dengan segitiga sembarang (lihat gambar).
Pusatnya adalah titik potong garis bagi, yang merupakan ketinggian dan median. Dalam desain paralel, median digambarkan sebagai median. Oleh karena itu, kami membuat dua median alas. Titik perpotongannya adalah alas dari tinggi limas. Kami menggambarkan tingginya, dan kemudian menghubungkan bagian atas piramida dengan simpul alasnya. Kami mendapatkan tulang rusuk samping.
Pada gambar: - sudut kemiringan rusuk samping terhadap bidang alas (sama untuk semua rusuk); - sudut kemiringan sisi muka terhadap bidang alas (sama untuk semua muka).
Membiarkan .
Kemudian ; ; ;
; ; .
Karena itu, .
; .
Bidang bagian aksial ASD. adalah bidang simetri limas segitiga beraturan.
Bidang ini tegak lurus terhadap bidang alas dan bidang rusuk BSC.
Menarik juga untuk dicatat bahwa tepian piramida yang bersilangan ( S.A. Dan SM, S.B. Dan AC, S.C. Dan AB) tegak lurus. Jika kemudian PADA adalah jarak dari pangkal ketinggian tidak hanya ke laknat, tetapi juga ke sisi muka BSC.
.
Piramida segi empat beraturan
Di dasar piramida segi empat beraturan terdapat sebuah persegi, yang digambarkan sebagai jajaran genjang sembarang. Pusatnya merupakan titik potong diagonal-diagonalnya. Titik ini merupakan alas dari tinggi limas.
Biarkan sisinya berbentuk persegi A(Lihat gambar).
Kemudian ;
;
;
;
.
Harap dicatat: , , itu .
Dengan desain paralel, paralelisme dipertahankan.
; .
Jarak dari pangkal ketinggian ke tepi samping:
; .
Piramida heksagonal beraturan
Basis piramida heksagonal beraturan adalah segi enam beraturan (lihat gambar). Pusatnya merupakan titik potong diagonal-diagonalnya. Titik ini merupakan alas dari tinggi limas.
Kemudian ;
Biarkan sisi segi enam beraturan A.
;
;
.
; .
Piramida terpotong
Dipotong oleh piramida disebut polihedron yang akan tetap ada, jika dipisahkan dari limas oleh sebuah bidang yang sejajar dengan alasnya, sebuah limas dengan titik sudut yang sama.
Dalil. Sebuah bidang yang sejajar dengan alas piramida dan memotongnya memotong piramida serupa.
Harap diperhatikan: untuk menggambarkan potongan piramida dengan benar, Anda harus memulai dengan gambar aslinya piramida penuh(Lihat gambar).
Basis piramida terpotong adalah poligon serupa. Sisi sampingnya berbentuk trapesium. - tinggi limas terpotong, tinggi muka samping - sudut kemiringan tepi samping terhadap bidang alas (apa saja), - sudut kemiringan muka samping terhadap bidang alas bawah.
Piramida terpotong biasa- ini adalah piramida terpotong yang diambil dari piramida biasa.
Tulang rusuk sisinya sama besar dan miring terhadap bidang alas dengan sudut yang sama. Sisi-sisinya sama dengan trapesium horizontal dan miring terhadap bidang alas bawah dengan sudut yang sama. Ketinggian sisi sisi piramida disebut apotema.
Permukaan lateral piramida terpotong beraturan sama dengan hasil kali setengah jumlah keliling alas dan apotema.
, Di mana P n dan P c - keliling alas yang bersesuaian, aku- apotema.
Gambar-gambar tersebut menunjukkan gambar-gambar yang sangat berguna untuk dipertimbangkan ketika memecahkan masalah yang melibatkan potongan piramida.
;
.
;
- trapesium persegi panjang.
- tinggi piramida terpotong.
-
tinggi tepi samping.
Dalam kasus ketika piramida terpotong teratur, segmennya OD. dan adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi, dan DARI dan - jari-jari lingkaran bertulisan masing-masing untuk alas bawah dan atas.
Polihedra biasa
Polihedron cembung disebut benar, jika muka-mukanya merupakan polihedra beraturan dengan jumlah sisi yang sama, dan setiap titik sudut polihedron mempunyai jumlah rusuk yang sama. Ada lima jenis polihedra cembung beraturan: tetrahedron beraturan, kubus, oktahedron, dodecahedron, ikosahedron.
1. Tetrahedron beraturan mempunyai muka-muka yang berbentuk segitiga beraturan; Setiap simpul mempunyai tiga sisi yang berhimpitan. Tetrahedron adalah piramida berbentuk segitiga yang semua rusuknya sama besar.
2. Semua permukaan kubus berbentuk persegi; Setiap simpul mempunyai tiga sisi yang berhimpitan. Kubus adalah persegi panjang yang sejajar dengan rusuk-rusuk yang sama panjang.
3. Muka segi delapan adalah segitiga beraturan. Masing-masing simpulnya mempunyai empat sisi yang berhimpitan.
4. Muka-muka dodecahedron berbentuk segi lima beraturan, pada setiap simpulnya terdapat tiga sisi yang berimpit.
5. Muka ikosahedron adalah segitiga beraturan. Pada setiap simpulnya, terdapat lima sisi yang berhimpitan.
Gambar tersebut menunjukkan contoh polihedra beraturan dengan nama.
Polihedra tidak hanya menempati tempat yang menonjol dalam geometri, tetapi juga ditemukan di dalamnya Kehidupan sehari-hari setiap orang. Belum lagi barang-barang rumah tangga yang dibuat secara artifisial dalam bentuk berbagai poligon, dimulai dengan kotak korek api dan diakhiri elemen arsitektur, Kristal berbentuk kubus (garam), prisma (kristal), piramida (scheelite), segi delapan (berlian), dll juga ditemukan di alam.
Konsep polihedron, jenis-jenis polihedra dalam geometri
Geometri sebagai ilmu mengandung bagian stereometri yang mempelajari sifat dan sifat benda volumetrik, yang sisi-sisinya dalam ruang tiga dimensi dibentuk oleh bidang-bidang terbatas (wajah), disebut “polihedra”. Ada puluhan jenis polihedra, berbeda dalam jumlah dan bentuk mukanya.
Namun demikian, semua polihedra memiliki sifat yang sama:
- Semuanya mempunyai 3 komponen integral: muka (permukaan poligon), titik sudut (sudut yang terbentuk pada pertemuan muka), tepi (sisi bangun atau ruas yang terbentuk pada pertemuan dua muka). ).
- Setiap sisi poligon menghubungkan dua, dan hanya dua, permukaan yang berdekatan satu sama lain.
- Cembung berarti bahwa benda terletak seluruhnya hanya pada satu sisi bidang tempat salah satu mukanya berada. Aturan ini berlaku untuk semua sisi polihedron. Dalam stereometri, bangun geometri seperti itu disebut polihedra cembung. Pengecualiannya adalah polihedra bintang, yang merupakan turunan dari polihedra beraturan. benda geometris.
Polihedra dapat dibagi menjadi:
- Jenis polihedra cembung, terdiri dari kelas-kelas berikut: biasa atau klasik (prisma, piramida, paralelepiped), beraturan (disebut juga padatan Platonis), semiregular (nama lain adalah padatan Archimedean).
- Polihedra tidak cembung (berbentuk bintang).
Prisma dan sifat-sifatnya
Stereometri sebagai salah satu cabang geometri mempelajari sifat-sifat angka tiga dimensi, jenis polihedra (di antaranya prisma). Prisma adalah benda geometris yang memiliki dua sisi yang benar-benar identik (disebut juga alas) yang terletak pada bidang sejajar, dan jumlah sisi sisinya yang ke-n dalam bentuk jajaran genjang. Pada gilirannya prisma juga memiliki beberapa ragam, antara lain jenis polihedra seperti:
- Paralelepiped terbentuk jika alasnya adalah jajar genjang - poligon dengan 2 pasang sudut berhadapan yang sama besar dan dua pasang sisi berhadapan yang kongruen.
- mempunyai rusuk yang tegak lurus dengan alasnya.
- ditandai dengan adanya sudut tidak langsung (selain 90) antara tepi dan alasnya.
- Prisma beraturan dicirikan oleh alas-alas yang berbentuk sisi-sisi yang sama panjang.
Sifat dasar prisma:
- Basis yang kongruen.
- Semua sisi prisma adalah sama besar dan sejajar satu sama lain.
- Semua sisi sisinya berbentuk jajar genjang.
Piramida
Piramida adalah benda geometris yang terdiri dari satu alas dan jumlah muka segitiga ke-n yang menghubungkan pada satu titik - puncak. Perlu dicatat bahwa jika sisi-sisi piramida harus diwakili oleh segitiga, maka pada dasarnya dapat terdapat poligon segitiga, segi empat, segi lima, dan seterusnya ad infinitum. Dalam hal ini, nama piramida akan sesuai dengan poligon di alasnya. Misalnya, jika ada segitiga di dasar piramida, itu adalah segi empat, dll.
Piramida adalah polihedra berbentuk kerucut. Jenis-jenis polihedra dalam kelompok ini, selain yang tercantum di atas, juga mencakup perwakilan berikut:
- mempunyai poligon beraturan di alasnya, dan tingginya diproyeksikan ke pusat lingkaran yang terdapat di alasnya atau dibatasi di sekelilingnya.
- Piramida persegi panjang terbentuk jika salah satu sisi sisinya memotong alasnya membentuk sudut siku-siku. Dalam hal ini, tepi ini juga dapat disebut sebagai ketinggian limas.
Sifat-sifat piramida:
- Jika semua sisi sisi limas itu kongruen (dengan tinggi yang sama), maka semuanya berpotongan dengan alasnya pada sudut yang sama, dan di sekeliling alasnya Anda dapat menggambar sebuah lingkaran yang pusatnya bertepatan dengan proyeksi puncak piramida. piramida.
- Jika sebuah poligon beraturan terletak di dasar limas, maka semua sisi sisinya kongruen, dan sisi-sisinya adalah segitiga sama kaki.
Polihedron beraturan: jenis dan sifat polihedra
Dalam stereometri tempat spesial menempati benda-benda geometris dengan permukaan yang benar-benar sama, pada simpul-simpul yang jumlah rusuknya sama. Benda-benda ini disebut padatan Platonis, atau polihedra beraturan. Hanya ada lima jenis polihedra dengan sifat berikut:
- Segi empat.
- Pigur berenam segi.
- Segi delapan.
- Pigura berduabelas segi.
- Icosahedron.
Polihedra beraturan mendapatkan namanya dari filsuf Yunani kuno Plato, yang menggambarkan benda-benda geometris ini dalam karyanya dan menghubungkannya dengan unsur-unsur alam: tanah, air, api, udara. Angka kelima dianugerahi kemiripan dengan struktur Alam Semesta. Menurutnya, atom elemen alami bentuknya menyerupai jenis polihedra biasa. Berkat propertinya yang paling menakjubkan - simetri, benda-benda geometris ini terwakili minat yang besar tidak hanya bagi para ahli matematika dan filsuf kuno, tetapi juga bagi para arsitek, seniman, dan pematung sepanjang masa. Kehadiran hanya 5 jenis polihedra dengan simetri absolut dianggap sebagai penemuan mendasar, bahkan dikaitkan dengan prinsip ketuhanan.
Hexahedron dan sifat-sifatnya
Bentuk segi enam penerus Plato mengasumsikan kemiripan dengan struktur atom bumi. Tentu saja, saat ini hipotesis tersebut telah terbantahkan sepenuhnya, namun hal ini tidak menghalangi angka-angka tersebut untuk menarik perhatian di zaman modern. tokoh terkenal estetikanya.
Dalam geometri, segi enam, juga dikenal sebagai kubus, dianggap sebagai kasus khusus dari paralelepiped, yang merupakan sejenis prisma. Oleh karena itu, sifat-sifat kubus terkait dengan satu-satunya perbedaan bahwa semua permukaan dan sudut kubus sama besar satu sama lain. Properti berikut mengikuti dari ini:
- Semua rusuk kubus kongruen dan terletak pada bidang sejajar satu sama lain.
- Semua sisi adalah persegi yang kongruen (ada 6 sisi dalam kubus), salah satunya dapat dijadikan alas.
- Semua sudut interhedral sama dengan 90.
- Setiap simpul mempunyai jumlah sisi yang sama yaitu 3.
- Kubus mempunyai 9 buah yang semuanya berpotongan pada titik potong diagonal-diagonal segi enam yang disebut pusat simetri.
Segi empat
Tetrahedron adalah tetrahedron yang sisi-sisinya sama besar berbentuk segitiga, yang masing-masing titik sudutnya merupakan titik penghubung ketiga sisi tersebut.
Sifat-sifat tetrahedron beraturan:
- Semua sisi tetrahedron berarti semua sisi tetrahedron kongruen.
- Karena basis diwakili oleh yang benar sosok geometris, yaitu mempunyai sisi-sisi yang sama besar, maka muka-muka tetrahedron itu bertemu pada sudut yang sama, yaitu semua sudutnya sama besar.
- Jumlah sudut bidang pada setiap titik sudut adalah 180, karena semua sudut sama besar, maka setiap sudut pada tetrahedron beraturan adalah 60.
- Setiap titik sudut diproyeksikan ke titik perpotongan ketinggian permukaan yang berhadapan (ortocenter).
Oktahedron dan sifat-sifatnya
Saat mendeskripsikan jenis polihedra beraturan, orang pasti akan memperhatikan objek seperti segi delapan, yang secara visual dapat direpresentasikan sebagai dua piramida beraturan segi empat yang direkatkan di alasnya.
Sifat-sifat segi delapan:
- Nama suatu benda geometris menunjukkan jumlah mukanya. Oktahedron terdiri dari 8 buah segitiga sama sisi yang kongruen, yang masing-masing titik sudutnya mempunyai jumlah muka yang sama yang bertemu, yaitu 4.
- Karena semua sisi segi delapan sama besar, maka sudut antarmukanya juga sama, yang masing-masing sama dengan 60, dan jumlah sudut bidang dari salah satu simpul adalah 240.
Pigura berduabelas segi
Jika kita membayangkan bahwa semua permukaan suatu benda geometris adalah segi lima beraturan, maka kita mendapatkan dodecahedron - gambar 12 poligon.
Sifat-sifat dodecahedron:
- Tiga sisi berpotongan di setiap titik sudut.
- Semua mukanya sama besar, panjang rusuknya sama, dan luasnya sama.
- Dodecahedron memiliki 15 sumbu dan bidang simetri, dan salah satunya melewati titik sudut muka dan bagian tengah tepi yang berlawanan dengannya.
Icosahedron
Tak kalah menarik dari dodecahedron, bangun ikosahedron merupakan benda geometris tiga dimensi yang memiliki 20 sisi sama panjang. Di antara sifat-sifat 20 hedron biasa, hal-hal berikut dapat diperhatikan:
- Semua sisi ikosahedron adalah segitiga sama kaki.
- Lima sisi bertemu pada setiap titik sudut polihedron, dan jumlah sudut yang berdekatan pada titik tersebut adalah 300.
- Icosahedron, seperti dodecahedron, memiliki 15 sumbu dan bidang simetri yang melalui titik tengah sisi yang berlawanan.
Poligon setengah beraturan
Selain padatan Platonis, kelompok polihedra cembung juga mencakup padatan Archimedean, yaitu polihedra beraturan terpotong. Jenis-jenis polihedra pada kelompok ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:
- Benda-benda geometris memiliki beberapa jenis permukaan yang sama berpasangan, misalnya, tetrahedron terpotong, seperti tetrahedron biasa, memiliki 8 permukaan, tetapi dalam kasus benda Archimedean, 4 permukaan akan berbentuk segitiga dan 4 akan berbentuk heksagonal.
- Semua sudut pada satu titik sudut adalah kongruen.
Polihedra bintang
Perwakilan dari jenis benda geometris non-volumetrik adalah polihedra bintang, yang permukaannya berpotongan satu sama lain. Mereka dapat dibentuk oleh peleburan dua benda tiga dimensi beraturan atau sebagai hasil perluasan wajahnya.
Jadi, polihedra bintang tersebut dikenal sebagai: bentuk bintang dari oktahedron, dodecahedron, ikosahedron, kuboctahedron, icosidodecahedron.
Garis besar dasar tentang topik:
"Pengantar Stereometri" kelas 10
Konsep dasar: titik, garis, bidang, polihedron, muka polihedron, muka berhadapan, muka bersebelahan, muka samping, alas, tepi polihedron, titik sudut polihedron, simpul berhadapan, diagonal, permukaan penuh, luas permukaan total, polihedron cembung, bukan -polihedron cembung
Alat Bangunan: penggaris tanpa pembagian, kompas, gambar persegi.
Stereometri (dari bahasa Yunani "stereos" - spasial) - bagian geometri di mana sifat-sifat tidak hanya datar, tetapi juga figur geometris spasial dipelajari.Angka dasar (Bentuk paling sederhana) dalam stereometri adalah titik, garis lurus, dan bidang.
Aksioma (pernyataan diterima tanpa bukti)
1. Ada banyak sekali bidang di ruang angkasa, dan pada masing-masing bidang tersebut berlaku planimetri, yaitu aksioma planimetri dan konsekuensinya adalah valid.
2. Tanda-tanda persamaan dan persamaan segitiga yang dipelajari dalam planimetri juga berlaku untuk segitiga yang terletak pada bidang yang berbeda.
Aturan dasar untuk menggambarkan gambar
Sebuah segmen diwakili oleh segmen garis
Titik tengah suatu segmen diwakili oleh titik tengah gambarnya
Titik yang membagi segmen dalam relasiM: Ndigambarkan dengan sebuah titik yang membagi bayangannya secara relasiM: N
Garis sejajar (segmen) digambarkan sebagai garis sejajar (segmen). Paralelisme dipertahankan
Segitiga sembarang dapat dianggap sebagai bayangan segitiga apa pun
Polihedron – suatu benda geometris yang dibatasi oleh sejumlah poligon datar yang jumlahnya terbatas, dua poligon yang berdekatan tidak terletak pada bidang yang sama. Poligon disebuttepian, sisi mereka – Tulang iga polihedron, dan simpulnya adalahpuncak polihedron.
Penuh permukaan adalah bangun datar yang dibentuk oleh seluruh permukaan polihedron.
Luas permukaan total (S penuh) – jumlah luas seluruh permukaan.
Luas permukaan lateral (S samping) - jumlah luas sisi-sisinya.
Konsep dasar: kubus, paralelepiped, paralelepiped kanan, berbentuk balok, prisma, prisma siku-siku, prisma n-gonal beraturan, limas, limas beraturan, tetrahedron
| kubus adalah polihedron yang memiliki enam wajah-wajah yang berbentuk persegi sama (Gbr. 1). Sisi-sisi persegi disebut Tulang iga Kuba. Titik sudut pada persegi disebut puncak Kuba. | |
| Paralelipiped adalah polihedron dengan enam sisi dan masing-masing sisi adalah jajar genjang (Gbr. 2). Di depan wajah adalah wajah yang tidak mempunyai tepi yang sama. Terkait wajah – wajah yang memiliki keunggulan yang sama. Di depan simpul adalah dua simpul dari suatu paralelepiped yang tidak memiliki sisi yang sama. Diagonal adalah segmen yang menghubungkan simpul-simpul yang berlawanan (Gbr. 3). Paralelepiped kanan adalah sebuah parallelepiped yang sisi-sisinya berbentuk persegi panjang. Paralelepiped persegi panjang adalah sebuah parallelepiped dengan semua permukaannya berbentuk persegi panjang (Gbr. 4). | |
| prisma ( N -batu bara) adalah polihedron yang kedua sisinya sama n-gon, dan sisanya N wajahnya adalah jajaran genjang (Gbr. 5). N-gon yang sama disebut alasan , dan jajaran genjang – samping tepian. Prisma lurus - ini adalah prisma yang sisi-sisinya berbentuk persegi panjang (Gbr. 6). Benar N -prisma karbon - ini adalah prisma yang sisi-sisinya berbentuk persegi panjang, dan alasnya berbentuk n-gon beraturan. | |
| Piramida ( N -batu bara) adalah polihedron yang salah satu sisinya adalah n-gon, dan n sisi lainnya adalah segitiga dengan titik sudut yang sama (Gbr. 7). Basis piramida disebut n-gon. samping muka adalah segitiga yang mempunyai titik sudut yang sama. Puncak piramida adalah puncak bersama mereka. Tulang iga piramida adalah sisi-sisi muka piramida. samping Sisi-sisi piramida adalah sisi-sisi yang bertemu pada puncaknya. Piramida yang benar - ini adalah piramida yang alasnya berbentuk n-gon beraturan, dan semua sisi sisinya sama besar. Segi empat adalah piramida segitiga. Tetrahedron biasa adalah limas segitiga jika semua sisinya berbentuk segitiga beraturan. |
Ia menjadi dikenal luas berkat partisipasinya dalam serial " Cinta besar“Namun, aktor tersebut juga dapat dilihat di beberapa film lainnya proyek terkenal, seperti serial " Bahan rahasia", "TKP: Miami".
Menariknya, aktor ganteng tersebut tidak mengonsumsi produk hewani apa pun. Dia adalah seorang vegetarian mutlak.
Tahun-tahun awal dan jalan menuju akting
Little Douglas lahir di Kanada, di provinsi Ontario. Bocah itu muncul di keluarga seorang guru dan produser film beranggaran rendah. Douglas yang tampan membuat orang tuanya senang dengan penampilannya pada 22 Juni 1985. Pria itu memiliki dua saudara laki-laki dan perempuan: Gregory, Andre dan Samantha Smith. Gregory, seperti Douglas, adalah seorang aktor.
Saudara-saudara dilahirkan dalam keluarga seorang produser, dan ini mungkin menentukan nasib mereka. Sejak usia 11 tahun, aktor kecil namun memiliki tujuan, Douglas Smith, menjadi terlibat erat di dalamnya keterampilan akting. Ngomong-ngomong, lelaki itu punya pengalaman berakting di atas panggung, misalnya dalam komedi Shakespeare "Twelfth Night" dalam peran Malvolio.
Film pertama yang dibintangi Douglas adalah "Deadly Challenge" (1996), di mana ia memainkan peran kecil.
Film
Douglas Smith mendapatkan peran pertamanya bioskop besar dalam film "Blast from the Past" (1999), di mana dia berhasil bekerja dengan itu aktor terkenal, seperti halnya Brendan Fraser. Lebih jauh lagi, aktor muda dan ambisius ini tidak bosan bekerja keras dan meraih kesuksesan berbagai proyek. Jadi dia berakting di film dan serial televisi, yang membuatnya sangat populer.
Serial TV yang dibintangi aktor Douglas Smith:
Portofolio film Smith juga mencakup sejumlah film. Di suatu tempat dia memainkan peran cameo kecil, dan beberapa film cukup populer dan didengar oleh banyak penggemar film:
Kehidupan pribadi
Jika seseorang berbakat, maka dia mempunyai setidaknya satu bakat lagi. Aktor Douglas Smith berpartisipasi dalam grup Musim Panas Alaska, di mana, pacar aktor tersebut, Ashton Lunsford, juga bekerja. Tampaknya semuanya serius dengan para pria, karena tidak semua orang bisa menangani pasangannya sepanjang waktu - di rumah dan di tempat kerja.
Ngomong-ngomong, lelaki itu menulis lagu sendiri dan menampilkannya di grupnya.
Kubus, bola, piramida, silinder, kerucut - benda geometris. Diantaranya adalah polihedra. Polihedron adalah benda geometris yang permukaannya terdiri dari sejumlah poligon yang terbatas. Masing-masing poligon ini disebut muka polihedron, sisi-sisi dan titik sudut poligon-poligon tersebut berturut-turut merupakan tepi dan simpul dari polihedron.
Sudut dihedral antara permukaan yang berdekatan, mis. wajah yang memiliki sisi yang sama - tepi polihedron - juga pikiran dihedral dari polihedron. Sudut-sudut poligon - muka-muka poligon cembung - adalah pikiran datar dari polihedron. Selain sudut datar dan dihedral, polihedron cembung juga memiliki sudut polihedral. Sudut-sudut ini membentuk wajah-wajah yang memiliki titik sudut yang sama.
Di antara polihedra ada prisma Dan piramida.
prisma - adalah polihedron yang permukaannya terdiri dari dua poligon sama besar dan jajaran genjang yang mempunyai sisi-sisi yang sama pada masing-masing alasnya.
Dua poligon yang sama disebut alasan ggrizmg, dan jajaran genjang adalah dia samping tepian. Bentuk muka samping permukaan lateral prisma. Tepi yang tidak terletak pada alasnya disebut tulang rusuk lateral prisma.
Prisma disebut p-batubara, jika basisnya adalah i-gon. Pada Gambar. 24.6 menunjukkan prisma segi empat ABCDA"B"C"D".
Prisma disebut lurus, jika sisi-sisinya berbentuk persegi panjang (Gbr. 24.7).
Prisma disebut benar , jika lurus dan alasnya berupa poligon beraturan.
Prisma segi empat disebut paralelipiped , jika alasnya berupa jajar genjang.
Paralelepiped disebut persegi panjang, jika semua mukanya berbentuk persegi panjang.
Diagonal dari paralelepiped adalah segmen yang menghubungkan simpul-simpul yang berhadapan. Paralelepiped mempunyai empat diagonal.
Hal ini telah terbukti Diagonal-diagonal suatu parallelepiped berpotongan di satu titik dan dibagi dua oleh titik tersebut. Diagonal-diagonal suatu parallelepiped persegi panjang adalah sama.
Piramida adalah polihedron, yang permukaannya terdiri dari poligon - alas piramida, dan segitiga yang memiliki titik sudut yang sama, disebut sisi lateral piramida. Titik sudut persekutuan dari segitiga-segitiga ini disebut atas piramida, tulang rusuk memanjang dari atas, - tulang rusuk lateral piramida.
Garis tegak lurus yang dijatuhkan dari puncak limas ke alasnya, serta panjang tegak lurus tersebut, disebut tinggi piramida.
Piramida paling sederhana - segitiga atau tetrahedron (Gbr. 24.8). Keunikan piramida segitiga adalah wajah apa pun dapat dianggap sebagai alasnya.
Piramida disebut benar, jika alasnya adalah poligon beraturan, dan semua sisi sisinya sama besar.
Perhatikan bahwa kita harus membedakannya tetrahedron biasa(yaitu tetrahedron yang semua sisinya sama besar) dan piramida segitiga beraturan(pada alasnya terdapat segitiga beraturan, dan sisi-sisinya sama besar, tetapi panjangnya mungkin berbeda dari panjang sisi segitiga yang merupakan alas prisma).
Membedakan menonjol Dan tidak cembung polihedra. Anda dapat mendefinisikan polihedron cembung jika Anda menggunakan konsep benda geometris cembung: polihedron disebut cembung. jika itu adalah gambar cembung, mis. bersama dengan dua titik mana pun, ia juga seluruhnya memuat segmen yang menghubungkannya.
Polihedron cembung dapat didefinisikan secara berbeda: disebut polihedron cembung, jika ia terletak seluruhnya pada salah satu sisi poligon yang membatasinya.
Definisi-definisi ini setara. Kami tidak memberikan bukti atas fakta ini.
Semua polihedra yang dibahas sejauh ini berbentuk cembung (kubus, paralelepiped, prisma, piramida, dll.). Polihedron yang ditunjukkan pada Gambar. 24.9, tidak cembung.
Hal ini telah terbukti dalam polihedron cembung, semua permukaannya adalah poligon cembung.
Mari kita perhatikan beberapa polihedra cembung (Tabel 24.1)
Dari tabel ini dapat disimpulkan bahwa untuk semua polihedra cembung persamaan B - P + G= 2. Ternyata hal ini juga berlaku untuk semua polihedron cembung. Sifat ini pertama kali dibuktikan oleh L. Euler dan disebut teorema Euler.
Polihedron cembung disebut benar jika muka-mukanya merupakan poligon beraturan yang sama dan jumlah muka yang sama bertemu pada setiap titik sudut.
Dengan menggunakan sifat sudut polihedral cembung, dapat dibuktikan berbagai jenis Tidak ada lebih dari lima polihedra beraturan.
Memang, jika kipas dan polihedron adalah segitiga beraturan, maka 3, 4 dan 5 dapat bertemu pada satu titik sudut, karena 60" 3< 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.
Jika tiga segitiga beraturan bertemu di setiap titik sudut polifan, maka kita peroleh tetrahedron tangan kanan, yang diterjemahkan dari Phetic berarti “tetrahedron” (Gbr. 24.10, A).
Jika empat segitiga beraturan bertemu pada setiap titik sudut polihedron, maka kita peroleh segi delapan(Gbr. 24.10, V). Permukaannya terdiri dari delapan segitiga beraturan.
Jika lima segitiga beraturan bertemu di setiap titik sudut polihedron, maka kita peroleh ikosahedron(Gbr. 24.10, d). Permukaannya terdiri dari dua puluh segitiga beraturan.
Jika permukaan polifan berbentuk bujur sangkar, maka hanya tiga diantaranya yang dapat bertemu pada satu titik sudut, karena 90° 3< 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также pigur berenam segi(Gbr. 24.10, B).
Jika rusuk-rusuk polifan berbentuk segi lima beraturan, maka hanya phi yang dapat bertemu pada satu titik sudut, karena 108° 3< 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется pigura berduabelas segi(Gbr. 24.10, D). Permukaannya terdiri dari dua belas segi lima beraturan.
Permukaan polihedron tidak boleh berbentuk heksagonal atau lebih, karena untuk segi enam pun 120° 3 = 360°.
Dalam geometri, telah dibuktikan bahwa dalam ruang Euclidean tiga dimensi terdapat tepat lima jenis polihedra beraturan.
Untuk membuat model polihedron, Anda perlu membuatnya memindai(lebih tepatnya, perkembangan permukaannya).
Perkembangan polihedron adalah bangun datar pada suatu bidang yang diperoleh jika permukaan polihedron dipotong sepanjang tepi tertentu dan dibentangkan sehingga semua poligon yang termasuk dalam permukaan tersebut terletak pada bidang yang sama.
Perhatikan bahwa polihedron dapat memiliki beberapa perkembangan berbeda tergantung pada tepi mana yang kita potong. Gambar 24.11 menunjukkan gambar-gambar yang merupakan berbagai perkembangan dari limas segi empat beraturan, yaitu limas yang alasnya berbentuk bujur sangkar dan semua sisi sisinya sama besar.
Agar suatu bangun datar pada bidang merupakan pengembangan dari polihedron cembung, ia harus memenuhi sejumlah persyaratan yang berkaitan dengan ciri-ciri polihedron tersebut. Misalnya, angka-angka pada Gambar. 24.12 bukanlah pengembangan dari piramida segi empat beraturan: pada gambar yang ditunjukkan pada Gambar. 24.12, A, di atas M empat sisi menyatu, yang tidak dapat terjadi pada piramida segi empat beraturan; dan pada gambar yang ditunjukkan pada Gambar. 24.12, B, tulang rusuk lateral A B Dan Matahari tidak sama.
Secara umum, pengembangan polihedron dapat diperoleh dengan memotong permukaannya tidak hanya di bagian tepinya. Contoh pengembangan kubus ditunjukkan pada Gambar. 24.13. Oleh karena itu, lebih tepatnya, pengembangan polihedron dapat didefinisikan sebagai poligon datar yang permukaan polihedronnya dapat dibuat tanpa tumpang tindih.
Badan revolusi
Tubuh rotasi disebut benda yang diperoleh sebagai hasil perputaran suatu bangun datar (biasanya datar) pada suatu garis lurus. Baris ini disebut sumbu rotasi.
Silinder- tubuh ego, yang diperoleh dengan memutar persegi panjang di salah satu sisinya. Dalam hal ini pihak yang dimaksud adalah sumbu silinder. Pada Gambar. 24.14 menunjukkan sebuah silinder dengan sumbu OO', diperoleh dengan memutar persegi panjang AA"O"O mengelilingi garis lurus OO". Poin TENTANG Dan TENTANG"- pusat dasar silinder.
Silinder yang dihasilkan dari perputaran persegi panjang pada salah satu sisinya disebut melingkar lurus sebuah silinder, karena alasnya adalah dua lingkaran sama besar yang terletak pada bidang sejajar sehingga ruas yang menghubungkan pusat-pusat lingkaran itu tegak lurus terhadap bidang-bidang tersebut. Permukaan lateral silinder dibentuk oleh segmen-segmen yang sama dengan sisi persegi panjang yang sejajar dengan sumbu silinder.
Menyapu Permukaan lateral silinder siku-siku, jika dipotong sepanjang generatrix, adalah persegi panjang, yang salah satu sisinya sama dengan panjang generatrix, dan sisi lainnya sama dengan panjang keliling alas.
Kerucut- ini adalah benda yang diperoleh dari hasil rotasi segitiga siku-siku sekitar salah satu kakinya.
Dalam hal ini, kaki yang ditunjukkan tidak bergerak dan disebut sumbu kerucut. Pada Gambar. Gambar 24.15 menunjukkan sebuah kerucut dengan sumbu SO, diperoleh dengan memutar segitiga siku-siku SOA dengan sudut siku-siku O mengelilingi kaki S0. Titik S disebut puncak kerucut, OA- radius alasnya.
Kerucut yang dihasilkan oleh perputaran segitiga siku-siku pada salah satu kakinya disebut kerucut melingkar lurus karena alasnya berbentuk lingkaran, dan puncaknya menonjol ke tengah lingkaran tersebut. Permukaan lateral kerucut dibentuk oleh segmen-segmen yang sama dengan sisi miring segitiga, yang ketika diputar akan membentuk kerucut.
Jika permukaan samping kerucut dipotong sepanjang generatrix, maka kerucut tersebut dapat “dibuka” menjadi sebuah bidang. Menyapu Permukaan lateral kerucut lingkaran siku-siku adalah bidang lingkaran yang jari-jarinya sama dengan panjang generatrix.
Ketika sebuah silinder, kerucut, atau benda rotasi lainnya memotong bidang yang memuat sumbu rotasi, diperolehlah bagian aksial. Bagian aksial silinder berbentuk persegi panjang, bagian aksial kerucut berbentuk segitiga sama kaki.
Bola- ini adalah benda yang diperoleh dengan memutar setengah lingkaran di sekitar diameternya. Pada Gambar. 24.16 menunjukkan sebuah bola yang diperoleh dengan memutar setengah lingkaran mengelilingi diameternya A A". Titik TENTANG ditelepon bagian tengah bola, dan jari-jari lingkaran adalah jari-jari bola.
Permukaan bola disebut bola. Bola itu tidak bisa diubah menjadi pesawat.
Setiap bagian bola pada bidang datar adalah lingkaran. Jari-jari penampang bola akan paling besar jika bidang melewati pusat bola. Oleh karena itu, bagian bola oleh bidang yang melalui pusat bola disebut lingkaran besar bola, dan lingkaran yang membatasinya adalah lingkaran besar.
GAMBAR BADAN GEOMETRI DI BIDANG
Berbeda dengan angka datar benda geometris tidak dapat digambarkan secara akurat, misalnya pada selembar kertas. Namun, dengan bantuan gambar di pesawat, Anda bisa mendapatkan gambaran figur spasial yang cukup jelas. Untuk melakukan ini, metode khusus digunakan untuk menggambarkan sosok-sosok tersebut di pesawat. Salah satunya adalah desain paralel.
Misalkan sebuah bidang dan garis lurus yang memotong a diberikan A. Mari kita ambil sembarang titik A dalam ruang yang bukan termasuk dalam garis A, dan kami akan memandu Anda X langsung A", sejajar dengan garis A(Gbr. 24.17). Lurus A" memotong bidang pada suatu titik X", yang disebut proyeksi paralel titik X ke bidang a.
Jika titik A terletak pada garis lurus A, kemudian dengan proyeksi paralel X" adalah titik di mana garis tersebut A memotong pesawat A.
Jika intinya X milik bidang a, maka titik X" bertepatan dengan intinya X.
Jadi, jika sebuah bidang a dan sebuah garis lurus yang memotongnya diberikan A. lalu setiap poin X ruang dapat dicocokkan satu-satunya poin A" - proyeksi paralel suatu titik X ke bidang a (saat mendesain sejajar dengan garis lurus A). Pesawat A ditelepon bidang proyeksi. Tentang garis A mereka bilang dia akan menggonggong arah desain - penggantian ggri langsung A hasil desain langsung lainnya yang sejajar dengannya tidak akan berubah. Semua garis sejajar dengan suatu garis A, tentukan arah desain yang sama dan disebut bersama dengan garis lurus A memproyeksikan garis lurus.
Proyeksi angka F panggil satu set F' proyeksi semua titik. Memetakan setiap titik X angka F"proyeksi paralelnya adalah sebuah titik X" angka F", ditelepon desain paralel angka F(Gbr. 24.18).
Proyeksi paralel suatu benda nyata adalah bayangan yang jatuh padanya permukaan rata di bawah sinar matahari, karena sinar matahari dapat dianggap paralel.
Desain paralel memiliki sejumlah sifat yang pengetahuannya diperlukan saat menggambarkan benda geometris pada bidang datar. Mari kita rumuskan yang utama tanpa memberikan buktinya.
Teorema 24.1. Selama desain paralel, sifat-sifat berikut dipenuhi untuk garis lurus yang tidak sejajar dengan arah desain dan untuk segmen yang terletak di atasnya:
1) proyeksi suatu garis adalah garis, dan proyeksi suatu ruas adalah ruas;
2) proyeksi garis sejajar sejajar atau berimpit;
3) perbandingan panjang proyeksi ruas-ruas yang terletak pada satu garis atau pada garis sejajar sama dengan perbandingan panjang ruas-ruas itu sendiri.
Dari teorema ini berikut ini konsekuensi: dengan proyeksi paralel, bagian tengah segmen diproyeksikan ke tengah proyeksinya.
Saat menggambarkan benda geometris pada bidang, perlu dipastikan bahwa sifat-sifat yang ditentukan terpenuhi. Kalau tidak, bisa saja sewenang-wenang. Dengan demikian, sudut dan perbandingan panjang ruas-ruas yang tidak sejajar dapat berubah secara sembarang, misalnya segitiga yang disusun sejajar digambarkan sebagai segitiga sembarang. Tetapi jika segitiga tersebut sama sisi, maka proyeksi mediannya harus menghubungkan titik sudut segitiga dengan titik tengah sisi yang berhadapan.
Dan satu persyaratan lagi yang harus diperhatikan saat menggambarkan benda spasial di pesawat - untuk membantu menciptakan gagasan yang benar tentang benda tersebut.
Mari kita gambarkan, misalnya, sebuah prisma miring yang alasnya berbentuk persegi.
Mari kita buat dulu alas prisma bagian bawah (Anda bisa mulai dari atas). Menurut aturan desain paralel, oggo akan digambarkan sebagai jajaran genjang ABCD yang berubah-ubah (Gbr. 24.19, a). Karena sisi-sisi prisma sejajar, kita membuat garis-garis lurus sejajar yang melalui titik-titik jajar genjang yang dibangun dan meletakkan pada titik-titik tersebut segmen yang sama AA", BB', CC", DD", yang panjangnya sewenang-wenang. Dengan menghubungkan titik-titik A", B", C", D pada deret ", kita peroleh segiempat A" B "C" D", yang menggambarkan alas atas prisma. Tidak sulit untuk membuktikannya A"B"C"D"- jajaran genjang sama dengan jajaran genjang ABCD dan akibatnya, kita mempunyai bayangan sebuah prisma, yang alasnya berbentuk persegi sama besar, dan permukaan-permukaannya yang lain adalah jajar genjang.
Jika Anda ingin menggambarkan sebuah prisma lurus yang alasnya berbentuk bujur sangkar, maka Anda dapat menunjukkan bahwa sisi-sisi prisma tersebut tegak lurus terhadap alasnya, seperti yang dilakukan pada Gambar. 24.19, B.
Selain itu, gambar pada Gambar. 24.19, B dapat dianggap sebagai gambar prisma beraturan, karena alasnya adalah persegi - segi empat beraturan, dan juga paralelepiped persegi panjang, karena semua wajahnya berbentuk persegi panjang.
Sekarang mari kita cari tahu cara menggambarkan piramida di pesawat.
Untuk menggambarkan piramida beraturan, pertama-tama gambarlah poligon beraturan yang terletak di alasnya, dan pusatnya adalah sebuah titik TENTANG. Kemudian gambarlah segmen vertikal sistem operasi menggambarkan ketinggian piramida. Perhatikan bahwa vertikalitas segmen sistem operasi memberikan kejelasan yang lebih besar pada gambar. Terakhir, titik S terhubung ke semua simpul alasnya.
Mari kita gambarkan, misalnya, sebuah piramida beraturan, yang alasnya berbentuk segi enam beraturan.
Untuk menggambarkan segi enam beraturan dengan benar selama desain paralel, Anda perlu memperhatikan hal-hal berikut. Biarkan ABCDEF menjadi segi enam beraturan. Maka ALLF adalah persegi panjang (Gbr. 24.20) dan, oleh karena itu, selama desain paralel, ALLF akan digambarkan sebagai jajar genjang sembarang B"C"E"F". Karena diagonal AD melalui titik O - pusat poligon ABCDEF dan sejajar dengan ruas-ruas tersebut. BC dan EF dan AO = OD, maka dengan desain paralel akan diwakili oleh segmen sembarang A "D" , melewati titik tersebut TENTANG" paralel B"C" Dan E"F" dan selain itu, A"O" = HAI"D".
Jadi, urutan pembuatan alas limas segi enam adalah sebagai berikut (Gbr. 24.21):
§ menggambarkan jajaran genjang sembarang B"C"E"F" dan diagonalnya; tandai titik perpotongannya HAI";
§ melalui suatu titik TENTANG" menggambar garis lurus sejajar V'S"(atau E"F');
§ pilih titik sembarang pada garis yang dibangun A" dan tandai intinya D" seperti yang TENTANG "D" = SEBUAH"HAI" dan menghubungkan titik tersebut A" dengan titik-titik DI DALAM" Dan F", dan titik D" - dengan titik DENGAN" Dan E".
Untuk menyelesaikan pembangunan piramida, gambarlah segmen vertikal sistem operasi(panjangnya dipilih secara acak) dan hubungkan titik S ke semua simpul alasnya.
Pada proyeksi paralel, bola digambarkan sebagai lingkaran dengan jari-jari yang sama. Untuk membuat gambar bola lebih visual, buatlah proyeksi sebuah lingkaran besar, yang bidangnya tidak tegak lurus terhadap bidang proyeksi. Proyeksi ini akan berbentuk elips. Bagian tengah bola akan diwakili oleh bagian tengah elips ini (Gbr. 24.22). Sekarang kita dapat menemukan kutub yang sesuai N dan S, asalkan ruas yang menghubungkannya tegak lurus terhadap bidang ekuator. Untuk melakukan ini, melalui intinya TENTANG menggambar garis lurus tegak lurus AB dan tandai titik C - perpotongan garis ini dengan elips; kemudian melalui titik C kita menggambar garis singgung elips yang mewakili garis khatulistiwa. Terbukti jaraknya CM sama dengan jarak dari pusat bola ke masing-masing kutub. Oleh karena itu, kesampingkan ruas-ruasnya PADA Dan sistem operasi setara CM, kita mendapatkan tiangnya N dan S.
Mari kita pertimbangkan salah satu teknik untuk membuat elips (didasarkan pada transformasi bidang, yang disebut kompresi): buatlah lingkaran dengan diameter dan gambar tali busur yang tegak lurus dengan diameternya (Gbr. 24.23). Setengah dari setiap tali busur dibagi menjadi dua dan titik-titik yang dihasilkan dihubungkan oleh sebuah kurva halus. Kurva ini berbentuk elips yang sumbu utamanya adalah ruas AB, dan pusatnya adalah sebuah titik TENTANG.
Teknik ini dapat digunakan untuk menggambarkan silinder lingkaran lurus (Gbr. 24.24) dan kerucut lingkaran lurus (Gbr. 24.25) pada sebuah bidang.
Kerucut melingkar lurus digambarkan seperti ini. Pertama, mereka membuat elips - alasnya, lalu mencari pusat alasnya - titiknya TENTANG dan menggambar ruas garis tegak lurus sistem operasi yang melambangkan tinggi kerucut. Dari titik S, garis singgung ditarik ke elips (ini dilakukan “dengan mata”, menerapkan penggaris) dan segmen dipilih SC Dan SD garis lurus ini dari titik S ke titik singgung C dan D. Perhatikan bahwa segmen tersebut CD tidak sesuai dengan diameter alas kerucut.
Memuat...
