С пространственными геометрическими фигурами (куб, шар, параллелепипед и др.) дети знакомятся в практической деятельности (при конструировании, во время игры) гораздо раньше, чем с плоскими фигурами. Особенности мышления младших дошкольников определяют выбор наглядного материала. В этом возрасте важно, чтобы изучаемый объект был крупный, яркий, чтобы им можно было выполнять действия (поиграть). Обследование идет на сенсорной основе, поэтому с моделями объемных фигур детям знакомиться легче. Кубики, шарики, бруски и др. входят в игру детей одновременно с первыми игрушками. Обычно математические названия им не даются, но идет знакомство с различными объемными формами, а в речь вводятся только некоторые термины.
Основными фигурами в пространстве считаются: точка, прямая, плоскость . На каждой плоскости выполняются все утверждения планиметрии. В стереометрии, так же как в планиметрии, вводится ряд аксиом, которые изучаются в школьном курсе геометрии.
Объемные геометрические фигуры называют геометрическими телами. В пространстве выделяют многогранники (призма, пирамида и др.) и тела вращения (шар, конус, цилиндр и др.).
Многогранники
Многогранник - это ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины - вершинами многогранника.
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости любой его грани (рис. 70).
Выпуклый многогранник невыпуклый многогранник
Задание 43
Покажите вершины, ребра и грани многогранников, изображенных на рисунке 70. Какими геометрическими фигурами они являются!
Правильный выпуклый многогранник имеет грани - правильные равные многоугольники, и в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер.
Задание 44
1. Вспомните, какие фигуры называют равными.
2. Назовите известные вам правильные выпуклые многогранники.
Всего существует 5 правильных многогранников, в отличие от правильных многоугольников, которых бесконечно много. Это обусловлено двумя причинами:
Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, все грани которого прямоугольники (рис. 75).
Куб - это прямоугольный параллелепипед с равными ребрами (или все грани которого являются квадратами) (рис. 76).
Дошкольники, изучая куб, могут отметить, что его поверхность состоит из шести квадратов, что у него 8 вершин. Свойства куба осваиваются ими, например, при выполнении такого задания: «Обклей кубик цветной бумагой. Что для этого нужно?» (вырезать 6 одинаковых квадратов).
Прямоугольный параллелепипед в детском саду часто называют «кирпичиком» или «бруском», что допустимо в предматематической подготовке. Эти слова являются предэталонными названиями геометрических фигур, так же как «кубик», «крыша» (треугольная призма), «столбик» (цилиндр) и др.
Младшим школьникам можно предложить задание: «Вырежи выкройку для коробки. Какую форму имеет каждая часть?» Таким образом, дети выясняют, что гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, не формулируя этого явно.
Пирамида - многогранник, состоящий из плоского многоугольника (основания), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины), и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания (рис. 77). Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами. Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Все боковые граны - треугольники.
В зависимости от числа углов многоугольника, являющегося основанием, пирамиды бывают: треугольные (рис. 77а), четырехугольные (рис. 776), пятиугольные и другие пирамиды.
Любая грань треугольной пирамиды может служить ее основанием. Это же название носит и правильный многогранник, тетраэдр, гранями которого являются равные равносторонние треугольники.
Форму тетраэдра имеет пакет молока (старой упаковки), а египетские пирамиды имеют форму четырехугольной правильной пирамиды. Дошкольники называют «пирамидкой» совсем другую модель - игрушку из колец разной величины, которая имеет форму конуса. Эта ситуация может вызвать затруднения в запоминании и правильном применении геометрических терминов у детей. Данная проблема преодолевается при своевременном грамотном объяснении и разделении названий игрушек от названий их формы, эталонами для определения которой служат геометрические фигуры.
Задание 47
1. Нарисуйте пятиугольную пирамиду. Покажите ее основание, боковую поверхность, боковые грани и ребра. Какими геометрическими фигурами они являются?
2. Дайте определения высоты пирамиды и правильной пирамиды.
Тела вращения
Изучая форму окружающих предметов, дошкольники сталкиваются с телами вращения (рис. 78).
Эти фигуры называются телами вращения, так как они могут быть получены путем вращения некоторых плоских геометрических фигур.
Цилиндр - это тело вращения, которое может быть получено путем вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон, как оси (рис. 79).
Конус - это тело вращения, которое может быть получено путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, как оси (рис. 80),
Шар - это тело вращения, которое может быть получено путем вращения половины круга вокруг его диаметра, как оси (рис. 81).
Определения этих фигур из курса геометрии средней школы:
Цилиндр - тело, которое состоит из двух кругов (оснований), совмещаемых параллельным
переносом, и всех отрезков, соединяющих
соответствующие точки этих кругов.
Конус - тело, которое состоит из круга (основания), точки (вершины), не лежащей в плоскости этого круга, и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.
Шар - тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не более заданного (радиуса) от данной точки (центра).
Задание 48
Дайте определения:
- сферы;
- высоты цилиндре и прямого цилиндра;
- образующей конуса, высоты конуса и прямого конуса.
Дошкольники не знакомятся с этими формулировками, но могут различать и узнавать объемные тела, а если провести специальную работу, и правильно называть их. Дети усваивают свойства этих фигур в сравнении с другими. Например, во время игры «Катится - не катится» они выясняют, что: «Цилиндр, стоящий на основании, устойчив, как куб, но если его положить - катится, как шар».
Обследование поверхности дает знание того, что основанием цилиндра и конуса является круг. Рисование объемных предметов разной формы на плоскости учит детей сравнивать, проводить аналогию, моделировать, трансформировать пространство на плоскости. Например, в процессе обсуждения таких вопросов: «Какой формы мяч? Какую фигуру надо нарисовать, чтобы изобразить мяч?»
Знакомство с объемными фигурами расширяет знания детей об окружающем мире, закладывает основы для изучения геометрии в школе, обогащает их речь, формирует навыки обследования, развивает мышление.
Вопросы для самоконтроля к теме № 3
1. Что изучает геометрия?
2. Что изучает планиметрия?
3. Что изучает стереометрия?
4. Что называется геометрической фигурой?
5. Назовите правила построения геометрии.
6. Назовите основные фигуры на плоскости и в пространстве.
7. Какие фигуры называются плоскими?
8. Какие фигуры называются выпуклыми?
9. Дайте определение отрезка.
10. Дайте определение луча.
11. Дайте определение угла.
12. Какая линия называется ломаной?
13. Какая ломаная называется простой?
14. Дайте определение многоугольника.
15. Какой многоугольник называется выпуклым?
16. Какой многоугольник называется правильным?
17. Дайте определение треугольника.
18. Какой треугольник называется равносторонним, какой - равнобедренным, какой - разносторонним?
ТЕМА 4
ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ
Понятие величины
Величина - одно из основных математических понятий, возникшее в древности и в процессе длительного развития подвергшееся ряду обобщений. Длина, площадь, объем, масса, скорость - это величины.
Задание 49
Приведите примеры различных величии, изучаемых в школе на уроках математики, физики, химии. Вспомните способы их измерения и единицы этих величин.
Величины представляют собой особые свойства реальных предметов или явлений, которые проявляются при сравнении их по этому свойству, причем каждая величина связана с определенным способом сравнения. Например, длину отрезков можно сравнить способом наложения, а массу предметов - взвешиванием. Величины можно оценивать количественно на основе сравнения.
Величину рассматривают как обобщение свойств некоторых объектов и как индивидуальную характеристику свойства конкретного объекта. Например, свойство предметов «иметь протяженность» называется «длиной».
Однородные величины - величины, которые выражают одно и то же свойство объектов некоторого класса. Например, длина, ширина, периметр - однородные величины.
Разнородные величины выражают различные свойства объектов (один предмет может иметь массу, объем и др.).
ГЕОМЕТРИЯ
раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В планиметрии рассматриваются фигуры на плоскости; в стереометрии изучаются пространственные фигуры.
ИСТОРИЯ
Египет.
Если не учитывать весьма скромный вклад древних обитателей долины между Тигром и Евфратом и Малой Азии, то геометрия зародилась в Древнем Египте до 1700 до н.э. Во время сезона тропических дождей Нил пополнял свои запасы воды и разливался. Вода покрывала участки обработанной земли, и в целях налогообложения нужно было установить, сколько земли потеряно. Землемеры использовали в качестве измерительного инструмента туго натянутую веревку. Еще одним стимулом накопления геометрических знаний египтянами стали такие виды их деятельности, как возведение пирамид и изобразительное искусство. Основным источником наших знаний о древнеегипетской геометрии является относящийся примерно к 1700 до н.э. папирус Ринда, названный по имени владельца, египтолога Ринда (этот папирус также называется папирусом Ахмеса) и хранящийся ныне в Лондоне в Британском музее. Папирус Ринда свидетельствует о том, что древних египтян интересовали главным образом практические аспекты геометрии и что при накоплении геометрических фактов египтяне почти всецело руководствовались интуицией, экспериментом и приближенными представлениями.
Греция.
Около 600 до н.э. ионийские греки, совершившие путешествие в Египет, привезли на родину первые сведения о геометрии. Самым известным путешественником в Египет был Фалес (ок. 640 - ок. 546 до н.э.). Он был преуспевающим купцом, посвятившим последние годы жизни науке и политике. Фалес первым начал доказывать истинность геометрических соотношений, последовательно выводя их логически из некоторого набора общепринятых утверждений, называемых аксиомами или постулатами. Этот метод дедуктивного рассуждения, которому предстояло стать доминирующим в геометрии и фактически - во всей математике, сохраняет свое фундаментальное значение и в наши дни. Одним из наиболее знаменитых учеников Фалеса был Пифагор (ок. 570 - ок. 500 до н.э.). Он много путешествовал, а потом поселился в Кротоне, в Италии, где основал общество, занимавшееся изучением арифметики, музыки, геометрии и астрономии. Пифагор и его последователи доказали много новых теорем о треугольниках, окружностях, пропорциях и некоторых трехмерных телах. Пифагор доказал также знаменитую теорему, носящую ныне его имя, согласно которой площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Пифагор умер в изгнании, но его влияние на греческих математиков ощущалось на протяжении многих веков. После его кончины в Элее (город в Италии) новыми центрами развивающейся геометрии становились по очереди Афины и Александрия. Архит Тарентский (ок. 428 - ок. 365 до н.э.) и Гиппий Элидский (р. ок. 425 до н.э.) затратили много усилий на решение трех задач, игравших важную роль в древнегреческой математике: это задачи о трисекции угла, о построении квадрата, площадь которого равна площади данного круга (задача о квадратуре круга), и о построении куба, имеющего вдвое больший объем, чем данный куб (задача об удвоении куба). Хотя ныне известно, что с помощью циркуля и линейки (единственных орудий геометрических построений, известных древнегреческим математикам) эти задачи решить нельзя, тем не менее попытки это сделать не были напрасны. Они стимулировали изучение конических сечений и способствовали совершенствованию математических методов.
Александрия.
Афинская школа числила в своих рядах таких великих людей, как Платон и Аристотель. После смерти Аристотеля центр научной мысли переместился в Александрию (Египет), где в начале 3 в. до н.э. был основан знаменитый Александрийский Мусейон - один из главных научных центров античного мира. Живший в Александрии математик Евклид (3 в. до н.э.), биографические сведения о котором крайне скудны, собрал в 13 книгах своего сочинения значительную часть математических знаний того времени. Семь книг из 13 были посвящены геометрии, предмет которой был им тщательно и систематически изложен, различные утверждения и теоремы расположены в определенном порядке и перенумерованы. Была включена также теория пространственных тел, ограниченных плоскими поверхностями. Называлось это великое сочинение Начала, и последующие издания, точно придерживающиеся оригинала, стали основой обучения геометрии вплоть до нашего времени. Величайшим математиком античности был грек Архимед (ок. 287-212 до н.э.). Кроме множества других полученных им научных результатов и открытий, Архимед расширил ту часть Начал Евклида, в которой рассматривались пространственные тела, включив в их число сферу, цилиндр и конус. Другими великими александрийскими геометрами были Аполлоний Пергский (3 в. до н.э.; конические сечения), Птолемей (2 в. н.э.; астрономия) и Папп (3 в. н.э.; плоские кривые высших порядков). В 641 н.э. арабы разграбили Александрию и разрушили Мусейон и его библиотеку. Впрочем, греческая математика вступила в период застоя еще в начале 4 в. н.э, после кончины Паппа.
Средневековье.
После падения Александрии большинство работ древнегреческих математиков были рассеяны или утрачены. Некоторые из них, в том числе Начала Евклида, были переведены и изучались арабами и индийцами. И хотя эти народы породили нескольких великих математиков, среди которых наиболее известны индийские математики Ариабхата (ок. 476 - ок. 550) и Бхаскара II (ок. 1114-1185), все же их самой большой заслугой следует считать сохранение геометрии в период Средневековья. После падения Римской империи в 5 в. наука в Европе долгое время находилась почти в полном забвении. В 12 и 13 вв. Начала были переведены с греческого и арабского на латынь и современные европейские языки, а геометрия вошла в программу монастырских школ. Первый из этих переводов был выполнен Аделардом Батским в 1120.
Новое время.
За последние 300 лет доказательная геометрия была существенно расширена, а по своим методам и степени общности результатов она стала заметно отличаться от элементарной геометрии (т.е. геометрии, изложенной в Началах). Французский математик Ж.Дезарг (1593-1662) в связи с развитием учения о перспективе занялся исследованием свойств геометрических фигур в зависимости от их проекций. Тем самым он заложил основу проективной геометрии, которая изучает те свойства фигур, которые остаются неизменными при различных проекциях. В 19 в. это направление получило существенное развитие. Проективная геометрия, конические сечения и новая геометрия треугольников и окружностей составили содержание современной т.н. чистой геометрии. Тесно связанная с проективной, начертательная геометрия была введена французским математиком Г. Монжем (1746-1818). Эта новая область геометрии была связана с представлением изображений геометрических фигур на плоскости и определением геометрическими средствами расстояний, углов и линий пересечения. Начертательная геометрия представляет собой основу технического черчения. В 1637 Р. Декарт (1596-1650), французский философ и математик, опубликовал свою Геометрию - первый труд по аналитической геометрии, позволивший применить в геометрии мощные алгебраические методы. Геометрические задачи всех видов теперь могли решаться в рамках единого подхода; кроме того, благодаря новым методам стала возможной постановка и решение новых задач, о которых древние не могли даже помыслить, но которые ныне находятся в самом центре математики и математической физики. Со времен первого появления Начал математики тщетно пытались доказать пятый постулат Евклида: через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, ей параллельную. В 19 в. было доказано, что можно построить непротиворечивую геометрию, используя все аксиомы и постулаты Евклида и отрицание постулата о параллельных, а это означало, что искомого доказательства пятого постулата не существует. Любая такая непротиворечивая геометрия получила название неевклидовой геометрии. Около 1830 Я.Бойяи (1802-1860) и Н.И.Лобачевский (1792-1856) независимо друг от друга построили геометрию, использовавшую постулат, согласно которому через точку, лежащую вне прямой, можно провести много прямых, ей параллельных. В 1854 Б.Риман (1826-1866) сформулировал постулат, согласно которому через точку вне прямой невозможно провести ни одной параллельной, что дало начало т.н. римановой геометрии. Неевклидова математика расширилась и стала включать в себя тригонометрию, аналитическую и дифференциальную геометрии, охватив не только планиметрию, но и стереометрию, а также геометрию пространств размерности больше трех (геометрию гиперпространств). Евклидова и обе неевклидовы геометрии одинаково хорошо служат для описания той ограниченной области пространства, в которой мы живем, хотя геометрия Евклида проще по форме. В то же время при переходе к римановой геометрии некоторые современные физические теории существенно упрощаются.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ПЛАНИМЕТРИЯ
Аксиомы и постулаты.
Существует набор исходных посылок, называемых аксиомами и постулатами, на которых базируется вся структура геометрии.
Аксиомы.
Аксиомы - это утверждения, принимаемые за истинные без доказательств. Аксиомы обычно подразделяются на две группы: общие, относящиеся ко всей математике, и геометрические. К числу общих аксиом относятся следующие.
1. Равные одному и тому же равны между собой. 2. Если к равным прибавляются равные, то суммы будут равны. 3. Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны. 4. Если равные умножить на равные, то произведения будут равны. 5. Если равные разделить на равные, то частные будут равны. Деление на нуль запрещается. 6. Одинаковые степени равных, а также корни одинаковой степени из равных равны. 7. Целое больше любой своей части. 8. Целое равно сумме своих частей.
К числу геометрических аксиом относятся следующие.
1. Через любые две данные точки можно провести только одну прямую. 2. Геометрическую фигуру можно перемещать в пространстве, не изменяя ни ее размеров, ни ее формы. 3. Геометрические фигуры, которые совпадают после наложения, конгруэнтны (т.е. равны). 4. Прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками.
Постулаты. Следующие постулаты касаются построений и принимаются за истинные без доказательств.
1. Через любые две данные точки можно провести прямую. 2. Прямая может быть продолжена бесконечно или же ограничена в любой своей точке. 3. Окружность может быть описана вокруг любой данной точки как центра и с любым радиусом. 4. Все прямые углы равны. 5. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую, ей параллельную.
Некоторые геометрические фигуры, построения и заключения. Многие термины, используемые для описания фигур в геометрии, настолько фундаментальны, что определить их не представляется возможным. Все попытки сделать это приводили лишь к замене одних терминов другими, столь же неопределимыми, или к простому описанию некоторых свойств фигур. Например, термин "точка" не поддается определению.
Линии. Термин "линия" (или "кривая" в широком смысле слова) не имеет определения, хотя мысленно линию можно представить как след движущейся точки. Бесчисленные попытки определить прямую линию (рис. 1,а) не имели успеха. Многие из этих попыток апеллировали к физическому эксперименту, например, "прямая - это туго натянутая линия". Чаще других приводится описание прямой, предложенное Архимедом: "Прямая - это кратчайшее расстояние между двумя точками". Это "определение", однако, лишь заменяет неопределяемое понятие прямизны столь же неопределяемым понятием расстояния. Предполагается, что прямая бесконечна, т.е. ее можно неограниченно продолжить в обе стороны. Часть прямой называется отрезком. Ломаная (рис. 1,б) состоит из прямолинейных отрезков. Кривой (рис. 1,в) называется линия, никакая часть которой не является прямой.
Как показано на рис. 1,г, 1,д и 1,е, прямые могут быть параллельными, перпендикулярными и наклонными. Параллельные прямые - это прямые, расстояние между которыми всюду одинаково. На рис. 1,г показано, как построить прямую, параллельную данной прямой L и отстоящую от нее на заданное расстояние. Берется окружность, радиус которой равен данному расстоянию. Проводятся две дуги с центрами в двух различных точках прямой L. Прямая, касательная к обеим дугам, и есть та прямая, которую требовалось построить. На рис. 1,д показано, как построить прямую, проходящую через точку Р и перпендикулярную прямой L. Порядок, в котором делаются засечки дугами, указаны номерами [[первыми следует провести (в любой последовательности) либо дугу 1, либо дугу 1"]]. Для проведения дуг 2 и 2" циркуль устанавливается в точки пересечения прямой L дугами 1 и 1" соответственно, радиусы остаются те же самые. Прямая, проходящая через точку Р и точку пересечения дуг 2 и 2", есть искомый перпендикуляр. Перпендикуляр - это кратчайшая линия, которую можно провести от точки до прямой, на которую он опущен, и расстояние от точки до прямой по определению равно длине перпендикуляра, опущенного из нее на прямую.
Углы. Углом называется фигура, образованная двумя полупрямыми, исходящими из одной точки. Эта точка называется вершиной угла, а полупрямые - сторонами угла. Если стороны угла перпендикулярны друг другу, то образуемый ими угол называется прямым (рис. 2,а). Углы меньше прямого называются острыми (рис. 2,б), а углы больше прямого - тупыми (рис. 2,в). Развернутым называется угол, обе стороны которого лежат на одной прямой (рис. 2,г); такой угол равен двум прямым углам. Биссектрисой угла называется прямая, проходящая через его вершину и делящая угол пополам. Углы можно измерять количественно, если определить единицу измерения угла (угол в один градус) как 1/180 развернутого угла. Таким образом, прямой угол содержит 90°, а угол на рис. 2,д содержит больше 180°, но меньше 360°.
На рис. 2,е, 2,ж, 2,з и 2,и показано, как соотносятся между собой углы некоторых фигур. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого (рис. 2,е). Вертикальные углы равны. Дополнительные углы в сумме составляют 90° (рис. 2,ж), а смежные углы в сумме дают 180° (рис. 2,з). Если прямая пересекает две параллельные прямые, как на рис. 2,и, то углы E, B, C и H равны, и углы F, A, D и G также равны между собой. Углы между параллельными (углы А, В, С, D на рисунке) называются внутренними, а углы, лежащие вне параллельных - внешними. Тот факт, что параллельные образуют с пересекающей их прямой равные углы, используется при вычерчивании параллельных прямых (рис. 2,м). На рис. 2,к показано, как с помощью циркуля и линейки разделить пополам данный угол: прямая VA - биссектриса угла. На рис. 2,л показано, как удвоить данный угол. Традиционно в элементарной геометрии выполнялись лишь геометрические построения, которые можно осуществить, используя только циркуль и линейку без делений. Общего подхода к таким построениям не существует, и успех почти целиком зависит от настойчивости и изобретательности. Так, например, может показаться, что задача о разделении угла на три равные части, т.н. трисекция угла, достаточно легка, поскольку сходная с ней задача деления угла пополам решается довольно просто. Однако на протяжении веков все усилия как любителей, так и профессионалов осуществить трисекцию угла неизменно оканчивались неудачей. Правда, эту задачу удалось решить, используя некоторые плоские кривые высших порядков, например, конхоиду и квадратриссу, а Архимед показал, как можно было бы решить задачу о трисекции угла с помощью линейки с двумя отметинами (рис. 2,н). В предложенном им решении задачи на ребре линейки откладывается расстояние МР, равное радиусу ON. Линейка кладется так, чтобы ее край проходил через точку N, тогда точка М попадает на продолжение прямой OL, а точка P - на окружность. Задача о трисекции угла эквивалентна поиску геометрического построения, позволяющего находить корни уравнения x3 - 2 = 0. В 1837 вопрос о трисекции был окончательно решен французским математиком П.Ванцелем, давшим строгое доказательство невозможности точной трисекции угла в общем случае с помощью циркуля и линейки.
Треугольники. Треугольником называется плоская фигура, ограниченная тремя прямыми. У треугольника могут быть три неравные стороны (разносторонний треугольник), две равные стороны (равнобедренный треугольник) или три равные стороны (равносторонний треугольник) (рис. 3,а, 3,б, 3,в). В равнобедренном треугольнике углы, лежащие против равных сторон (углы a и b на рис. 3,б), равны; в равностороннем треугольнике все углы равны.
Прямоугольным называется треугольник (рис. 3,г), у которого один из углов прямой. Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой; две стороны, образующие прямой угол, называются катетами. Некоторые соотношения между длинами сторон прямоугольного треугольника мы приведем в обозначениях, указанных на рис. 3,д. Знаменитая теорема Пифагора гласит; квадрат длины гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов длин катетов, или c2 = a2 + b2. Длина перпендикуляра h, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное длин отрезков, на которые основание перпендикуляра делит гипотенузу:
Углы внутри треугольника называются внутренними; углы, которые образуются, если стороны треугольника продлить за их вершины, называются внешними (рис. 3,е). Сумма внутренних углов треугольника равна развернутому углу. Любой внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не имеющих с ним общей вершины (РD = РA + РB). Отрезок прямой, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется медианой. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Например, на рис. 3,ж отрезок АО составляет 2/3 от длины отрезка АС. Точка пересечения медиан является также центром тяжести треугольника (треугольник, вырезанный из однородного по толщине и плотности материала и подвешенный в этой точке, будет находиться в равновесии). Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из одной из его вершин на противоположную сторону (или ее продолжение). Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром (рис. 3,з); биссектрисы всех углов треугольника также пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности (рис. 3,и) и равноудалена от всех сторон треугольника. Прямая, пересекающая треугольник и параллельная одной из его сторон, делит две другие стороны на пропорциональные отрезки. На рис. 3,к a/b = e/c = f/d. Биссектриса любого угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные длинам сторон, образующих угол. На рис. 3,л, если РA = РB, то c/a = d/b. Два треугольника (любые фигуры) называются равными (или конгруэнтными), если они переводятся друг в друга преобразованиями движения. Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояния между точками. Можно доказать три признака равенства треугольников: два треугольника равны, если 1) две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника; 2) сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ним углам другого треугольника; и 3) три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника. Если треугольники можно перевести друг в друга преобразованием движения, не выводящим их из плоскости, в которой оба они лежат, то они называются собственно конгруэнтными; если же один из треугольников необходимо перевернуть, то треугольники называются несобственно конгруэнтными. Преобразование одной фигуры в другую называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Две фигуры подобны, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Если два треугольника подобны (рис. 3,м), то их углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Пропорциональным делителем, изображенным на рис. 3,н, пользуются для того, чтобы увеличить или уменьшить чертеж в требуемое число раз. Площадь любого треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную в ней высоту:
Если треугольник равносторонний, то его площадь равна
Вывод которой приписывают Герону (s - полупериметр).
Четырехугольники.
Четырехугольником является всякая плоская фигура, ограниченная четырьмя прямыми (рис. 4). Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны имеют равную длину. Ромб (рис. 4,г) - это параллелограмм, все стороны которого равны, а прямоугольник (рис. 4,д) - это параллелограмм, у которого все углы прямые. Диагонали параллелограмма (рис. 4,ж) в точке пересечения делятся пополам; в прямоугольнике диагонали равны. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие - непараллельны. Параллельные стороны называются основаниями. Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму ее оснований: A = h [[(b + d)/2]]. Площадь параллелограмма A = bh. Один из методов определения площади четырехугольника состоит в разбиении фигуры на два треугольника с помощью диагонали и в вычислении суммы площадей образовавшихся треугольников.
Интересным приложением свойств параллелограмма служит шарнирный пантограф (рис. 4,з), используемый для перечерчивания чертежей и других графических изображений в большем или меньшем масштабе. Пантограф представляет собой шарнирный механизм, имеющий форму параллелограмма, закрепленный в вершине А, со звеном DC, продленным до точки Р. Прямая РА пересекает звено СВ в точке Р". Звено СВ всегда параллельно звену DA, следовательно, треугольники PDA и PCP" подобны. Поэтому CP" = DAЧPC/PD, а эта величина постоянна, поэтому точка Р" звена СВ также лежит на прямой, соединяющей точки Р и А. Из двух рассмотренных выше подобных треугольников следует, что отношение РА/Р"А также постоянно. Следовательно, в любом положении пантографа перемещение точки Р" пропорционально перемещению точки Р. Если точка Р движется по контуру какой-либо фигуры, то точка Р", в которой находится острие карандаша, повторяет без искажений этот контур в уменьшенном масштабе. Отношение масштабов оригинала и копии равно РА/Р"А = PD/CD.
Многоугольники. Многоугольником называется плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой называются сторонами. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. Выпуклый многоугольник называется правильным, если все стороны и углы его равны. Расстояние от центра правильного многоугольника до какой-либо его стороны равно радиусу вписанной в него окружности (обозначен на рис. 5,а буквой а). Площадь правильного многоугольника равна произведению половины радиуса на периметр:
В табл. 1 приведены названия и формулы для площадей некоторых правильных многоугольников (s означает длину стороны).
Древние греки научились строить правильные многоугольники с 3, 4, 5, 6, 8, 10 и 15 сторонами. И сами греки, и многие после них безуспешно пытались разработать методы построения других многоугольников. В 1796 К.Гаусс, которому тогда было всего 19 лет, обнаружил, что правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки только в том случае, если число сторон n равно простому числу вида или произведению простых чисел такого вида. В этой формуле t - любое целое число. Таким образом, построение с помощью циркуля и линейки правильных 7-, 9-, 11- и 13-угольников невозможно. Гаусс построил правильный 17-угольник, и из его работы следовало, что могут быть построены правильные 257-угольник и 65537-угольник.
Окружность.
Окружностью называется замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки, называемой центром и лежащей в той же плоскости, что и кривая. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну окружность. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Различные термины, используемые при изучении окружности, представлены на рис. 6,а и 6,б.
Концентрическими называются окружности, имеющие общий центр (рис. 6,в). Угол называется центральным углом окружности, если его вершина совпадает с центром окружности, а стороны - с ее радиусами. Например, угол АОВ на рис. 6,в - центральный угол обеих концентрических окружностей. Окружность делится на 360 равных долей, и число градусов в центральном угле, опирающемся на дугу окружности, равно числу 1/360 долей окружности, укладывающихся в этой дуге. На рис. 6,г А - центральный угол, а В - вписанный угол (т.е. угол, вершина которого лежит на окружности), опирающийся на ту же дугу окружности, что и центральный угол А. Согласно одной из теорем геометрии вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Например,
Следовательно, вписанный угол С, опирающийся на половину окружности, - прямой. Площадь круга равна четверти произведения длины его окружности на диаметр. Отношение длины окружности к диаметру приближенно равно 3,14159265 (Пи); площадь круга можно также записать в виде A = p r2, где r - радиус. История точного определения числа p (читается "пи") очень интересна сама по себе. В 1882 немецкий математик Ф.Линдеман (1852-1939) доказал, что древняя проблема квадратуры круга, геометрически эквивалентная построению отрезка неразрешима, так как число p не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Примеры элементарных геометрических доказательств. Утверждения элементарной геометрии распадаются на две группы: на теоремы, в которых доказательство утверждения предъявляется в явном виде, и задачи, в которых излагается способ построения, а затем проверяется его правильность. В качестве примера теоремы рассмотрим следующее доказательство. Утверждение: в равнобедренном треугольнике углы, лежащие против равных стороны, равны. Дано: треугольник АВС с равными сторонами АВ и АС. Требуется доказать: РB = РC.
Рассмотрим пример задачи на построение. Задача: построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность. Дано: Окружность с центром О.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Плоскость. Плоскость (рис. 7,а) определяется: 1) тремя точками; 2) двумя пересекающимися прямыми; 3) двумя параллельными прямыми; и 4) прямой и точкой, лежащей вне ее. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися. На рис. 7,б изображены две параллельные плоскости А и В. Если пересечь их третьей плоскостью С, то линии пересечения будут параллельны.
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Его величина измеряется углом, полученным от пересечения этих плоскостей плоскостью, перпендикулярной к ним (рис. 7,в). Фигура, образованная тремя или более плоскостями, которые пересекаются в одной точке, называется многогранным углом (рис. 7,г).
Многогранник. Это фигура, ограниченная со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости. Декарт и Эйлер доказали, что любой выпуклый многогранник обладает замечательным свойством, состоящим в том, что сумма числа его граней и вершин равна числу его ребер плюс два. Если все грани выпуклого многогранника - конгруэнтные правильные многоугольники, то многогранник называется правильным.
Призма. Призмой (рис. 8) называется многогранник, у которого две грани лежат в параллельных плоскостях и имеют форму конгруэнтных многоугольников, а остальные грани имеют форму параллелограммов. Параллелепипед (рис. 8,в) - это призма, основаниями которой служат параллелограммы. Площадь боковой поверхности любой призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра. Объем равен произведению площади основания на высоту.
Пирамида. Пирамидой (рис. 9) называется многогранник, основанием которого служит плоский многоугольник, а боковые грани имеют форму треугольников с общей вершиной. Площадь боковой поверхности правильной прямой пирамиды равна 1/2 произведения периметра основания на высоту боковой грани s (рис. 9). Объем любой пирамиды равен 1/3 произведения площади основания на высоту h.
Цилиндр и конус. Цилиндром (или цилиндрической поверхностью) (рис. 10,а) называется поверхность, порожденная прямой Е, называемой образующей, которая движется параллельно самой себе по некоторой фиксированной кривой D, называемой директрисой. Если образующая, двигаясь по директрисе, всегда проходит через одну и ту же точку А, называемую вершиной (рис. 10,г), то получаемая в результате движения поверхность называется конусом. Призма - частный случай цилиндра, а пирамида - частный случай конуса. Формулы для площадей боковой поверхности и объемов призмы и пирамиды применимы, соответственно, к цилиндру и конусу.
Геометрические - страница №1/1
МКОУ «Светловская СОШ Завьяловского района»
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
НАЗВАНИЯ В ФАМИЛИЯХ
Выполнила:
Мерзлова Таня,
ученица 5 класса
Руководитель:
учитель математики
Жукова Г.В.
с. Светлое 2012 год
Введение………………………………………………………………………3
Глава 1. Что такое - геометрия?.....................................................................4
Что такое геометрическая фигура?....................... .........................4
Основные геометрические фигуры………………………………4
Математика и ее роль в жизни человека…………………………5
Какие геометрические фигуры встречаются …………………….6
Глава 2. Исследовательская работа …………………………………………7
Вывод…………………………………………………………………………..8
Литература…………………………………………………………………….9
Приложение…………………………………………………………………10
Введение:
Можно ли представить мир без геометрии? Вспомните, что мы с вами делаем каждый день: без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберёшь, а без чертежей не было бы домов, разных зданий, мостов, памятников и многого другого. А космические корабли, лазеры и все другие достижения! Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о геометрии.
Геометрия позволяет выразить результаты счета или измерения чего-либо. Люди так часто пользуются геометрией, что трудно даже представить себе, что они существовали не во все времена, а были изобретены человеком. На уроках математики мы знакомились с некоторыми геометрическими фигурами и представляем себе, что такое точка, прямая, отрезок, луч, угол и т.д. В седьмом же классе нам предстоит расширить и углубить наши знания о геометрических фигурах. Мы узнаем много важных и интересных свойств, которые имеются в геометрии. Я заметила что, многие названия, связанные с математикой встречаются в фамилиях людей. Мне стало любопытно, и я решила поподробнее изучить этот материал.
Актуальность
: Быть любознательным это - путь к расширению знаний.
Тема: Геометрические названия в фамилиях
Цель: составить библиографический список фамилий, в которых встречаются названия геометрических фигур.
Задачи
:
Исследовать литературу о математиках и математике
Собрать и обработать информацию о геометрических фигурах
4.Изучить фамилии в телефонном справочнике
Гипотеза: Если русский язык велик и могуч, то фамилии можно составлять бесконечно много
Предмет исследования : телефонный справочник
Объект исследования
: фамилии жителей села Светлого
Научная новизна исследования
: Если исследовать фамилии по слогам, то можно найти много интересных слов и тогда можно с большим любопытством смотреть на мир. Выполнение такого вида работы расширяет кругозор.
Методы
: поиск, изучение, анализ, обобщение, моделирование, классификация.
Практическая значимость
: Полученные знания приучают быть внимательными. Данный материал можно использовать на классных часах.
Глава 1. Что такое геометрия?
Геометрия - одна из самых древних наук, она возникла очень давно, еще до нашей эры. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео» - по-гречески земля, а «метрео» - мерить). Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами, которые приходилось выполнять при разметке земельных участков, проведении дорог, строительстве зданий и других сооружений. В результате этой деятельности появились и постепенно накапливались различные правила, связанные с геометрическими измерениями и построениями. Таким образом, геометрия возникла на основе практической деятельности людей и в начале своего развития служила преимущественно практическим целям. В дальнейшем геометрия сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур.
Х׀ Х век стал веком геометрии, появляются новые разделы, развивается начертательная геометрия.
Что такое геометрическая фигура?
Мы знакомы с некоторыми геометрическими фигурами и представляем себе, что такое точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, прямоугольник, окружность, круг и др.
Например Пифагор, древнегреческий математик
и философ-идеалист, умело использовал знания, полученные в странствиях по свету. Ему приписывают ряд важных в то время открытий, например теорему о сумме внутренних углов треугольника. Он построил "космические" фигуры, т. е. пять правильных многогранников.
А что такое геометрическая фигура?
Фигура в геометрии – термин, применяемый к разнообразным множествам точек; обычно фигурой называют такие множества, которые можно представить состоящими из конечного числа точек линий или поверхностей.
Еще один великий мыслитель это – Евклид. Навёл порядок в накопленных знаниях по геометрии, жил в 3 веке до н.э в Александрии. Он переработал и по-новому осмыслил уже известные результаты. В течение многих веков математикам казалось, что 13-томный труд, который назывался «Начала», нельзя улучшить. В нём была изложена вся известная к тому времени геометрия.
Основные геометрические фигуры
К основным геометрическим фигурам на плоскости относятся точка и прямая . Отрезок , луч , ломаная линия - простейшие геометрические фигуры на плоскости.
Точка - это самая малая геометрическая фигура , которая является основой всех прочих построений в любом изображении или чертеже.
Прямую линию , или прямую, можно представить себе как бесчисленное множество точек , которые расположены на одной линии, не имеющей ни начала, ни конца. На листе бумаги мы видим только часть прямой линии, так как она бесконечна.
Часть прямой линии , ограниченная с двух сторон точками , называется отрезком прямой, или отрезком .
Луч - это направленная полупрямая, которая имеет точку начала и не имеет конца.
Ломаная линия
- это несколько отрезков
, соединенных между собой так, что конец первого отрезка является началом второго отрезка, а конец второго отрезка - началом третьего отрезка и т. д., при этом соседние (имеющие одну общую точку
),отрезки расположены не на одной прямой. Если конец последнего отрезка не совпадает с началом первого, то такая ломаная линия называется незамкнутой. 
Если конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом первого отрезка, то такая ломаная линия называется замкнутой.
Плоскость , как и прямая, - это первичное понятие, не имеющее определения. У плоскости, как и у прямой, нельзя видеть ни начала, ни конца. Мы рассматриваем только часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной линией.
Примером плоскости
является поверхность рабочего стола, тетрадный лист, любая гладкая поверхность.
Изучение геометрии начинается с планиметрии.
Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.
Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.
Математика и ее роль в жизни человека
Математика - основа всех наук. Без нее просто не обойтись. Да и наука-то интересная, древняя; с ее помощью еще античные ученые начинали познавать мир.
Без знания математики вся современная жизнь была бы невозможна. У нас не было бы хороших домов. Наша одежда была бы очень грубой. Не было бы ни железных дорог, ни кораблей, ни самолетов, никакой большой промышленности. Не было бы радио, телевидения, кино, телефона и тысячи других вещей, составляющих часть нашей цивилизации. Использование математики, измерение «насколько?», «как долго?» являются жизненно необходимой частью мира, в котором мы живем.
Математика неисчерпаема и многогранна. Великий немецкий математик Гаусс назвал математику царицей наук. Именно тесная связь математики с другими науками, ее роль в создании новых дисциплин и теорий на стыке наук придает ей красоту и ценность.
А.С.Пушкин говорил: «Вдохновение нужно в поэзии, как в геометрии»
В жизни не встретите ни одного человека, который не занимался бы математикой. Каждый из нас умеет считать, знает таблицу умножения, умеет строить геометрические фигуры. С этими фигурами мы часто встречаемся в окружающей жизни
Благодаря математике появились вычислительные счетные машины. Вычислительная техника прошла путь от простых счётов, арифмометров, логарифмических линеек до микрокалькуляторов и компьютеров. Сейчас вычислительные машины используются во всех отраслях народного хозяйства: в статистике, торговле, автоматизированном управлении заводами и фабриками. Машины не только считают, они могут делать переводы с одного языка на другой, могут сочинять музыку, играть в шахматы.
Какие геометрические фигуры встречаются
|
прямая |
квадрат |
параллелепипед |
|
точка |
прямоугольник |
многогранник |
|
луч |
треугольник |
призма |
|
угол |
многоугольник |
пирамида |
|
отрезок |
ромб |
шар |
|
кривая |
параллелограмм |
конус |
|
круг |
трапеция |
цилиндр |
|
овал |
куб |
Глава 2. Исследовательская часть
Фамилия в переводе с латинского - это семья. Наследственное родовое имя человека, указывающее на происхождение человека от определенного рода. Многовековая история хранит множество фамилий. Происхождение той или иной фамилии связано с профессиями наших предков, регионами, где жили предки, их бытом, обычаями, прозвищами, характерами и внешностями.Проведем исследование и изучим частотность употребления геометрических названий в фамилиях жителей с. Светлое. База для исследований - телефонный справочник 2011 года
|
Фамилия, имя |
название геометрической фигуры |
|
|
1. |
Ковалев |
овал |
|
2. |
Шиповалова |
овал |
|
3. |
Виктор |
тор |
|
4. |
Виктория |
тор |
|
Ар
|
||
|
1. |
Архипова |
ар |
|
2. |
Захарова |
ар |
|
3. |
Назаров |
ар |
|
4. |
Натарова |
ар |
|
5. |
Тараватов |
ар |
|
6. |
Тарасова |
ар |
|
7. |
Харченко |
ар |
|
8. |
Арина |
ар |
|
9. |
Дарья |
ар |
|
10. |
Илларион |
ар |
|
Было интересно встретить кроме названий относящихся к геометрии еще разные слова. Имена
|
||
|
1. |
Бучнева |
Ева |
|
2. |
Перязева |
Ева |
|
3. |
Соболева |
Ева |
|
4. |
Тукоева |
Ева |
|
5. |
Данильчук |
Чук |
|
6. |
Анастасия |
Стас |
|
7. |
Жанна |
Анна |
|
8. |
Татьяна |
Яна |
|
9. |
Ярослава |
Слава |
|
Различные слова |
||
|
1. |
Владимир |
мир |
|
2. |
Мирошник |
мир |
|
3. |
Мироненко |
мир |
|
1. |
Екатерина |
катер |
|
2. |
Иван |
ива |
|
3. |
Сиваков |
ива |
|
4. |
Данильчук |
ил |
|
5. |
Никита |
кит |
|
6. |
Олеся |
лес |
|
7. |
Денисова |
сова |
Вывод:
Рассмотрено 148 фамилий из телефонного справочника и все фамилии, и имена учащихся. В двух фамилиях и в двух именах встречаются названия геометрических фигур. В 7 фамилиях и 3 именах встретила понятие ар (сотка) – площадь квадрата со стороной 10 м. Значит, 1 а = 100м².
Кроме этого нашла много разных слов.Мне было интересно работать над этой темой.
Существует ряд профессий, которым математика нужна в «чистом» виде. Это бухгалтер, строитель, учитель, повар и механик. Им необходимо умение вычислять, пользоваться различными формулами и т.д. А есть ряд профессий, которым, на первый взгляд, математика совсем не нужна. Например, актеры, визажисты, журналисты, искусствоведы, манекенщицы, певцы и т.д. Но людям этих профессий она пригодится в быту: получить зарплату, сделать ремонт, заплатить за коммунальные услуги, расплатиться в магазине за покупки, купить вещь в кредит и т.д.
А значит, математику просто обязательно надо изучать человеку любой профессии.
Литература:
Загрузка...
