Энгийн бутархай дээр арифметик үйлдлийн дүрэм. Бутархайг нэмэх, хасах Бутархайн ялгааг хэрхэн олох вэ

• Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасах
• Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасах
• ҮОХ-ны тухай ойлголт
• Бутархайг ижил хуваагч болгон багасгах
• Бүхэл тоо ба бутархайг хэрхэн нэмэх вэ

1 Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасах

Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмэх хэрэгтэй, гэхдээ хуваагчийг ижил хэвээр үлдээх хэрэгтэй, жишээлбэл:

Ижил хуваагчтай бутархайг хасахын тулд эхний бутархайн хуваагчаас хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй, жишээлбэл:

Холимог бутархай нэмэхийн тулд та тэдгээрийн бүхэл хэсгийг тусад нь нэмж, дараа нь бутархай хэсгүүдийг нэмж, үр дүнг холимог бутархай хэлбэрээр бичих хэрэгтэй.

Жишээ 1:

Жишээ 2:

Хэрэв бутархай хэсгүүдийг нэмэхдээ буруу бутархай авсан бол түүнээс бүхэл хэсгийг сонгоод бүхэл хэсэгт нэмнэ, жишээлбэл:

2 Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасах.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх буюу хасахын тулд эхлээд тэдгээрийг ижил хуваагч болгон бууруулж, дараа нь энэ зүйлийн эхэнд заасны дагуу үргэлжлүүлэх хэрэгтэй. Хэд хэдэн бутархайн нийтлэг хуваагч нь LCM (хамгийн бага нийтлэг үржвэр) юм. Бутархай тус бүрийн тоологчийн хувьд LCM-ийг энэ бутархайн хуваагчаар хуваах замаар нэмэлт хүчин зүйлсийг олно. ҮОХ гэж юу болохыг ойлгосны дараа бид дараа нь жишээ авч үзэх болно.

3 Хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM)

Хоёр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM) нь хоёуланд нь үлдэгдэл үлдээхгүйгээр хуваагддаг хамгийн бага натурал тоо юм. Заримдаа LCM-ийг амаар олж болно, гэхдээ ихэнхдээ, ялангуяа их тоотой ажиллахдаа та дараах алгоритмыг ашиглан LCM-ийг бичгээр олох хэрэгтэй.

Хэд хэдэн тооны LCM-ийг олохын тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.

1. Эдгээр тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваа
2. Хамгийн том өргөтгөлийг аваад эдгээр тоонуудыг бүтээгдэхүүн болгон бич
3. Бусад задралд хамгийн том задралд гардаггүй (эсвэл цөөн удаа тохиолддог) тоог сонгоод бүтээгдэхүүнд нэмнэ.
4. Бүтээгдэхүүн дэх бүх тоог үржүүл, энэ нь LCM болно.

Жишээлбэл, 28 ба 21 тоонуудын LCM-ийг олъё:

4 Бутархайг ижил хуваагч болгон багасгах

Янз бүрийн хуваагчтай бутархайг нэмэхэд буцаж орцгооё.

Бутархайг хоёр хувагчийн LCM-тэй тэнцүү болгон ижил хуваагч болгон багасгахад бид эдгээр бутархайн тоог үржүүлэх ёстой. нэмэлт үржүүлэгч. Та LCM-ийг харгалзах бутархайн хуваах замаар олж болно, жишээлбэл:

Тиймээс, бутархайг ижил илтгэгч болгон багасгахын тулд эхлээд эдгээр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг (өөрөөр хэлбэл хуваагч хоёуланд нь хуваагддаг хамгийн бага тоо) олж, дараа нь бутархайн тоологчдод нэмэлт хүчин зүйл оруулах хэрэгтэй. Та нийтлэг хуваагчийг (CLD) харгалзах бутархайн хуваах замаар олж болно. Дараа нь та бутархай бүрийн тоог нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлж, LCM-ийг хуваагч болгон оруулах хэрэгтэй.

5 Бүхэл тоо ба бутархайг хэрхэн нэмэх

Бүхэл тоо болон бутархай нэмэхийн тулд та бутархайн өмнө тэр тоог нэмээд холимог бутархай үүсгэнэ, жишээлбэл:

Хэрэв бид бүхэл тоо болон холимог бутархайг нэмбэл бид энэ тоог бутархайн бүхэл тоон хэсэгт нэмнэ, жишээлбэл:

Дасгалжуулагч 1

Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасах.

Хугацаа: 0

Навигац (зөвхөн ажлын дугаар)

20 ажлын 0 нь дууссан

Мэдээлэл

Энэ тест нь ижил хуваагчтай бутархай нэмэх чадварыг шалгадаг. Энэ тохиолдолд хоёр дүрмийг дагаж мөрдөх шаардлагатай.

• Хэрэв үр дүн нь буруу бутархай бол түүнийг холимог тоо руу хөрвүүлэх хэрэгтэй.
• Хэрэв бутархайг богиносгож болох юм бол түүнийгээ богиносгохоо мартуузай, эс тэгвээс буруу хариултыг тооцох болно.

Та өмнө нь шалгалт өгсөн байна. Та үүнийг дахин эхлүүлэх боломжгүй.

Туршилтыг ачаалж байна...

Туршилтыг эхлүүлэхийн тулд та нэвтэрч орох эсвэл бүртгүүлэх ёстой.

Үүнийг эхлүүлэхийн тулд та дараах туршилтуудыг хийх ёстой.

үр дүн

Зөв хариулт: 20-оос 0

Чиний цаг:

Цаг дууслаа

Та 0 онооноос 0 оноо авсан (0)

1. Хариулттай
2. Харах тэмдэгтэй

Бутархайтай жишээнүүд нь математикийн үндсэн элементүүдийн нэг юм. Бутархайтай олон төрлийн тэгшитгэлүүд байдаг. Энэ төрлийн жишээг шийдвэрлэх дэлгэрэнгүй зааврыг доор харуулав.

Бутархайтай жишээг хэрхэн шийдвэрлэх вэ - ерөнхий дүрмүүд

Нэмэлт, хасах, үржүүлэх, хуваах гэх мэт аль ч төрлийн бутархайтай жишээг шийдэхийн тулд та үндсэн дүрмийг мэдэх хэрэгтэй.

• Ижил хуваагчтай бутархай илэрхийллүүдийг нэмэхийн тулд (хуваарагч нь бутархайн доод талд байгаа тоо, дээд талд байгаа тоо) та тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй.
• Хоёрдахь бутархай илэрхийллийг (ижил хуваагчтай) нэг бутархайгаас хасахын тулд тэдгээрийн тоологчийг хасч, хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй.
• Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасахын тулд та хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг олох хэрэгтэй.
• Бутархай үржвэрийг олохын тулд тооны болон хуваагчийг үржүүлж, боломжтой бол багасгах хэрэгтэй.
• Бутархайг бутархайд хуваахын тулд эхний бутархайг хоёр дахь бутархайгаар үржүүлнэ.

Бутархайтай жишээг хэрхэн шийдвэрлэх вэ - дадлага хийх

Дүрэм 1, жишээ 1:

3/4 +1/4-ийг тооцоол.

Дүрмийн 1-д заасны дагуу хэрэв хоёр (эсвэл түүнээс дээш) бутархай нь ижил хуваагчтай бол тэдгээрийн тоог нэмэхэд л болно. Бид авна: 3/4 + 1/4 = 4/4. Хэрэв бутархай нь ижил тооны болон хуваагчтай бол бутархай нь 1-тэй тэнцэнэ.

Хариулт: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Дүрэм 2, жишээ 1:

Тооцоолох: 3/4 - 1/4

Дүрмийн дугаар 2-ыг ашигласнаар энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд 3-аас 1-ийг хасч, хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй. Бид 2/4-ийг авдаг. Хоёр 2 ба 4-ийг багасгаж болох тул бид багасгаж, 1/2-ыг авна.

Хариулт: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Дүрэм 3, Жишээ 1

Тооцоолох: 3/4 + 1/6

Шийдэл: 3-р дүрмийг ашиглан бид хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг олно. Хамгийн бага нийтлэг хуваагч нь жишээн дээрх бүх бутархай илэрхийллийн хуваагчдад хуваагдах тоо юм. Тиймээс бид 4 ба 6-д хуваагдах хамгийн бага тоог олох хэрэгтэй. Энэ тоо нь 12. Бид 12-ыг хуваагч гэж бичнэ, бид 3-ыг авна, 3-аар үржүүлнэ, бичнэ. 3 тоологч *3 ба + тэмдэг. 12-ыг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хувааж, бид 2-ыг авч, 2-ыг 1-ээр үржүүлж, тоологч хэсэгт 2*1 гэж бичнэ. Тэгэхээр 12 хуваарьтай, 3*3+2*1=11-тэй тэнцүү хуваагчтай шинэ бутархай гарна. 11/12.

Хариулт: 11/12

Дүрэм 3, Жишээ 2:

3/4 - 1/6-г тооцоол. Энэ жишээ нь өмнөхтэй маш төстэй юм. Бид ижил алхмуудыг хийдэг боловч тоологч дээр + тэмдгийн оронд хасах тэмдэг бичдэг. Бид авна: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Хариулт: 7/12

Дүрэм 4, Жишээ 1:

Тооцоолох: 3/4 * 1/4

Дөрөв дэх дүрмийг ашиглан бид эхний бутархайг хоёр дахь хуваагчаар, эхний бутархайг хоёр дахь хуваагчаар үржүүлнэ. 3*1/4*4 = 3/16.

Хариулт: 3/16

Дүрэм 4, Жишээ 2:

2/5 * 10/4-ийг тооцоол.

Энэ хэсгийг багасгаж болно. Бүтээгдэхүүний хувьд эхний бутархайн хуваагч ба хоёр дахь бутархайн хуваагч, хоёр дахь бутархайн хуваагч ба эхний бутархайн хуваагч хүчингүй болно.

4-ээс 2 цуцлагдана. 5-аас 10 цуцлагдана. Бид 1 * 2/2 = 1*1 = 1 авна.

Хариулт: 2/5 * 10/4 = 1

Дүрэм 5, Жишээ 1:

Тооцоолох: 3/4: 5/6

5-р дүрмийг ашигласнаар бид: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5 болно. Бид өмнөх жишээний зарчмын дагуу бутархайг багасгаж, 9/10-ийг авна.

Хариулт: 9/10.

Бутархайтай жишээг хэрхэн шийдвэрлэх вэ - бутархай тэгшитгэл

Бутархай тэгшитгэл нь хуваарьт үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан жишээ юм. Ийм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та тодорхой дүрмийг ашиглах хэрэгтэй.

Нэг жишээг харцгаая:

15/3x+5 = 3 тэгшитгэлийг шийд

Та тэгээр хувааж болохгүй гэдгийг санаарай, өөрөөр хэлбэл. хуваагчийн утга нь тэг байж болохгүй. Ийм жишээг шийдвэрлэхдээ үүнийг зааж өгөх ёстой. Энэ зорилгоор OA (зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ) байдаг.

Тэгэхээр 3x+5 ≠ 0.
Эндээс: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

x = 5/3 үед тэгшитгэлд ямар ч шийдэл байхгүй.

ODZ-ийг тодорхойлсны дараа энэ тэгшитгэлийг шийдэх хамгийн сайн арга бол бутархай хэсгүүдээс салах явдал юм. Үүнийг хийхийн тулд бид эхлээд бүх бутархай бус утгыг бутархай хэлбэрээр үзүүлнэ, энэ тохиолдолд тоо 3. Бид авна: 15/(3x+5) = 3/1. Бутархай хэсгүүдээс салахын тулд та тус бүрийг хамгийн бага нийтлэг хуваариар үржүүлэх хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд (3x+5)*1 болно. Дараалал:

1. 15/(3x+5)-ийг (3x+5)*1 = 15*(3x+5) үржүүлнэ.
2. Хаалтуудыг нээ: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. Бид тэгшитгэлийн баруун талд ижил зүйлийг хийнэ: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Зүүн ба баруун талыг тэнцүүл: 45x + 75 = 9x +15
5. X-г зүүн тийш, тоонуудыг баруун тийш шилжүүл: 36x = – 50
6. x-г ол: x = -50/36.
7. Бид бууруулна: -50/36 = -25/18

Хариулт: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Бутархайтай жишээг хэрхэн шийдвэрлэх вэ - бутархай тэгш бус байдал

(3x-5)/(2-x)≥0 төрлийн бутархай тэгш бус байдлыг тооны тэнхлэг ашиглан шийднэ. Энэ жишээг харцгаая.

Дараалал:

• Бид тоологч ба хуваагчийг тэгтэй тэнцүүлнэ: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Бид тоон тэнхлэг зурж, түүн дээр гарсан утгыг бичнэ.
• Утгын доор тойрог зур. Хоёр төрлийн тойрог байдаг - дүүрсэн ба хоосон. Дүүргэгдсэн тойрог нь өгөгдсөн утга нь шийдлийн хүрээнд байна гэсэн үг юм. Хоосон тойрог нь энэ утгыг шийдлийн мужид оруулаагүй болохыг харуулж байна.
• Хуваагч нь тэгтэй тэнцүү байж чадахгүй тул 2-ын доор хоосон тойрог байх болно.

• Тэмдгийг тодорхойлохын тулд тэгшитгэлд хоёроос их тоог орлуулна, жишээ нь 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. утга нь сөрөг байна, энэ нь бид хоёрын дараа талбайн дээр хасахыг бичнэ гэсэн үг юм. Дараа нь X-д 5/3-аас 2 хүртэлх интервалын дурын утгыг орлуулна, жишээ нь 1. Утга нь дахин сөрөг байна. Бид хасах бичдэг. Бид 5/3 хүртэлх талбайтай ижил зүйлийг давтана. Бид 5/3-аас бага дурын тоог орлуулна, жишээ нь 1. Дахин хасах.

• Бид илэрхийлэл нь 0-ээс их буюу тэнцүү байх x утгуудыг сонирхож байгаа бөгөөд ийм утга байхгүй (хасах зүйл хаа сайгүй байдаг) тул энэ тэгш бус байдалд шийдэл байхгүй, өөрөөр хэлбэл x = Ø (хоосон багц).

Хариулт: x = Ø

Бутархай нь энгийн тоо бөгөөд нэмж хасах боломжтой. Гэхдээ тэдгээр нь хуваагчтай тул бүхэл тооноос илүү төвөгтэй дүрэм шаарддаг.

Ижил хуваагчтай хоёр бутархай байх хамгийн энгийн тохиолдлыг авч үзье. Дараа нь:

Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй.

Ижил хуваагчтай бутархайг хасахын тулд эхний бутархайн хуваагчаас хоёр дахь хэсгийн тоог хасаад дахин хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй.

Илэрхийлэл бүрийн дотор бутархайн хуваагч тэнцүү байна. Бутархайг нэмэх, хасахын тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг олж авна.

Таны харж байгаагаар энэ нь тийм ч төвөгтэй зүйл биш юм: бид зүгээр л тоологчдыг нэмж эсвэл хасдаг, тэгээд л болоо.

Гэхдээ ийм энгийн үйлдлүүд ч гэсэн хүмүүс алдаа гаргаж чаддаг. Хамгийн их мартагддаг зүйл бол хуваагч өөрчлөгддөггүй. Жишээлбэл, тэдгээрийг нэмэхэд тэд бас нэмж эхэлдэг бөгөөд энэ нь үндсэндээ буруу юм.

Хуваагч нэмэх муу зуршлаасаа салах нь маш энгийн. Хасахдаа ижил зүйлийг туршиж үзээрэй. Үүний үр дүнд хуваагч нь тэг болж, бутархай нь (гэнэт!) утгаа алдах болно.

Тиймээс, нэг удаа, бүх талаар санаарай: нэмэх, хасах үед хуваагч өөрчлөгдөхгүй!

Олон хүмүүс хэд хэдэн сөрөг бутархай нэмэхэд алдаа гаргадаг. Тэмдгүүдийн хувьд төөрөгдөл байдаг: хасахыг хаана, нэмэхийг хаана тавих вэ.

Энэ асуудлыг шийдэх нь бас маш хялбар юм. Бутархайн тэмдгийн өмнөх хасахыг үргэлж тоологч руу шилжүүлж болно гэдгийг санах нь хангалттай юм - мөн эсрэгээр. Мэдээжийн хэрэг, хоёр энгийн дүрмийг мартаж болохгүй:

1. Дээрээс нь хасах нь хасах өгдөг;
2. Хоёр сөрөг нь эерэг болгодог.

Энэ бүгдийг тодорхой жишээн дээр авч үзье.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Эхний тохиолдолд бүх зүйл энгийн, гэхдээ хоёрдугаарт, бутархайн тоологчдод хасахыг нэмж оруулъя.

Хэрэв хуваагч нь өөр байвал яах вэ

Та өөр хуваагчтай бутархайг шууд нэмж болохгүй. Наад зах нь энэ арга надад мэдэгдэхгүй байна. Гэсэн хэдий ч хуваагч нь ижил байхын тулд анхны бутархайг үргэлж дахин бичиж болно.

Бутархайг хөрвүүлэх олон арга бий. Эдгээрийн гурвыг "Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулах" хичээл дээр авч үзсэн тул бид энд ярихгүй. Зарим жишээг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Эхний тохиолдолд бид "загалмайн" аргыг ашиглан бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулна. Хоёрдугаарт бид ҮОХ-г хайх болно. 6 = 2 · 3 гэдгийг анхаарна уу; 9 = 3 · 3. Эдгээр өргөтгөлүүдийн сүүлийн хүчин зүйлүүд тэнцүү бөгөөд эхнийх нь харьцангуй анхдагч байна. Тиймээс LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Бутархай нь бүхэл тоотой бол яах вэ

Би чамайг баярлуулж чадна: бутархайн ялгаатай хуваагч нь хамгийн том хорон муу зүйл биш юм. Нэмэлт бутархай хэсэгт хэсгийг бүхэлд нь тодруулсан тохиолдолд илүү их алдаа гардаг.

Мэдээжийн хэрэг, ийм бутархайн хувьд өөрийн нэмэх, хасах алгоритмууд байдаг боловч тэдгээр нь нэлээд төвөгтэй бөгөөд урт хугацааны судалгаа шаарддаг. Доорх энгийн диаграммыг ашиглах нь дээр.

1. Бүхэл тоо агуулсан бүх бутархайг буруу бутархай болгон хөрвүүлнэ. Бид дээр дурдсан дүрмийн дагуу тооцоолсон ердийн нэр томъёог (өөр өөр хуваагчтай ч гэсэн) олж авдаг;
2. Үнэн хэрэгтээ үүссэн бутархайн нийлбэр эсвэл зөрүүг тооцоол. Үүний үр дүнд бид хариултыг бараг олох болно;
3. Хэрэв энэ нь асуудалд шаардагдах бүх зүйл бол бид урвуу хувиргалтыг хийдэг, жишээлбэл. Бид бүхэл бүтэн хэсгийг тодруулснаар буруу бутархайгаас салдаг.

Бутархай бутархай руу шилжих, бүх хэсгийг тодруулах дүрмийг "Тоон бутархай гэж юу вэ" хичээлд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно. Хэрэв та санахгүй байгаа бол давтахаа мартуузай. Жишээ нь:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Энд бүх зүйл энгийн. Илэрхийлэл бүрийн доторх хуваагч нь тэнцүү тул бүх бутархайг буруу тоо болгон хувиргаж, тоолоход л үлддэг. Бидэнд байгаа:

Тооцооллыг хялбарчлахын тулд би сүүлийн жишээн дэх зарим тодорхой алхмуудыг алгассан.

Бүхэл тоогоор тэмдэглэсэн бутархайг хассан сүүлийн хоёр жишээний тухай жижиг тэмдэглэл. Хоёрдахь бутархайн өмнөх хасах нь зөвхөн бүхэл хэсгийг нь биш харин бүхэлд нь хасна гэсэн үг юм.

Энэ өгүүлбэрийг дахин уншаад, жишээнүүдийг харж, бодоод үзээрэй. Эндээс эхлэн суралцагчид маш олон тооны алдаа гаргадаг. Тэд тест дээр ийм асуудал гаргах дуртай. Удахгүй хэвлэгдэх энэ хичээлийн тестүүд дээр та тэдэнтэй хэд хэдэн удаа таарах болно.

Дүгнэлт: ерөнхий тооцооны схем

Эцэст нь би хоёр ба түүнээс дээш тооны бутархайн нийлбэр эсвэл зөрүүг олоход туслах ерөнхий алгоритмыг өгөх болно.

1. Хэрэв нэг буюу хэд хэдэн бутархай бүхэл тоотой бол эдгээр бутархайг буруу болгон хөрвүүлэх;
2. Бүх бутархайг өөрт тохирсон ямар нэгэн байдлаар нийтлэг хуваагч руу аваач (мэдээжийн хэрэг, асуудлын зохиолчид үүнийг хийгээгүй бол);
3. Үүссэн тоог ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасах дүрмийн дагуу нэмэх, хасах;
4. Боломжтой бол үр дүнг богиносгох хэрэгтэй. Хэрэв бутархай буруу байвал хэсгийг бүхэлд нь сонгоно.

Хариултыг бичихийн өмнө ажлын төгсгөлд хэсгийг бүхэлд нь тодруулах нь дээр гэдгийг санаарай.

Энэ нийтлэл нь алгебрийн бутархайтай үйлдлүүдийг судалж эхэлдэг: бид алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах гэх мэт үйлдлүүдийг нарийвчлан авч үзэх болно. Ижил ба өөр хуваагчтай алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах схемд дүн шинжилгээ хийцгээе. Олон гишүүнт алгебрийн бутархайг хэрхэн нэмэх, тэдгээрийг хэрхэн хасах талаар сурцгаая. Тодорхой жишээнүүдийг ашиглан бид асуудлын шийдлийг олох алхам бүрийг тайлбарлах болно.

Тэнцүү хуваагчтай нэмэх, хасах үйлдлүүд

Энгийн бутархайг нэмэх схем нь алгебрийн хувьд ч бас хамааралтай. Ижил хуваагчтай энгийн бутархайг нэмэх, хасахдаа тэдгээрийн тоог нэмэх буюу хасах шаардлагатай боловч хуваагч нь хэвээр байдгийг бид мэднэ.

Жишээ нь: 3 7 + 2 7 = 3 + 2 7 = 5 7 ба 5 11 - 4 11 = 5 - 4 11 = 1 11.

Үүний дагуу ижил хуваагчтай алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах дүрмийг ижил төстэй байдлаар бичсэн болно.

Тодорхойлолт 1

Ижил хуваагчтай алгебрийн бутархайг нэмэх, хасахын тулд та анхны бутархайн тоог тус тус нэмж, хасах ба хуваагчийг өөрчлөхгүйгээр бичих хэрэгтэй.

Энэ дүрэм нь алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах үр дүн нь шинэ алгебрийн бутархай (тодорхой тохиолдолд: олон гишүүнт, мономиал эсвэл тоо) гэж дүгнэх боломжтой болгодог.

Томъёолсон дүрмийг хэрэглэх жишээг үзүүлье.

Жишээ 1

Өгөгдсөн алгебрийн бутархайнууд нь: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 ба 3 - x · y x 2 · y - 2 байна. Тэдгээрийг нэмэх шаардлагатай байна.

Шийдэл

Анхны бутархай нь ижил хуваагчийг агуулна. Дүрмийн дагуу бид өгөгдсөн бутархайн тоог нэмэх ажлыг хийж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээнэ.

Анхны бутархайн тоологч олон гишүүнтүүдийг нэмбэл бид дараахь зүйлийг авна. x 2 + 2 x y − 5 + 3 − x y = x 2 + (2 x y − x y) − 5 + 3 = x 2 + x y − 2.

Дараа нь шаардлагатай хэмжээг дараах байдлаар бичнэ: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.

Практикт олон тохиолдлын нэгэн адил шийдлийг тэгш байдлын гинжин хэлхээгээр өгдөг бөгөөд энэ нь шийдлийн бүх үе шатыг тодорхой харуулж байна.

x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + x y - 2 x 2 y - 2

Хариулт: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 = x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2 .

Нэмэх, хасах үр дүн нь бууруулж болох бутархай байж болох бөгөөд энэ тохиолдолд үүнийг багасгах нь оновчтой байдаг.

Жишээ 2

x x 2 - 4 · y 2 алгебрийн бутархайгаас 2 · y x 2 - 4 · y 2 бутархайг хасах шаардлагатай.

Шийдэл

Анхны бутархайн хуваагч тэнцүү байна. Тоолууртай үйлдлүүдийг хийцгээе, тухайлбал: эхний бутархайн хуваагчаас хоёр дахь хэсгийн тоог хасаад үр дүнг бичээд хуваагчийг өөрчлөхгүй.

x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y x 2 - 4 y 2

Үүссэн фракц нь буурах боломжтой болохыг бид харж байна. Квадрат ялгаварын томъёог ашиглан хуваагчийг хувиргах замаар үүнийг багасгая.

x - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y (x - 2 y) (x + 2 y) = 1 x + 2 y

Хариулт: x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 = 1 x + 2 · y.

Ижил зарчмаар ижил хуваагчтай гурав ба түүнээс дээш алгебрийн бутархайг нэмж, хасна. Жишээ нь:

1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 = 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1

Өөр өөр хуваагчтай нэмэх, хасах үйлдлүүд

Энгийн бутархайтай үйлдлийн схемийг дахин харцгаая: өөр өөр хуваагчтай энгийн бутархайг нэмэх эсвэл хасахын тулд тэдгээрийг нийтлэг хуваагч руу аваачиж, дараа нь ижил хуваагчтай үр дүнгийн бутархайг нэмэх хэрэгтэй.

Жишээлбэл, 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 эсвэл 1 2 - 3 7 = 7 14 - 6 14 = 1 14.

Мөн адил төстэй байдлаар бид өөр өөр хуваагчтай алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах дүрмийг томъёолдог.

Тодорхойлолт 2

Өөр өөр хуваагчтай алгебрийн бутархайг нэмэх, хасахын тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.

• анхны бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчрах;
• ижил хуваагчтай үр дүнгийн бутархайг нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэх.

Энд гол зүйл бол алгебрийн бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулах ур чадвар байх нь ойлгомжтой. Илүү дэлгэрэнгүй харцгаая.

Алгебрийн бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах

Алгебрийн бутархайг нийтлэг хуваагчтай болгохын тулд өгөгдсөн бутархайн ижил хувиргалтыг хийх шаардлагатай бөгөөд үүний үр дүнд анхны бутархайн хуваагч ижил болно. Энд алгебрийн бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулах дараах алгоритмыг ашиглах нь оновчтой.

• эхлээд бид алгебрийн бутархайн нийтлэг хэсгийг тодорхойлно;
• дараа нь бид нийтлэг хуваагчийг анхны бутархайн хуваагчдад хуваах замаар бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг олно;
• Сүүлийн үйлдэл нь өгөгдсөн алгебрийн бутархайн тоо ба хуваагчийг харгалзах нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлэх явдал юм.

Жишээ 3

Алгебрийн бутархайг өгөгдсөн: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 , a + 3 3 · a 2 - 6 · a and a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 . Тэднийг нийтлэг зүйлд хүргэх шаардлагатай байна.

Шийдэл

Бид дээрх алгоритмын дагуу ажилладаг. Анхны бутархайн нийтлэг хуваагчийг тодорхойлъё. Үүний тулд бид өгөгдсөн бутархайн хуваагчийг хүчин зүйлээр ангилдаг: 2 a 3 − 4 a 2 = 2 a 2 (a − 2), 3 a 2 − 6 a = 3 a (a − 2) ба 4 a 5 − 16 a 3 = 4 a 3 (a − 2) (a + 2). Эндээс бид нийтлэг хуваагчийг бичиж болно: 12 a 3 (a − 2) (a + 2).

Одоо бид нэмэлт хүчин зүйлийг олох хэрэгтэй. Олдсон нийтлэг хуваагчийг алгоритмын дагуу анхны бутархайн хуваагчдад хуваая.

• эхний бутархайн хувьд: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) : (2 · a 2 · (a - 2)) = 6 · a · (a + 2) ;
• хоёр дахь бутархайн хувьд: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) : (3 · a · (a - 2)) = 4 · a 2 · (a + 2);
• Гурав дахь бутархайн хувьд: 12 a 3 (a − 2) (a + 2) : (4 a 3 (a − 2) (a + 2)) = 3 .

Дараагийн алхам бол өгөгдсөн бутархайн тоо ба хуваагчийг олдсон нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлэх явдал юм.

a + 2 2 a 3 - 4 a 2 = (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) = 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2) a + 3 3 a 2 - 6 a = (a + 3) 4 a 2 ( a + 2) 3 a 2 - 6 a 4 a 2 (a + 2) = 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) · (a + 2) a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = (a + 1) · 3 (4 · a) 5 - 16 · a 3) · 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 (a - 2) (a + 2)

Хариулт: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 = 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 3 3 · a 2 - 6 · a = 4 · a 2 · (a + 3) · (a + 2) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) .

Тиймээс бид анхны бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулсан. Шаардлагатай бол та олон гишүүнт ба мономиалуудыг тоологч ба хуваагчаар үржүүлэх замаар үр дүнг алгебрийн бутархай хэлбэрт шилжүүлж болно.

Энэ зүйлийг мөн тодруулъя: эцсийн фракцыг багасгах шаардлагатай тохиолдолд олсон нийтлэг хуваагчийг бүтээгдэхүүн хэлбэрээр үлдээх нь оновчтой юм.

Бид анхны алгебрийн бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулах схемийг нарийвчлан судалж үзлээ.

Жишээ 4

Өгөгдсөн алгебрийн бутархайнууд нь: 1 - 2 x x 2 + x ба 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. Тэдний нэмэлт үйлдлийг хийх шаардлагатай байна.

Шийдэл

Анхны бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай байдаг тул эхний алхам нь тэдгээрийг нийтлэг хуваагч руу авчрах явдал юм. Бид хуваагчдыг хүчин зүйлээр тооцно: x 2 + x = x · (x + 1) , and x 2 + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2) ,учир нь дөрвөлжин гурвалсан үндэс x 2 + 3 x + 2Эдгээр тоонууд нь: - 1 ба - 2. Бид нийтлэг хуваагчийг тодорхойлно: x (x + 1) (x + 2), дараа нь нэмэлт хүчин зүйлүүд нь: x+2Тэгээд –хэхний болон хоёр дахь бутархайн хувьд тус тус.

Иймд: 1 - 2 x x 2 + x = 1 - 2 x x (x + 1) = (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) = x + 2 - 2 x 2 - 4 x x (x + 1) x + 2 = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) ба 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x + 5 (x +) 1) (x + 2) = 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2)

Одоо нийтлэг хуваагч руу авчирсан бутархайнуудыг нэмье.

2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 2 x x (x + 1) (x + 2)

Үүссэн фракцыг нийтлэг хүчин зүйлээр багасгаж болно x+1:

2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) = 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2)

Эцэст нь бид олсон үр дүнг алгебрийн бутархай хэлбэрээр бичиж, хуваагч дахь бүтээгдэхүүнийг олон гишүүнтээр орлуулна.

2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Үүний шийдлийг тэгш байдлын гинжин хэлхээний хэлбэрээр товч бичье.

1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 1 - 2 x x (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2 ) = = 1 - 2 x (x + 2) x x + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 x + 1 x (x +) 1) (x + 2) = 2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Хариулт: 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x 2 + 2 x

Энэ нарийн ширийн зүйлийг анхаарч үзээрэй: алгебрийн бутархайг нэмэх эсвэл хасахын өмнө боломжтой бол хялбаршуулахын тулд тэдгээрийг хувиргах нь зүйтэй.

Жишээ 5

Бутархайг хасах шаардлагатай: 2 1 1 3 · x - 2 21 ба 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.

Шийдэл

Цаашдын шийдлийг хялбарчлахын тулд анхны алгебрийн бутархайг өөрчилье. Хуваагч дахь хувьсагчдын тоон коэффициентийг хаалтнаас гаргаж авъя:

2 1 1 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 1 14 ба 3 x - 1 1 7 - 2 x = 3 x - 1 - 2 x - 1 14

Энэхүү өөрчлөлт нь бидэнд ашиг тусаа өгсөн нь тодорхой: нийтлэг хүчин зүйл байгааг бид тодорхой харж байна.

Хугацааны тоон коэффициентээс бүрмөсөн салцгаая. Үүнийг хийхийн тулд бид алгебрийн бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашигладаг: эхний бутархайн тоо ба хуваагчийг 3 4, хоёр дахь хэсгийг - 1 2-оор үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна.

2 4 3 x - 1 14 = 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 = 3 2 x - 1 14 ба 3 x - 1 - 2 x - 1 14 = - 1 2 3 x - 1 - 1 2 · - 2 · x - 1 14 = - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 .

Бутархай коэффициентээс ангижрах үйлдлийг хийцгээе: үүссэн бутархайг 14-ээр үржүүлнэ.

3 2 x - 1 14 = 14 3 2 14 x - 1 14 = 21 14 x - 1 ба - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = - 21 · x + 7 14 · x - 1 .

Эцэст нь, асуудлын мэдэгдэлд шаардлагатай үйлдлийг хийцгээе - хасах:

2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x = 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 = 21 - - 21 x + 7 14 · x - 1 = 21 · x + 14 14 · x - 1

Хариулт: 2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x = 21 · x + 14 14 · x - 1 .

Алгебрийн бутархай ба олон гишүүнтийг нэмэх, хасах

Энэ үйлдэл нь мөн алгебрийн бутархайг нэмэх, хасахтай холбоотой: анхны олон гишүүнтийг хуваагч 1-тэй бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай.

Жишээ 6

Олон гишүүнт нэмэх шаардлагатай x 2 − 3 3 x x + 2 алгебрийн бутархайтай.

Шийдэл

Олон гишүүнтийг 1 хуваагчтай алгебрийн бутархай хэлбэрээр бичье: x 2 - 3 1

Одоо бид өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх дүрмийн дагуу нэмэлтийг хийж болно.

x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 1 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 x + 2 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2

Хариулт: x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Хичээлийн агуулга

Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх

Бутархай нэмэх хоёр төрөл байдаг:

1. Ижил хуваагчтай бутархай нэмэх;
2. Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх.

Эхлээд ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийг судалъя. Энд бүх зүйл энгийн. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй.

Жишээлбэл, бутархай ба . Тоолуурыг нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй:

Хэрэв бид дөрвөн хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай санаж байвал энэ жишээг хялбархан ойлгож болно. Хэрэв та пицца дээр пицца нэмбэл та пицца авах болно:

Жишээ 2.Бутархай ба .

Хариулт нь буруу бутархай болж хувирав. Даалгаврын төгсгөл ирэхэд зохисгүй бутархай хэсгүүдээс салах нь заншилтай байдаг. Зохисгүй фракцаас салахын тулд та түүний бүх хэсгийг сонгох хэрэгтэй. Манай тохиолдолд бүхэл бүтэн хэсэг нь амархан тусгаарлагддаг - хоёрыг хоёр хуваасан нь нэг болно:

Хэрэв бид хоёр хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай санаж байвал энэ жишээг амархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццадаа нэмж пицца нэмбэл нэг бүтэн пицца авах болно:

Жишээ 3. Бутархай ба .

Дахин хэлэхэд бид тоологчдыг нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээнэ.

Гурван хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай санаж байвал энэ жишээг амархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццадаа нэмж пицца нэмбэл та пицца авах болно:

Жишээ 4.Илэрхийллийн утгыг ол

Энэ жишээг өмнөх жишээнүүдийн адилаар шийдсэн. Тоолуурыг нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй байх ёстой.

Зургийг ашиглан шийдлээ дүрслэхийг хичээцгээе. Хэрэв та пицца дээр пицца нэмээд нэмж пицца нэмбэл 1 бүхэл пицца, илүү олон пицца авах болно.

Таны харж байгаагаар ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхэд төвөгтэй зүйл байхгүй. Дараах дүрмийг ойлгоход хангалттай.

1. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй;

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх

Одоо өөр өөр хуваагчтай бутархайг хэрхэн нэмэх талаар сурцгаая. Бутархайг нэмэхдээ бутархайн хуваагч ижил байх ёстой. Гэхдээ тэд үргэлж ижил байдаггүй.

Жишээлбэл, бутархай нь ижил хуваагчтай тул нэмж болно.

Гэхдээ бутархайг шууд нэмэх боломжгүй, учир нь эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай байдаг. Ийм тохиолдолд бутархайг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон бууруулах ёстой.

Бутархайг ижил хуваагч болгон бууруулах хэд хэдэн арга байдаг. Бусад аргууд нь эхлэгчдэд төвөгтэй мэт санагдаж болох тул өнөөдөр бид тэдгээрийн зөвхөн нэгийг нь авч үзэх болно.

Энэ аргын мөн чанар нь эхлээд хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг хайж олох явдал юм. Дараа нь LCM-ийг эхний нэмэлт хүчин зүйлийг олж авахын тулд эхний бутархайн хуваарьт хуваана. Тэд хоёр дахь фракцтай ижил зүйлийг хийдэг - LCM-ийг хоёр дахь фракцын хуваарьт хувааж, хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйлийг олж авна.

Дараа нь бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлнэ. Эдгээр үйлдлүүдийн үр дүнд өөр өөр хуваагчтай бутархайнууд ижил хуваарьтай бутархай болж хувирдаг. Ийм бутархайг хэрхэн нэмэхийг бид аль хэдийн мэддэг болсон.

Жишээ 1. ба бутархайг нэмье

Юуны өмнө бид хоёр бутархайн хуваагчийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олно. Эхний бутархайн хуваагч нь 3, хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 2. Эдгээр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 6 байна.

LCM (2 ба 3) = 6

Одоо бутархай ба . Эхлээд LCM-ийг эхний бутархайн хуваагчаар хувааж, эхний нэмэлт хүчин зүйлийг авна. LCM нь 6-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 6-г 3-т хуваавал бид 2-ыг авна.

Үр дүнгийн тоо 2 нь эхний нэмэлт үржүүлэгч юм. Бид үүнийг эхний бутархай хүртэл бичдэг. Үүнийг хийхийн тулд бутархай дээр жижиг ташуу зураас хийж, дээр нь олдсон нэмэлт хүчин зүйлийг бичнэ үү.

Бид хоёр дахь бутархайтай ижил зүйлийг хийдэг. Бид LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хувааж, хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйлийг авна. LCM нь 6-ын тоо, хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 2. 6-г 2-т хуваавал бид 3-ыг авна.

Үр дүнгийн тоо 3 нь хоёр дахь нэмэлт үржүүлэгч юм. Бид үүнийг хоёр дахь бутархай хүртэл бичдэг. Дахин хэлэхэд, бид хоёр дахь бутархай дээр жижиг ташуу зураас хийж, дээрээс нь олдсон нэмэлт хүчин зүйлийг бичнэ.

Одоо бид нэмэлт зүйл хийхэд бэлэн байна. Бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлэхэд л үлддэг.

Бидний юунд хүрснийг анхааралтай ажигла. Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил хуваарьтай бутархай болж хувирдаг гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Ийм бутархайг хэрхэн нэмэхийг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Энэ жишээг эцэс хүртэл авч үзье:

Энэ нь жишээг гүйцээнэ. Энэ нь нэмэх болж байна.

Зургийг ашиглан шийдлээ дүрслэхийг хичээцгээе. Хэрэв та пиццан дээр пицца нэмбэл нэг бүтэн пицца, зургааны нэг пицца авна.

Бутархайг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон багасгахыг мөн зураг ашиглан дүрсэлж болно. Бутархай болон нийтлэг хуваагчийг багасгаснаар бид бутархай ба . Эдгээр хоёр фракцыг ижил пиццаны хэсгүүдээр төлөөлөх болно. Цорын ганц ялгаа нь энэ удаад тэд тэнцүү хувьцаанд хуваагдах болно (ижил хуваагч хүртэл бууруулсан).

Эхний зураг нь бутархайг (зургаагаас дөрөв), хоёр дахь зураг нь бутархайг (зургаагаас гурав) илэрхийлнэ. Эдгээр хэсгүүдийг нэмснээр бид (зургаагаас долоон ширхэг) авна. Энэ хэсэг нь зохисгүй тул бид түүний бүх хэсгийг онцолсон. Үүний үр дүнд бид (нэг бүтэн пицца, зургаа дахь пицца) авсан.

Бид энэ жишээг хэтэрхий дэлгэрэнгүй тайлбарласныг анхаарна уу. Боловсролын байгууллагуудад ийм дэлгэрэнгүй бичих нь заншилгүй байдаг. Та хуваагч болон тэдгээрийн нэмэлт хүчин зүйлийн LCM-ийг хурдан олох, түүнчлэн олсон нэмэлт хүчин зүйлийг өөрийн тоо болон хуваагчаар хурдан үржүүлэх чадвартай байх хэрэгтэй. Хэрэв бид сургуульд байсан бол энэ жишээг дараах байдлаар бичих хэрэгтэй болно.

Гэхдээ зоосны бас нэг тал бий. Хэрэв та математикийн хичээлийн эхний шатанд нарийвчилсан тэмдэглэл хөтлөөгүй бол ийм төрлийн асуулт гарч ирж эхэлдэг. "Энэ тоо хаанаас гардаг вэ?", "Яагаад бутархайнууд гэнэт тэс өөр бутархай болж хувирдаг вэ? «.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэхэд хялбар болгохын тулд та дараах алхам алхмаар зааварчилгааг ашиглаж болно.

1. Бутархай бутархайн хуваагчийн LCM-ийг олох;
2. LCM-ийг бутархай бүрийн хуваарьт хувааж, бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг олж авах;
3. Бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлэх;
4. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх;
5. Хэрэв хариулт нь буруу бутархай болж хувирвал түүний бүх хэсгийг сонгоно уу;

Жишээ 2.Илэрхийллийн утгыг ол .

Дээр өгөгдсөн зааврыг ашиглацгаая.

Алхам 1. Бутархай бутархайн хуваагчийг ол

Хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг ол. Бутархайн хуваагч нь 2, 3, 4 гэсэн тоонууд юм

Алхам 2. LCM-ийг бутархай тус бүрийн хуваарьт хувааж, бутархай тус бүрт нэмэлт хүчин зүйл авна.

LCM-ийг эхний бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 2-ын тоо юм. 12-ыг 2-оор хуваавал бид 6-г авна. Бид эхний нэмэлт хүчин зүйл 6-г авсан. Бид үүнийг эхний бутархайн дээр бичнэ.

Одоо бид LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хуваана. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 12-ыг 3-т хуваавал бид 4-ийг авна. Бид хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйл 4-ийг авна. Бид үүнийг хоёр дахь бутархайн дээр бичнэ.

Одоо бид LCM-ийг гурав дахь бутархайн хуваагчаар хуваана. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд гурав дахь бутархайн хуваагч нь 4-ийн тоо юм. 12-ыг 4-т хуваавал бид 3-ыг авна. Гурав дахь нэмэлт хүчин зүйл 3. Гурав дахь бутархайн дээр бид үүнийг бичнэ.

Алхам 3. Бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүл

Бид тоологч ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлдэг.

Алхам 4. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмнэ

Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил (нийтлэг) хуваагчтай бутархай болж хувирсан гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Эдгээр бутархайг нэмэх л үлдлээ. Үүнийг нэмнэ үү:

Нэмэлт нь нэг мөрөнд тохирохгүй байсан тул бид үлдсэн илэрхийлэлийг дараагийн мөрөнд шилжүүлсэн. Үүнийг математикт зөвшөөрдөг. Илэрхийлэл нэг мөрөнд багтахгүй бол дараагийн мөрөнд шилжих ба эхний мөрийн төгсгөл, шинэ мөрийн эхэнд тэнцүү (=) тэмдэг тавих шаардлагатай. Хоёр дахь мөрөнд байгаа тэнцүү тэмдэг нь эхний мөрөнд байсан илэрхийллийн үргэлжлэл гэдгийг харуулж байна.

Алхам 5. Хэрэв хариулт нь буруу бутархай гэж үзвэл түүний бүх хэсгийг сонгоно уу

Бидний хариулт буруу бутархай болж хувирав. Бид үүний бүхэл бүтэн хэсгийг онцлох ёстой. Бид онцолж байна:

Бид хариулт авсан

Ижил хуваагчтай бутархайг хасах

Бутархайг хасах хоёр төрөл байдаг:

1. Ижил хуваагчтай бутархайг хасах
2. Өөр өөр хуваагчтай бутархайг хасах

Эхлээд ижил хуваарьтай бутархайг хэрхэн хасах талаар сурцгаая.

Нэг бутархайгаас өөр нэгийг хасахын тулд эхний бутархайгаас хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг өөрчлөхгүй орхих хэрэгтэй.

Жишээлбэл, илэрхийллийн утгыг олъё. Энэ жишээг шийдэхийн тулд эхний бутархайн хуваагчаас хоёр дахь бутархайн тоог хасч, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй. Үүнийг хийцгээе:

Хэрэв бид дөрвөн хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай санаж байвал энэ жишээг хялбархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццанаас пицца хайчилж авбал та пицца авах болно:

Жишээ 2.Илэрхийллийн утгыг ол.

Дахин хэлэхэд, эхний бутархайн тоологчоос хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг хэвээр үлдээнэ үү.

Гурван хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай санаж байвал энэ жишээг амархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццанаас пицца хайчилж авбал та пицца авах болно:

Жишээ 3.Илэрхийллийн утгыг ол

Энэ жишээг өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил шийддэг. Эхний бутархайн тоологчоос үлдсэн бутархайн тоог хасах хэрэгтэй.

Таны харж байгаагаар ижил хуваагчтай бутархайг хасахад төвөгтэй зүйл байхгүй. Дараах дүрмийг ойлгоход хангалттай.

1. Нэг бутархайгаас өөр нэгийг хасахын тулд эхний бутархайгаас хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй;
2. Хэрэв хариулт нь буруу бутархай болж хувирвал та түүний бүх хэсгийг тодруулах хэрэгтэй.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг хасах

Жишээлбэл, бутархай нь ижил хуваагчтай тул бутархайг хасаж болно. Гэхдээ та бутархайг бутархайгаас хасах боломжгүй, учир нь эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай байдаг. Ийм тохиолдолд бутархайг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон бууруулах ёстой.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэхэд ашигладаг ижил зарчмыг ашиглан нийтлэг хуваагчийг олно. Юуны өмнө хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг ол. Дараа нь LCM-ийг эхний бутархайн хуваарьт хувааж, эхний нэмэлт хүчин зүйлийг олж авах бөгөөд энэ нь эхний бутархайн дээр бичигдэнэ. Үүний нэгэн адил LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваарьт хувааж, хоёр дахь бутархайн дээр бичигдсэн хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйлийг олж авна.

Дараа нь бутархайг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлнэ. Эдгээр үйлдлүүдийн үр дүнд өөр өөр хуваагчтай бутархайг ижил хуваарьтай бутархай болгон хувиргадаг. Ийм бутархайг хэрхэн хасахаа бид аль хэдийн мэддэг болсон.

Жишээ 1.Илэрхийллийн утгыг ол:

Эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай тул тэдгээрийг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон багасгах хэрэгтэй.

Эхлээд бид хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг олно. Эхний бутархайн хуваагч нь 3, хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 4. Эдгээр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 12 байна.

LCM (3 ба 4) = 12

Одоо бутархай ба руу буцъя

Эхний бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд LCM-ийг эхний бутархайн хуваагчаар хуваана. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 12-ыг 3-т хуваавал бид 4-ийг авна. Эхний бутархайн дээр дөрөв бичнэ үү.

Бид хоёр дахь бутархайтай ижил зүйлийг хийдэг. LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 12-ын тоо, хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 4. 12-ыг 4-т хуваавал бид 3-ыг авна. Хоёр дахь бутархай дээр гурвыг бичнэ үү.

Одоо бид хасахад бэлэн боллоо. Бутархайг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлэхэд л үлддэг.

Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил хуваарьтай бутархай болж хувирдаг гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Ийм бутархайг хэрхэн хасахаа бид аль хэдийн мэддэг болсон. Энэ жишээг эцэс хүртэл авч үзье:

Бид хариулт авсан

Зургийг ашиглан шийдлээ дүрслэхийг хичээцгээе. Хэрэв та пиццанаас пицца хайчилж авбал та пицца авах болно

Энэ бол шийдлийн нарийвчилсан хувилбар юм. Хэрэв бид сургуульд байсан бол энэ жишээг арай богино хугацаанд шийдэх ёстой байсан. Ийм шийдэл нь иймэрхүү харагдах болно.

Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгахыг мөн зураг ашиглан дүрсэлж болно. Эдгээр бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулснаар бид бутархай ба . Эдгээр фракцууд нь ижил пиццаны зүсмэлүүдээр илэрхийлэгдэх боловч энэ удаад ижил хэсгүүдэд хуваагдана (ижил хуваагч хүртэл бууруулсан):

Эхний зураг нь бутархай (арван хоёроос найман хэсэг), хоёр дахь зураг нь бутархай (арван хоёроос гурван хэсэг) харуулж байна. Найман хэсгээс гурван ширхэгийг огтолсноор бид арван хоёроос таван ширхэгийг авдаг. Бутархай нь эдгээр таван хэсгийг дүрсэлдэг.

Жишээ 2.Илэрхийллийн утгыг ол

Эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай тул эхлээд ижил (нийтлэг) хуваагч болгон багасгах хэрэгтэй.

Эдгээр бутархайн хуваагчдын LCM-ийг олъё.

Бутархайн хуваагч нь 10, 3, 5 гэсэн тоонууд юм. Эдгээр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 30 юм.

LCM(10, 3, 5) = 30

Одоо бид бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг олдог. Үүнийг хийхийн тулд LCM-ийг бутархай тус бүрийн хуваагчаар хуваана.

Эхний бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг олъё. LCM нь 30-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 10-ын тоо юм. 30-ыг 10-д хуваавал бид эхний нэмэлт хүчин зүйл 3-ыг авна. Бид үүнийг эхний бутархайн дээр бичнэ.

Одоо бид хоёр дахь бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг оллоо. LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 30-ын тоо бөгөөд хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 30-ыг 3-т хуваавал бид хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйл 10-ыг авна. Бид үүнийг хоёр дахь бутархайн дээр бичнэ.

Одоо бид гурав дахь бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг оллоо. LCM-ийг гурав дахь бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 30-ын тоо бөгөөд гурав дахь бутархайн хуваагч нь 5-ын тоо юм. 30-ыг 5-д хуваавал бид гурав дахь нэмэлт хүчин зүйл 6-г авна. Гурав дахь бутархайн дээр бид үүнийг бичнэ.

Одоо бүх зүйл хасахад бэлэн боллоо. Бутархайг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлэхэд л үлддэг.

Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил (нийтлэг) хуваагчтай бутархай болж хувирсан гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Ийм бутархайг хэрхэн хасахаа бид аль хэдийн мэддэг болсон. Энэ жишээг дуусгая.

Жишээний үргэлжлэл нь нэг мөрөнд багтахгүй тул бид үргэлжлэлийг дараагийн мөрөнд шилжүүлнэ. Шинэ мөрөнд тэнцүү (=) тэмдгийн талаар бүү мартаарай:

Хариулт нь ердийн бутархай болж хувирсан бөгөөд бүх зүйл бидэнд тохирсон мэт боловч энэ нь хэтэрхий төвөгтэй, муухай юм. Бид үүнийг илүү хялбар болгох ёстой. Юу хийж болох вэ? Та энэ хэсгийг богиносгож болно.

Бутархайг багасгахын тулд та түүний хүртэгч ба хуваагчийг 20 ба 30 тоонуудын (GCD) тоогоор хуваах хэрэгтэй.

Тиймээс бид 20 ба 30 тоонуудын gcd-г олно.

Одоо бид жишээ рүүгээ буцаж, бутархайн хуваагч ба хуваагчийг олсон gcd, өөрөөр хэлбэл 10-д хуваана.

Бид хариулт авсан

Бутархайг тоогоор үржүүлэх

Бутархайг тоогоор үржүүлэхийн тулд бутархайн тоог тэр тоогоор үржүүлж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй.

Жишээ 1. Бутархайг 1-ээр үржүүл.

Бутархайн тоог 1-ээр үржүүлнэ

Бичлэгийг хагас 1 удаа авдаг гэж ойлгож болно. Жишээлбэл, та 1 удаа пицца авбал пицца авдаг

Үржүүлэх хуулиас бид үржүүлэгч ба хүчин зүйлийг сольсон тохиолдолд үржвэр өөрчлөгдөхгүй гэдгийг бид мэднэ. Хэрэв илэрхийлэл гэж бичсэн бол үржвэр нь -тэй тэнцүү хэвээр байх болно. Дахин хэлэхэд бүхэл тоо ба бутархайг үржүүлэх дүрэм ажиллана.

Энэ тэмдэглэгээ нь нэгийн талыг авсан гэж ойлгож болно. Жишээлбэл, хэрэв 1 бүтэн пицца байгаа бол бид хагасыг нь авбал бид пиццатай болно:

Жишээ 2. Илэрхийллийн утгыг ол

Бутархайн тоог 4-өөр үржүүлнэ

Хариулт нь буруу бутархай байв. Үүний бүх хэсгийг тодруулъя:

Энэ илэрхийлэл нь дөрөвний хоёрыг 4 удаа авна гэж ойлгож болно. Жишээлбэл, та 4 пицца авбал хоёр бүтэн пицца авах болно

Хэрэв бид үржүүлэгч ба үржүүлэгчийг солих юм бол бид илэрхийллийг авна. Энэ нь мөн 2-той тэнцүү байх болно. Энэ илэрхийлэл нь дөрвөн бүх пиццанаас хоёр пицца авах гэж ойлгож болно.

Бутархайгаар үржүүлж буй тоо болон бутархайн хуваагч нь нэгээс их нийтлэг хүчин зүйлтэй бол шийдэгдэнэ.

Жишээлбэл, илэрхийлэлийг хоёр аргаар үнэлж болно.

Эхний арга. 4-ийн тоог бутархайн хуваагчаар үржүүлж, бутархайн хуваагчийг өөрчлөхгүй орхи.

Хоёрдахь арга. Дөрөвийг үржүүлж, бутархайн хуваагч дахь дөрөвийг багасгаж болно. Эдгээр дөрөвийг 4-өөр багасгаж болно, учир нь хоёр дөрвийн хамгийн том нийтлэг хуваагч нь дөрөв өөрөө юм.

Бид ижил үр дүнд хүрсэн 3. Дөрөвийг багасгасны дараа тэдний оронд шинэ тоо бий болно: хоёр нэг. Харин нэгийг гураваар үржүүлээд дараа нь нэгээр хуваахад юу ч өөрчлөгдөхгүй. Тиймээс шийдлийг товчхон бичиж болно:

Бид эхний аргыг ашиглахаар шийдсэн ч гэсэн бууралтыг хийж болно, гэхдээ 4 тоо ба 3 дугаарыг үржүүлэх үе шатанд бид бууралтыг ашиглахаар шийдсэн.

Гэхдээ жишээ нь, илэрхийллийг зөвхөн эхний аргаар тооцоолж болно - 7-г бутархайн хуваагчаар үржүүлж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээнэ үү.

Энэ нь 7-ын тоо болон бутархайн хуваагч нь нэгээс их нийтлэг хуваагчгүй, үүний дагуу цуцлагдахгүй байгаатай холбоотой юм.

Зарим оюутнууд үржүүлж буй тоо болон бутархайн хуваагчийг андуурч богиносгодог. Та үүнийг хийж чадахгүй. Жишээлбэл, дараах оруулга буруу байна:

Бутархайг багасгах нь үүнийг хэлнэ тоологч ба хуваагч хоёулааижил тоогоор хуваагдана. Илэрхийлэлтэй нөхцөлд хуваах нь зөвхөн тоологч дээр хийгддэг, учир нь үүнийг бичих нь бичихтэй адил юм. Бид хуваах нь зөвхөн тоологч хэсэгт хийгддэг бөгөөд хуваалт нь хуваалтад тохиолддоггүй гэдгийг бид харж байна.

Бутархайг үржүүлэх

Бутархайг үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн тоо болон хуваагчийг үржүүлэх хэрэгтэй. Хэрэв хариулт нь буруу бутархай болж хувирвал та түүний бүх хэсгийг тодруулах хэрэгтэй.

Жишээ 1.Илэрхийллийн утгыг ол.

Бид хариулт авсан. Энэ хэсгийг багасгахыг зөвлөж байна. Бутархайг 2-оор багасгаж болно. Дараа нь эцсийн шийдэл нь дараах хэлбэртэй болно.

Энэ илэрхийлэл нь хагас пиццанаас пицца авах гэж ойлгож болно. Бидэнд хагас пицца байна гэж бодъё:

Энэ хагасаас гуравны хоёрыг яаж авах вэ? Эхлээд та энэ хагасыг гурван тэнцүү хэсэгт хуваах хэрэгтэй.

Мөн эдгээр гурван хэсгээс хоёрыг аваарай:

Бид пицца хийх болно. Гурван хэсэгт хуваахад пицца ямар байдгийг санаарай.

Энэхүү пиццаны нэг хэсэг болон бидний авсан хоёр хэсэг ижил хэмжээтэй байна:

Өөрөөр хэлбэл бид ижил хэмжээтэй пиццаны тухай ярьж байна. Тиймээс илэрхийллийн утга нь байна

Жишээ 2. Илэрхийллийн утгыг ол

Эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар, эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар үржүүлнэ.

Хариулт нь буруу бутархай байв. Үүний бүх хэсгийг тодруулъя:

Жишээ 3.Илэрхийллийн утгыг ол

Эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар, эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар үржүүлнэ.

Хариулт нь жирийн бутархай болж таарсан ч богиносговол зүгээр. Энэ бутархайг багасгахын тулд та энэ бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 105 ба 450 тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагч (GCD)-д хуваах хэрэгтэй.

Ингээд 105 ба 450 тоонуудын gcd-г олъё:

Одоо бид хариултынхаа тоологч ба хуваагчийг одоо олсон gcd-д, өөрөөр хэлбэл 15-д хуваана.

Бүхэл тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх

Аливаа бүхэл тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Жишээлбэл, 5-ын тоог . Энэ нь тавын утгыг өөрчлөхгүй, учир нь "тавын тоог нэгээр хуваасан" гэсэн утгатай бөгөөд энэ нь бидний мэдэж байгаагаар тавтай тэнцүү юм.

Харилцан тоо

Одоо бид математикийн маш сонирхолтой сэдэвтэй танилцах болно. Үүнийг "урвуу тоо" гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Тоо руу буцаха нь үржүүлбэл тоо юма нэгийг өгдөг.

Энэ тодорхойлолтод хувьсагчийн оронд орлуулъя адугаар 5 ба тодорхойлолтыг уншиж үзээрэй:

Тоо руу буцах 5 нь үржүүлбэл тоо юм 5 нэгийг өгдөг.

5-аар үржүүлэхэд нэгийг өгөх тоог олох боломжтой юу? Энэ нь боломжтой болж байна. Тавыг бутархай гэж төсөөлье:

Дараа нь энэ бутархайг өөрөө үржүүлж, зөвхөн тоологч ба хуваагчийг солино. Өөрөөр хэлбэл, бутархайг зөвхөн урвуугаар нь үржүүлье:

Үүний үр дүнд юу болох вэ? Хэрэв бид энэ жишээг үргэлжлүүлэн шийдвэл бид нэгийг авна:

Энэ нь 5-ын урвуу нь тоо гэсэн үг, учир нь 5-аар үржүүлснээр та нэг болно.

Тооны эсрэг тоог бусад бүхэл тоонд мөн олж болно.

Та мөн бусад бутархайн хариуг олж болно. Үүнийг хийхийн тулд зүгээр л эргүүлээрэй.

Бутархайг тоонд хуваах

Бидэнд хагас пицца байна гэж бодъё:

Үүнийг хоёр тэнцүү хуваая. Хүн бүр хэр их пицца авах вэ?

Пиццаны талыг хуваасны дараа хоёр тэнцүү хэсгийг олж авсан нь тус бүр нь пицца болж байгааг харж болно. Тиймээс хүн бүр пицца авдаг.