үндсэн шинж чанарууд.
- логакс + логай = лога(х у);
- логакс − логай = лога (x: y).
ижил үндэслэлүүд
Log6 4 + log6 9.
Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье.
Логарифмыг шийдвэрлэх жишээ
Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.
Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x >
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
Шинэ суурь руу шилжих
Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
Мөн үзнэ үү:
Логарифмын үндсэн шинж чанарууд
1.
2.
3.
4.
5. 
6.
7.
8.
9.
10.
11. 
12.
13.
14. 
15.
Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7-тэй тэнцүү бөгөөд Лео Николаевич Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна.
Логарифмын үндсэн шинж чанарууд
Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.
Логарифмын жишээ
Логарифмын илэрхийллүүд
Жишээ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
3.5 шинж чанарыг ашиглан бид тооцоолно 
2.
3. 
4. 
Хаана 
.
Жишээ 2. Хэрэв x-ийг ол
Жишээ 3. Логарифмын утгыг өгье
Хэрэв log(x)-ыг тооцоол
Логарифмын үндсэн шинж чанарууд
Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифмууд нь яг энгийн тоо биш тул энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.
Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - тэдгээргүйгээр логарифмын ноцтой асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.
Логарифм нэмэх, хасах
Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:
- логакс + логай = лога(х у);
- логакс − логай = лога (x: y).
Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!
Эдгээр томьёо нь логарифмын илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:
Логарифм нь ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.
Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.
Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлүүдийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.
Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна
Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооллын хэмжээг эрс багасгах болно.
Мэдээжийн хэрэг, хэрэв логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур. , өөрөөр хэлбэл Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.
Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
Хуваарилагч нь логарифм агуулсан бөгөөд суурь ба аргумент нь яг хүчирхэг байх болно гэдгийг анхаарна уу: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:
Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг.
Логарифмын томъёо. Логарифмын шийдлийн жишээ.
Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.
Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний үр дүнд хариулт нь: 2.
Шинэ суурь руу шилжих
Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?
Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.
Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:
Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.
Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.
Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.
Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.
Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг болохыг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:
Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.
Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.
Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.
Үндсэн логарифмын таних тэмдэг
Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёонууд бидэнд туслах болно.
Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.
Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .
Үнэн хэрэгтээ, b тоог ийм зэрэгт аваачвал, энэ түвшний b тоо нь а тоог өгдөг бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: үр дүн нь ижил тоо юм. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн гацах болно.
Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
log25 64 = log5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.
Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)
Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг
Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.
- logaa = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
- лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.
Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.
Мөн үзнэ үү:
a суурийн b-ийн логарифм нь илэрхийллийг илэрхийлнэ. Логарифмыг тооцоолох гэдэг нь тэгш байдал хангагдах x () хүчийг олох гэсэн үг юм
Логарифмын үндсэн шинж чанарууд
Логарифмтай холбоотой бараг бүх асуудал, жишээг тэдгээрийн үндсэн дээр шийддэг тул дээрх шинж чанаруудыг мэдэх шаардлагатай. Үлдсэн чамин шинж чанаруудыг эдгээр томъёогоор математикийн аргаар гаргаж авах боломжтой
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Логарифмын нийлбэр ба зөрүүний томъёог (3.4) тооцоолохдоо та маш олон удаа тааралддаг. Үлдсэн хэсэг нь зарим талаараа төвөгтэй боловч хэд хэдэн даалгаварт нарийн төвөгтэй илэрхийллийг хялбарчлах, тэдгээрийн утгыг тооцоолоход зайлшгүй шаардлагатай байдаг.
Логарифмын нийтлэг тохиолдлууд
Хамгийн түгээмэл логарифмуудын зарим нь суурь нь арав, экспоненциал эсвэл хоёртой тэнцүү байдаг.
Аравтын суурийн логарифмыг ихэвчлэн аравтын логарифм гэж нэрлэдэг бөгөөд энгийнээр lg(x) гэж тэмдэглэдэг.
Бичлэгт үндсэн зүйл бичээгүй нь бичлэгээс тодорхой харагдаж байна. Жишээлбэл
Натурал логарифм нь суурь нь илтгэгч (ln(x)-ээр тэмдэглэгдсэн) логарифм юм.
Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7-тэй тэнцүү бөгөөд Лео Николаевич Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна. Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.
Хоёр дахь суурийг тавих өөр нэг чухал логарифмыг дараах байдлаар тэмдэглэв
Функцийн логарифмын дериватив нь хувьсагчид хуваагдсантай тэнцүү байна
Интеграл эсвэл эсрэг дериватив логарифм нь хамаарлаар тодорхойлогддог
Өгөгдсөн материал нь логарифм, логарифмтай холбоотой өргөн ангиллын асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. Материалыг ойлгоход тань туслахын тулд би сургуулийн сургалтын хөтөлбөр болон их дээд сургуулиудаас цөөн хэдэн нийтлэг жишээ хэлье.
Логарифмын жишээ
Логарифмын илэрхийллүүд
Жишээ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
3.5 шинж чанарыг ашиглан бид тооцоолно
2.
Логарифмын ялгаварын шинж чанараар бид байна
3.
3.5 шинж чанарыг ашиглан бид олдог
4. Хаана .
Нарийн төвөгтэй мэт санагдах илэрхийлэлийг хэд хэдэн дүрмийг ашиглан хялбаршуулж хэлбэржүүлдэг
Логарифмын утгыг олох
Жишээ 2. Хэрэв x-ийг ол
Шийдэл. Тооцооллын хувьд бид сүүлийн үеийн 5 ба 13 шинж чанаруудыг хэрэглэнэ
Бид үүнийг бичлэгт оруулж, эмгэнэл илэрхийлдэг
Суурь нь тэнцүү тул бид илэрхийллүүдийг тэгшитгэдэг
Логарифм. Эхний түвшин.
Логарифмын утгыг өгье
Хэрэв log(x)-ыг тооцоол
Шийдэл: Хувьсагчийн логарифмыг авч, түүний нөхцлийн нийлбэрээр логарифмыг бичье.
Энэ бол бидний логарифм ба тэдгээрийн шинж чанаруудтай танилцах эхлэл юм. Тооцоолол хийж, практик ур чадвараа баяжуулаарай - логарифм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд олж авсан мэдлэг тань удахгүй хэрэг болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг судалсны дараа бид таны мэдлэгийг өөр нэг чухал сэдэв болох логарифмын тэгш бус байдлын талаар өргөжүүлэх болно.
Логарифмын үндсэн шинж чанарууд
Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифмууд нь яг энгийн тоо биш тул энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.
Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - тэдгээргүйгээр логарифмын ноцтой асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.
Логарифм нэмэх, хасах
Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:
- логакс + логай = лога(х у);
- логакс − логай = лога (x: y).
Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!
Эдгээр томьёо нь логарифмын илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log6 4 + log6 9.
Логарифм нь ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.
Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.
Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлүүдийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.
Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна
Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.
Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооллын хэмжээг эрс багасгах болно.
Мэдээжийн хэрэг, хэрэв логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур. , өөрөөр хэлбэл Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно.
Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ
Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.
Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
Хуваарилагч нь логарифм агуулсан бөгөөд суурь ба аргумент нь яг хүчирхэг байх болно гэдгийг анхаарна уу: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:
Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.
Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний үр дүнд хариулт нь: 2.
Шинэ суурь руу шилжих
Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?
Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.
Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:
Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.
Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.
Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.
Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.
Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг болохыг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:
Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.
Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.
Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.
Үндсэн логарифмын таних тэмдэг
Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёонууд бидэнд туслах болно.
Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.
Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .
Үнэн хэрэгтээ, b тоог ийм зэрэгт аваачвал, энэ түвшний b тоо нь а тоог өгдөг бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: үр дүн нь ижил тоо юм. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн гацах болно.
Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
log25 64 = log5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.
Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)
Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг
Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.
- logaa = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
- лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.
Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.
Логарифм тэгшитгэл. Бид математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын В хэсгийн асуудлуудыг үргэлжлүүлэн авч үздэг. Бид "", "" гэсэн нийтлэл дэх зарим тэгшитгэлийн шийдлүүдийг судалж үзсэн. Энэ нийтлэлд бид логарифмын тэгшитгэлийг авч үзэх болно. Улсын нэгдсэн шалгалтанд ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд нарийн төвөгтэй өөрчлөлт гарахгүй гэдгийг би шууд хэлье. Тэд энгийн.
Логарифмын үндсэн шинж чанарыг мэдэж, ойлгоход хангалттай. Үүнийг шийдсэний дараа та шалгалт хийх ёстой гэдгийг анхаарна уу - үр дүнгийн утгыг анхны тэгшитгэлд орлуулж, тооцоолсны эцэст та зөв тэгш байдлыг авах ёстой.
Тодорхойлолт:
b суурьтай тооны логарифм нь экспонент,а-г авахын тулд b-г өсгөх ёстой.
Жишээлбэл:
Бүртгэл 3 9 = 2, учир нь 3 2 = 9
Логарифмын шинж чанарууд:
Логарифмын онцгой тохиолдлууд:
Асуудлыг шийдье. Эхний жишээнд бид шалгалт хийх болно. Дараагийн шалгалтыг өөрөө хий.
Тэгшитгэлийн язгуурыг ол: log 3 (4–x) = 4
Лог b a = x b x = a учраас
3 4 = 4 - x
x = 4 – 81
x = – 77
Шалгалт:
бүртгэл 3 (4–(–77)) = 4
бүртгэл 3 81 = 4
3 4 = 81 Зөв.
Хариулт: - 77
Өөрийнхөө төлөө шийд:
Тэгшитгэлийн язгуурыг ол: log 2 (4 – x) = 7
5-р тэгшитгэлийн язгуурыг ол(4 + x) = 2
Бид үндсэн логарифмын таних тэмдгийг ашигладаг.
Лог a b = x b x = a учраас
5 2 = 4 + x
x =5 2 – 4
x = 21
Шалгалт:
бүртгэл 5 (4 + 21) = 2
бүртгэл 5 25 = 2
5 2 = 25 Зөв.
Хариулт: 21
log 3 (14 – x) = log 3 5 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.
Дараах шинж чанар явагдана, түүний утга нь дараах байдалтай байна: хэрэв тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд ижил суурьтай логарифм байгаа бол бид логарифмын тэмдгийн дор илэрхийллийг тэнцүүлж болно.
14 – x = 5
x=9
Шалгах.
Хариулт: 9
Өөрийнхөө төлөө шийд:
log 5 (5 – x) = log 5 3 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.
Тэгшитгэлийн язгуурыг ол: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).
Хэрэв log c a = log c b бол a = b
x + 3 = 4x – 15
3х = 18
x = 6
Шалгах.
Хариулт: 6
log 1/8 (13 – x) = – 2 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.
(1/8) –2 = 13 – x
8 2 = 13 - x
x = 13 – 64
x = – 51
Шалгах.
Жижиг нэмэлт - эд хөрөнгийг энд ашигладаг
градус ().
Хариулт: - 51
Өөрийнхөө төлөө шийд:
Тэгшитгэлийн язгуурыг ол: log 1/7 (7 – x) = – 2
log 2 (4 – x) = 2 log 2 5 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.
Баруун талыг нь өөрчилье. Эд хөрөнгийг ашиглацгаая:
log a b m = m∙log a b
log 2 (4 – x) = log 2 5 2
Хэрэв log c a = log c b бол a = b
4 – x = 5 2
4 – x = 25
x = – 21
Шалгах.
Хариулт: - 21
Өөрийнхөө төлөө шийд:
Тэгшитгэлийн язгуурыг ол: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3
log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11) тэгшитгэлийг шийд.
Хэрэв log c a = log c b бол a = b
x 2 + 4x = x 2 + 11
4х = 11
x = 2.75
Шалгах.
Хариулт: 2.75
Өөрийнхөө төлөө шийд:
log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10) тэгшитгэлийн язгуурыг ол.
log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1 тэгшитгэлийг шийд.
Тэгшитгэлийн баруун талд байгаа хэлбэрийн илэрхийлэлийг авах шаардлагатай.
бүртгэл 2 (......)
Бид 1-ийг суурь 2 логарифм болгон төлөөлдөг:
1 = бүртгэл 2 2
log c (ab) = log c a + log c b
log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2
Бид авах:
log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)
Хэрэв log c a = log c b бол a = b, тэгвэл
2 – x = 4 – 6x
5х = 2
x = 0.4
Шалгах.
Хариулт: 0.4
Өөрийнхөө төлөө шийд: Дараа нь та квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Дашрамд хэлэхэд,
үндэс нь 6 ба – 4 байна.
Үндэс "-4" нь шийдэл биш, учир нь логарифмын суурь нь тэгээс их байх ёстой ба "– 4" энэ нь "тэй тэнцүү байна – 5". Шийдэл нь root 6 юм.Шалгах.
Хариулт: 6.
Р өөрөө идэх:
Тэгшитгэлийн логийг шийдээрэй x –5 49 = 2. Хэрэв тэгшитгэл нэгээс олон язгууртай бол жижиг язгуураар хариулна уу.
Таны харж байгаагаар логарифмын тэгшитгэлээр ямар ч төвөгтэй хувиргалт байхгүйҮгүй Логарифмын шинж чанарыг мэдэж, тэдгээрийг хэрэгжүүлэх чадвартай байхад л хангалттай. Логарифмын илэрхийлэлийг хувиргахтай холбоотой USE-ийн асуудлуудад илүү ноцтой өөрчлөлтүүд хийгддэг бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхэд илүү гүнзгий ур чадвар шаардагдана. Бид ийм жишээг үзэх болно, битгий алдаарай!Чамд амжилт хүсье!!!
Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких.
P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.
Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. 1-р хэсэг.
Логарифм тэгшитгэлгэдэг нь логарифмын тэмдгийн доор үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгшитгэл юм (ялангуяа логарифмын суурь).
Хамгийн энгийн нь логарифм тэгшитгэлхэлбэртэй байна:
Аливаа логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхлогарифмаас логарифмын тэмдгийн доорх илэрхийлэл рүү шилжих шилжилтийг багтаана. Гэсэн хэдий ч энэ үйлдэл нь тэгшитгэлийн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээг өргөжүүлж, гадны үндэс үүсэхэд хүргэдэг. Гадаад үндэс үүсэхээс зайлсхийхийн тулд, та гурван аргын аль нэгийг хийж болно:
1. Түүнтэй ижил шилжилт хийханхны тэгшитгэлээс систем рүү орно
аль тэгш бус эсвэл энгийн байхаас хамаарна.
Хэрэв тэгшитгэл нь логарифмын суурьт үл мэдэгдэхийг агуулж байвал:
Дараа нь бид систем рүү очно:
2. Тэгшитгэлийн зөвшөөрөгдөх утгын мужийг тусад нь ол, дараа нь тэгшитгэлийг шийдэж, олсон шийдлүүд тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу.
3. Тэгшитгэлийг шийдэж, дараа нь шалгах:олсон шийдлүүдийг анхны тэгшитгэлд орлуулж, зөв тэгшитгэлийг олж авсан эсэхийг шалгана уу.
Аливаа түвшний нарийн төвөгтэй логарифм тэгшитгэл нь хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэл хүртэл буурдаг.
Бүх логарифм тэгшитгэлийг дөрвөн төрөлд хувааж болно.
1 . Зөвхөн эхний түвшний логарифмуудыг агуулсан тэгшитгэлүүд. Өөрчлөлт, хэрэглээний тусламжтайгаар тэдгээрийг хэлбэрт оруулдаг
Жишээ. Тэгшитгэлийг шийдье:
Логарифмын тэмдгийн доорх илэрхийллүүдийг тэгшитгэе.
Бидний тэгшитгэлийн үндэс хангагдсан эсэхийг шалгацгаая.
Тийм ээ, энэ нь сэтгэл хангалуун байна.
Хариулт: x=5
2 . 1-ээс өөр зэрэглэлийн логарифм агуулсан тэгшитгэлүүд (ялангуяа бутархайн хуваарьт). Ийм тэгшитгэлийг ашиглан шийдэж болно хувьсагчийн өөрчлөлтийг нэвтрүүлж байна.
Жишээ.Тэгшитгэлийг шийдье:
ODZ тэгшитгэлийг олъё:
Тэгшитгэлд квадрат логарифм агуулагдсан тул хувьсагчийн өөрчлөлтийг ашиглан шийдэж болно.
Чухал!
Орлуулахаас өмнө тэгшитгэлийн нэг хэсэг болох логарифмуудыг логарифмын шинж чанарыг ашиглан "тоосго" болгон "татах" хэрэгтэй.
Нэмж дурдахад энд бас нэг нарийн зүйл байгаа бөгөөд нийтлэг алдаа гаргахгүйн тулд бид завсрын тэгш байдлыг ашиглана: бид логарифмын зэргийг дараах хэлбэрээр бичнэ.
Үүний нэгэн адил,
Гарсан илэрхийллүүдийг анхны тэгшитгэлд орлуулъя. Бид авах:
Одоо бид үл мэдэгдэх зүйл нь тэгшитгэлд агуулагдаж байгааг харж байна. Сэлгээг танилцуулъя: . Энэ нь ямар ч бодит утгыг авч болох тул бид хувьсагчид ямар нэгэн хязгаарлалт тавьдаггүй.
Логарифм тэгшитгэл. Энгийнээс нарийн төвөгтэй рүү.
Анхаар!
Нэмэлт байдаг
555-р тусгай хэсгийн материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)
Логарифм тэгшитгэл гэж юу вэ?
Энэ бол логарифм бүхий тэгшитгэл юм. Би гайхаж байна, тийм үү?) Дараа нь би тодруулах болно. Энэ бол үл мэдэгдэх (х) болон тэдгээртэй илэрхийлэлүүдийг олдог тэгшитгэл юм логарифмын дотор.Зөвхөн тэнд! Энэ нь чухал юм.
Зарим жишээг энд оруулав логарифм тэгшитгэл:
log 3 x = log 3 9
log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)
log x+1 (x 2 +3x-7) = 2
lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)
За ойлголоо... )
Анхаар! X-тэй хамгийн олон янзын илэрхийллүүд байрладаг зөвхөн логарифмын дотор.Хэрэв тэгшитгэлийн хаа нэгтээ гэнэт X гарч ирвэл гадна, Жишээлбэл:
log 2 x = 3+x,
Энэ нь аль хэдийн холимог төрлийн тэгшитгэл байх болно. Ийм тэгшитгэлд тэдгээрийг шийдвэрлэх тодорхой дүрэм байдаггүй. Бид тэдгээрийг одоогоор авч үзэхгүй. Дашрамд хэлэхэд логарифмын дотор тэгшитгэлүүд байдаг зөвхөн тоо. Жишээлбэл:
Би юу хэлж чадах вэ? Хэрэв та ийм зүйлтэй тулгарвал азтай байна! Тоо бүхий логарифм нь зарим тоо.Тэгээд л болоо. Ийм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд логарифмын шинж чанарыг мэдэхэд хангалттай. Шийдвэрлэхийн тулд тусгайлан тохируулсан тусгай дүрмүүд, арга техникүүдийн талаархи мэдлэг логарифм тэгшитгэл,энд шаардлагагүй.
Тэгэхээр, логарифм тэгшитгэл гэж юу вэ- бид үүнийг ойлгосон.
Логарифм тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?
Шийдэл логарифм тэгшитгэл- Энэ нь үнэндээ тийм ч энгийн зүйл биш юм. Тиймээс манай хэсэг дөрөв ... Бүх төрлийн холбогдох сэдвээр хангалттай хэмжээний мэдлэг шаардагдана. Үүнээс гадна эдгээр тэгшитгэлд онцгой шинж чанар байдаг. Энэ шинж чанар нь маш чухал тул үүнийг логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гол асуудал гэж нэрлэж болно. Бид дараагийн хичээл дээр энэ асуудлыг нарийвчлан авч үзэх болно.
Одоохондоо санаа зовох хэрэггүй. Бид зөв замаар явна энгийнээс нарийн төвөгтэй рүү.Тодорхой жишээ ашиглах. Хамгийн гол нь энгийн зүйлсийг сайтар судалж, холбоосыг дагаж залхуурах хэрэггүй, би тэднийг ямар нэг шалтгаанаар тэнд байрлуулсан ... Тэгээд бүх зүйл танд бүтэх болно. Заавал.
Хамгийн энгийн, хамгийн энгийн тэгшитгэлээс эхэлцгээе. Тэдгээрийг шийдэхийн тулд логарифмын талаар ойлголттой байхыг зөвлөж байна, гэхдээ үүнээс өөр зүйл байхгүй. Зүгээр л санаа алга логарифм,шийдвэр гаргах логарифмтэгшитгэлүүд - ямар нэг байдлаар бүр эвгүй ... Маш зоримог, би хэлэх болно).
Хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэл.
Эдгээр нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм.
1. log 3 x = log 3 9
2. log 7 (2x-3) = log 7 x
3. лог 7 (50х-1) = 2
Шийдвэрлэх үйл явц аливаа логарифм тэгшитгэлнь логарифм бүхий тэгшитгэлээс тэдгээргүй тэгшитгэл рүү шилжихээс бүрдэнэ. Хамгийн энгийн тэгшитгэлд энэ шилжилтийг нэг алхамаар гүйцэтгэдэг. Тийм ч учраас тэд хамгийн энгийн нь юм.)
Ийм логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд гайхалтай хялбар байдаг. Өөрөө хараарай.
Эхний жишээг шийдье:
log 3 x = log 3 9
Энэ жишээг шийдэхийн тулд та бараг юу ч мэдэх шаардлагагүй, тиймээ ... Цэвэр зөн совин!) Бидэнд юу хэрэгтэй вэ ялангуяаЭнэ жишээ танд таалагдахгүй байна уу? Юу-юу... Би логарифмд дургүй! Зөв. Тиймээс тэднээс салцгаая. Бид жишээг анхааралтай ажиглаж, бидний дотор байгалийн хүсэл төрж байна ... Утгагүй! Логарифмыг бүхэлд нь авч хая. Тэгээд сайн нь юу вэ Чадаххий! Математик зөвшөөрдөг. Логарифмууд алга болнохариулт нь:
Гайхалтай, тийм үү? Үүнийг үргэлж хийх боломжтой (мөн хийх ёстой). Ийм байдлаар логарифмуудыг арилгах нь логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гол аргуудын нэг юм. Математикт энэ үйлдлийг гэж нэрлэдэг потенциаци.Мэдээжийн хэрэг, ийм татан буулгах дүрэм журам байдаг, гэхдээ тэдгээр нь цөөхөн байдаг. Санаж байна уу:
Хэрэв та логарифмуудыг ямар ч айдасгүйгээр устгаж болно:
a) ижил тоон суурь
в) зүүнээс баруун тийш логарифмууд нь цэвэр (ямар ч коэффициентгүй) бөгөөд гайхалтай тусгаарлагдсан байдаг.
Сүүлийн санааг тодруулъя. Тэгшитгэлд гэж хэлье
log 3 x = 2log 3 (3x-1)
Логарифмуудыг устгах боломжгүй. Баруун талын хоёр нь үүнийг зөвшөөрөхгүй. Коэффициент, чи мэднэ дээ... Жишээн дээр
log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)
Мөн тэгшитгэлийг хүчирхэгжүүлэх боломжгүй юм. Зүүн талд ганц логарифм байхгүй. Тэдний хоёр нь бий.
Товчхондоо, тэгшитгэл нь зөвхөн дараах байдалтай байвал та логарифмуудыг устгаж болно.
log a (.....) = log a (.....)
Хаалтанд эллипс байгаа газар байж болно аливаа илэрхийлэл.Энгийн, супер төвөгтэй, бүх төрлийн. Юу ч байсан. Хамгийн гол нь логарифмуудыг устгасны дараа бидэнд үлдэх болно энгийн тэгшитгэл.Мэдээжийн хэрэг та шугаман, квадрат, бутархай, экспоненциал болон бусад тэгшитгэлийг логарифмгүйгээр хэрхэн шийдвэрлэхээ мэддэг болсон гэж үздэг.)
Одоо та хоёр дахь жишээг хялбархан шийдэж чадна:
log 7 (2x-3) = log 7 x
Үнэндээ энэ нь оюун ухаанд шийдэгддэг. Бид хүчирхэгжүүлж, бид дараахь зүйлийг авна.
За, энэ нь маш хэцүү юу?) Таны харж байгаагаар, логарифмтэгшитгэлийн шийдлийн нэг хэсэг нь зөвхөн логарифмуудыг арилгахад л...Дараа нь тэдэнгүйгээр үлдсэн тэгшитгэлийн шийдэл ирдэг. Өчүүхэн хэрэг.
Гурав дахь жишээг шийдье:
бүртгэл 7 (50х-1) = 2
Зүүн талд логарифм байгааг бид харж байна:
Энэ логарифм нь дэд логарифмын илэрхийлэлийг олж авахын тулд суурийг өсгөх ёстой тоо (өөрөөр хэлбэл долоо) гэдгийг санаарай. (50х-1).
Гэхдээ энэ тоо хоёр байна! тэгшитгэлийн дагуу. Тэр бол:
Энэ бол үндсэндээ. Логарифм алга болсон,Үлдсэн зүйл бол хор хөнөөлгүй тэгшитгэл юм:
Бид энэ логарифмын тэгшитгэлийг зөвхөн логарифмын утга дээр үндэслэн шийдсэн. Логарифмыг арилгах нь илүү хялбар хэвээр байна уу?) Би зөвшөөрч байна. Дашрамд хэлэхэд, хэрэв та хоёроос логарифм гаргавал энэ жишээг арилгах замаар шийдэж болно. Ямар ч тоог логарифм болгож болно. Түүнээс гадна, бидэнд хэрэгтэй арга зам. Логарифмын тэгшитгэл ба (ялангуяа!) тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх маш хэрэгтэй арга.
Та тооноос логарифм гаргахаа мэдэхгүй байна!? Зүгээр дээ. 555-р зүйлд энэ техникийг дэлгэрэнгүй тайлбарласан. Та үүнийг эзэмшиж, бүрэн дүүрэн ашиглах боломжтой! Энэ нь алдааны тоог эрс багасгадаг.
Дөрөв дэх тэгшитгэлийг яг ижил төстэй байдлаар шийддэг (тодорхойлолтоор):
Тэгээд л болоо.
Энэ хичээлийг тоймлон хүргэе. Бид жишээнүүдийг ашиглан хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэлийн шийдлийг авч үзсэн. Энэ нь маш чухал юм. Зөвхөн шалгалт, шалгалтанд ийм тэгшитгэл гарч ирдэг учраас биш юм. Хамгийн муу, төвөгтэй тэгшитгэлийг хүртэл хамгийн энгийн болгож бууруулсан нь үнэн юм!
Үнэн хэрэгтээ хамгийн энгийн тэгшитгэлүүд нь шийдлийн эцсийн хэсэг юм ямар чтэгшитгэл. Мөн энэ эцсийн хэсгийг хатуу ойлгох ёстой! Тэгээд цааш нь. Энэ хуудсыг дуустал нь уншихаа мартуузай. Энд гэнэтийн зүйл байна ...)
Одоо бид өөрсдөө шийднэ. Сайн болцгооё, өөрөөр хэлбэл...)
Тэгшитгэлийн үндсийг (эсвэл хэд хэдэн байвал язгуурын нийлбэр) ол.
ln(7x+2) = ln(5x+20)
log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)
бүртгэл 16 (0.5x-1.5) = 0.25
бүртгэл 0.2 (3х-1) = -3
ln(e 2 +2x-3) = 2
log 2 (14x) = log 2 7 + 2
Хариултууд (мэдээж эмх замбараагүй): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.
Юу вэ, бүх зүйл болохгүй байна уу? Болдог. Санаа зоволтгүй! 555-р бүлэгт эдгээр бүх жишээнүүдийн шийдлийг тодорхой бөгөөд нарийвчилсан байдлаар тайлбарласан болно. Та үүнийг тэндээс олж мэдэх нь гарцаагүй. Та мөн ашигтай практик арга техникийг сурах болно.
Бүх зүйл болсон!? "Нэг үлдсэн" бүх жишээ?) Баяр хүргэе!
Та бүхэнд гашуун үнэнийг дэлгэх цаг болжээ. Эдгээр жишээнүүдийг амжилттай шийдвэрлэх нь бусад бүх логарифм тэгшитгэлийг амжилттай шийдвэрлэх баталгаа болохгүй. Хамгийн энгийн нь ч гэсэн ийм байдаг. Харамсалтай нь.
Баримт нь аливаа логарифмын тэгшитгэлийн шийдэл (бүр хамгийн энгийн!) -ээс бүрддэг хоёр тэнцүү хэсэг.Тэгшитгэлийг шийдэж, ODZ-тэй ажиллах. Бид нэг хэсгийг эзэмшсэн - тэгшитгэлийг өөрөө шийдэх. Энэ тийм ч хэцүү биштийм үү?
Энэ хичээлийн хувьд би DL нь хариултанд ямар нэгэн байдлаар нөлөөлөхгүй жишээнүүдийг тусгайлан сонгосон. Гэхдээ хүн бүр над шиг сайхан сэтгэлтэй байдаггүй, тийм ээ?...)
Тиймээс нөгөө хэсгийг нь эзэмших зайлшгүй шаардлагатай. ОДЗ. Энэ бол логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гол асуудал юм. Энэ нь хэцүү учраас биш - энэ хэсэг нь эхнийхээс ч хялбар юм. Гэхдээ хүмүүс зүгээр л ОДЗ-ыг мартдаг учраас. Эсвэл тэд мэдэхгүй. Эсвэл хоёулаа). Тэгээд тэд гэнэт унадаг ...
Дараагийн хичээл дээр бид энэ асуудлыг шийдэх болно. Дараа нь та итгэлтэйгээр шийдэж чадна ямар чэнгийн логарифм тэгшитгэл ба нэлээд хатуу даалгаварт ойртдог.
Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...
Дашрамд хэлэхэд, надад танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)
Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)
Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.
Энэ видеогоор би логарифм тэгшитгэлийн тухай урт цуврал хичээлүүдийг эхлүүлж байна. Одоо танд гурван жишээ байна, үүний үндсэн дээр бид хамгийн энгийн асуудлыг шийдэж сурах болно. эгэл биетэн.
log 0.5 (3x − 1) = −3
бүртгэл (x + 3) = 3 + 2 бүртгэл 5
Хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэл нь дараах байдалтай байгааг сануулъя.
log a f(x) = b
Энэ тохиолдолд x хувьсагч зөвхөн аргумент дотор, өөрөөр хэлбэл зөвхөн f (x) функцэд байх нь чухал юм. Мөн a, b тоонууд нь зүгээр л тоо бөгөөд ямар ч тохиолдолд x хувьсагчийг агуулсан функцүүд биш юм.
Шийдвэрлэх үндсэн аргууд
Ийм бүтцийг шийдэх олон арга бий. Жишээлбэл, сургуулийн ихэнх багш нар ийм аргыг санал болгодог: Томъёог ашиглан f (x) функцийг нэн даруй илэрхийл f ( x) = a b . Өөрөөр хэлбэл, та хамгийн энгийн бүтээн байгуулалттай тулгарвал нэмэлт үйлдэл, хийцгүйгээр шууд шийдэл рүү шилжиж болно.
Тийм ээ, мэдээжийн хэрэг, шийдвэр зөв байх болно. Гэсэн хэдий ч энэ томьёоны асуудал нь ихэнх оюутнуудад байдаг ойлгохгүй байна, энэ нь хаанаас гаралтай, яагаад бид а үсгийг б үсэг болгон өсгөдөг.
Үүний үр дүнд, жишээ нь, эдгээр үсгүүдийг солих үед би маш ядаргаатай алдааг олж хардаг. Энэ томьёог нэг бол ойлгох ёстой, эсвэл гацсан байх ёстой бөгөөд хоёр дахь арга нь шалгалт, шалгалт гэх мэт хамгийн тохиромжгүй, хамгийн чухал мөчүүдэд алдаа гаргахад хүргэдэг.
Тийм ч учраас би бүх оюутнууддаа сургуулийн стандарт томъёоноос татгалзаж, логарифм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд хоёр дахь аргыг ашиглахыг санал болгож байна. каноник хэлбэр.
Каноник хэлбэрийн санаа нь энгийн. Асуудлаа дахин харцгаая: зүүн талд бид log a байгаа бөгөөд a үсгээр бид тоо гэсэн үг бөгөөд ямар ч тохиолдолд x хувьсагчийг агуулсан функц байна. Тиймээс энэ үсэг нь логарифмын суурь дээр тавигдсан бүх хязгаарлалтад хамаарна. тухайлбал:
1 ≠ a > 0
Нөгөө талаас, ижил тэгшитгэлээс бид логарифм нь b тоотой тэнцүү байх ёстой бөгөөд энэ үсэгт ямар ч хязгаарлалт байхгүй, учир нь энэ нь эерэг ба сөрөг аль аль нь ямар ч утгыг авч болно. Энэ бүхэн f(x) функц ямар утгыг авахаас хамаарна.
Энд бид дурын b тоог a-ийн суурьтай b-ийн зэрэглэлийн логарифм хэлбэрээр илэрхийлж болно гэсэн гайхалтай дүрмийг санаж байна.
b = log a a b
Энэ томъёог хэрхэн санах вэ? Тийм ээ, маш энгийн. Дараах бүтцийг бичье.
b = b 1 = b log a a
Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд бидний эхэнд бичсэн бүх хязгаарлалтууд гарч ирдэг. Одоо логарифмын үндсэн шинж чанарыг ашиглаж, үржүүлэгч b-ийг a-ийн зэрэгтэй танилцуулъя. Бид авах:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Үүний үр дүнд анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичих болно.
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Тэгээд л болоо. Шинэ функц нь логарифм агуулахаа больсон бөгөөд стандарт алгебрийн аргуудыг ашиглан шийдэж болно.
Мэдээжийн хэрэг, хэн нэгэн одоо эсэргүүцэх болно: яагаад ямар нэгэн каноник томъёо гаргах шаардлагатай байсан, анхны загвараас эцсийн томъёо руу нэн даруй шилжих боломжтой байсан бол яагаад шаардлагагүй нэмэлт хоёр алхам хийх ёстой гэж? Тийм ээ, ихэнх оюутнууд энэ томъёог хаанаас ирснийг ойлгодоггүй бөгөөд үүний үр дүнд үүнийг хэрэглэхдээ байнга алдаа гаргадаг.
Гэхдээ гурван алхамаас бүрдэх энэхүү үйлдлийн дараалал нь эцсийн томъёо хаанаас ирснийг ойлгохгүй байсан ч анхны логарифмын тэгшитгэлийг шийдэх боломжийг танд олгоно. Дашрамд хэлэхэд энэ оруулгыг каноник томъёо гэж нэрлэдэг:
log a f (x) = log a a b
Каноник хэлбэрийн тав тухтай байдал нь өнөөдрийн бидний авч үзэж байгаа хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэлийг төдийгүй маш өргөн ангиллын логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болох явдал юм.
Шийдлийн жишээ
Одоо бодит жишээнүүдийг харцгаая. Тиймээс, шийдье:
log 0.5 (3x − 1) = −3
Үүнийг дараах байдлаар дахин бичье.
log 0.5 (3x − 1) = log 0.5 0.5 −3
Олон оюутнууд яарч, анхны асуудлаас бидэнд ирсэн хүч рүү 0.5 тоог нэн даруй өсгөхийг хичээдэг. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв та ийм асуудлыг шийдвэрлэхэд аль хэдийн сайн бэлтгэгдсэн бол энэ алхамыг нэн даруй хийж болно.
Гэсэн хэдий ч, хэрэв та энэ сэдвийг дөнгөж судалж эхэлж байгаа бол доромжилсон алдаа гаргахгүйн тулд хаашаа ч яарахгүй байх нь дээр. Тиймээс бид каноник хэлбэртэй байна. Бидэнд байгаа:
3x − 1 = 0.5 −3
Энэ нь логарифмын тэгшитгэл байхаа больсон, харин x хувьсагчийн хувьд шугаман байна. Үүнийг шийдэхийн тулд эхлээд 0.5-ыг −3-ын зэрэглэлээр авч үзье. 0.5 нь 1/2 гэдгийг анхаарна уу.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бүх аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон хөрвүүлнэ.
Бид дахин бичиж, авна:
3x − 1 = 8
3х = 9
x = 3
Ингээд л бид хариултаа авлаа. Эхний асуудал шийдэгдлээ.
Хоёр дахь даалгавар
Хоёр дахь даалгавар руугаа орцгооё:
Бидний харж байгаагаар энэ тэгшитгэл нь хамгийн энгийн байхаа больсон. Зөвхөн зүүн талд ялгаа байгаа учраас нэг суурьтай нэг логарифм байхгүй бол.
Тиймээс энэ ялгааг ямар нэгэн байдлаар арилгах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд бүх зүйл маш энгийн байдаг. Суурьуудыг нарийвчлан авч үзье: зүүн талд язгуурын доорх тоо байна:
Ерөнхий зөвлөмж: бүх логарифмын тэгшитгэлд радикалуудаас салахыг хичээ, өөрөөр хэлбэл язгууртай оруулгуудаас ангижруулж, хүчирхэг функцууд руу шилжихийг хичээ, учир нь эдгээр хүчнүүдийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс амархан гаргаж авдаг бөгөөд эцэст нь ийм байдаг. оруулга нь тооцооллыг ихээхэн хялбарчилж, хурдасгадаг. Үүнийг ингэж бичье.
Одоо логарифмын гайхалтай шинж чанарыг эргэн санацгаая: хүчийг аргументаас ч, үндэслэлээс ч гаргаж болно. Үндэслэл байгаа тохиолдолд дараахь зүйл тохиолддог.
log a k b = 1/k лога б
Өөрөөр хэлбэл, үндсэн хүчинд байсан тоог урагшлуулж, нэгэн зэрэг урвуу, өөрөөр хэлбэл энэ нь эсрэг тоо болж хувирдаг. Манай тохиолдолд суурь зэрэг нь 1/2 байсан. Тиймээс бид үүнийг 2/1 гэж гаргаж болно. Бид авах:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Анхаарна уу: ямар ч тохиолдолд та энэ алхамд логарифмаас салж болохгүй. 4-5-р ангийн математик, үйлдлүүдийн дарааллыг санаарай: эхлээд үржүүлэх, дараа нь нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Энэ тохиолдолд бид ижил элементүүдийн аль нэгийг 10 элементээс хасна.
9 бүртгэл 5 x = 18
log 5 x = 2
Одоо бидний тэгшитгэл байх ёстой шигээ харагдаж байна. Энэ бол хамгийн энгийн бүтэц бөгөөд бид үүнийг каноник хэлбэрийг ашиглан шийддэг.
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Тэгээд л болоо. Хоёр дахь асуудал шийдэгдсэн.
Гурав дахь жишээ
Гурав дахь даалгавар руугаа орцгооё:
бүртгэл (x + 3) = 3 + 2 бүртгэл 5
Дараах томъёог танд сануулъя.
log b = log 10 b
Хэрэв та ямар нэг шалтгааны улмаас тэмдэглэгээнд эргэлзэж байвал b , дараа нь бүх тооцоог хийхдээ log 10 b гэж бичиж болно. Та бусадтай адил аравтын бутархай логарифмтай ажиллах боломжтой: хүчийг авах, lg 10 хэлбэрээр дурын тоог нэмэх, төлөөлөх.
Энэ нь бидний хичээлийн эхэнд бичсэн хамгийн энгийн зүйл биш тул асуудлыг шийдэхийн тулд эдгээр шинж чанаруудыг ашиглах болно.
Нэгдүгээрт, lg 5-ын өмнөх 2-р хүчин зүйлийг нэмж, 5-р суурийн хүч болж болохыг анхаарна уу. Үүнээс гадна 3-р чөлөөт нэр томъёог логарифм хэлбэрээр илэрхийлж болно - үүнийг бидний тэмдэглэгээнээс харахад маш хялбар байдаг.
Өөрийгөө шүүнэ үү: дурын тоог 10 суурьтай лог хэлбэрээр илэрхийлж болно:
3 = бүртгэл 10 10 3 = бүртгэл 10 3
Хүлээн авсан өөрчлөлтүүдийг харгалзан анхны асуудлыг дахин бичье.
log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
бүртгэл (x - 3) = бүртгэл 25,000
Бидний өмнө дахин каноник хэлбэр байгаа бөгөөд бид үүнийг хувиргах үе шатыг даван туулахгүйгээр олж авсан, өөрөөр хэлбэл хамгийн энгийн логарифмын тэгшитгэл хаана ч гарч ирээгүй.
Хичээлийн эхэнд би яг энэ тухай ярьсан. Каноник хэлбэр нь ихэнх сургуулийн багш нарын өгсөн сургуулийн стандарт томъёоноос илүү өргөн хүрээний асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог.
За ингээд бид аравтын бутархай логарифмын тэмдгээс салж, энгийн шугаман бүтцийг олж авна.
x + 3 = 25,000
x = 24,997
Бүгд! Асуудал шийдэгдсэн.
Хамрах хүрээний талаархи тэмдэглэл
Энд би тодорхойлолтын хамрах хүрээний талаар чухал тэмдэглэл хийхийг хүсч байна. "Бид логарифм бүхий илэрхийллийг шийдэхдээ f (x) аргумент тэгээс их байх ёстой гэдгийг санах ёстой!" гэж хэлэх оюутнууд, багш нар байх нь гарцаагүй. Үүнтэй холбогдуулан логик асуулт гарч ирнэ: яагаад бид авч үзсэн асуудлын аль нэгэнд энэ тэгш бус байдлыг хангахыг шаардаагүй юм бэ?
Санаа зовох хэрэггүй. Эдгээр тохиолдолд нэмэлт үндэс гарч ирэхгүй. Мөн энэ нь шийдлийг хурдасгах боломжийг олгодог өөр нэг гайхалтай арга юм. Хэрэв асуудалд x хувьсагч зөвхөн нэг газарт (эсвэл нэг логарифмын нэг аргумент дээр) тохиолдож, харин манай тохиолдолд өөр хаана ч х хувьсагч гарч ирэхгүй бол тодорхойлолтын мужийг бичнэ үү. хэрэггүй, учир нь энэ нь автоматаар хийгдэх болно.
Өөрийгөө дүгнэ: эхний тэгшитгэлд бид 3x − 1, өөрөөр хэлбэл аргумент нь 8-тай тэнцүү байх ёстой. Энэ нь автоматаар 3x − 1 нь тэгээс их байх болно гэсэн үг юм.
Үүнтэй ижил амжилтаар бид хоёр дахь тохиолдолд x нь 5 2-тэй тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл энэ нь тэгээс их байх ёстой гэж бичиж болно. Гурав дахь тохиолдолд, x + 3 = 25,000, өөрөөр хэлбэл дахин тэгээс их байх нь ойлгомжтой. Өөрөөр хэлбэл, хамрах хүрээ автоматаар хангагдана, гэхдээ зөвхөн нэг л логарифмын аргументад x тохиолдвол л болно.
Энэ бол хамгийн энгийн асуудлыг шийдэхийн тулд мэдэх ёстой зүйл юм. Зөвхөн энэ дүрэм нь хувиргах дүрмийн хамт маш өргөн хүрээний асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг танд олгоно.
Гэхдээ шударга байцгаая: энэ техникийг эцэст нь ойлгохын тулд логарифмын тэгшитгэлийн каноник хэлбэрийг хэрхэн ашиглах талаар сурахын тулд зөвхөн нэг видео хичээл үзэх нь хангалтгүй юм. Тиймээс яг одоо энэ видео хичээлд хавсаргасан бие даасан шийдлүүдийн хувилбаруудыг татаж аваад эдгээр хоёр бие даасан ажлын дор хаяж нэгийг нь шийдэж эхлээрэй.
Энэ нь танд хэдхэн минут болно. Гэхдээ ийм сургалтын үр нөлөө нь энэ видео хичээлийг үзсэнээс хамаагүй өндөр байх болно.
Энэ хичээл нь логарифм тэгшитгэлийг ойлгоход тусална гэж найдаж байна. Каноник хэлбэрийг ашигла, логарифмтай ажиллах дүрмийг ашиглан илэрхийллийг хялбарчлаарай - тэгвэл та ямар ч бэрхшээлээс айхгүй байх болно. Энэ бол өнөөдрийн надад байгаа зүйл.
Тодорхойлолтын хүрээг харгалзан үзэх
Одоо логарифмын функцийн тодорхойлолтын муж, энэ нь логарифмын тэгшитгэлийн шийдэлд хэрхэн нөлөөлдөг талаар ярилцъя. Маягтын бүтцийг авч үзье
log a f(x) = b
Ийм илэрхийллийг хамгийн энгийн гэж нэрлэдэг - энэ нь зөвхөн нэг функцийг агуулдаг бөгөөд a ба b тоонууд нь зөвхөн тоо бөгөөд ямар ч тохиолдолд x хувьсагчаас хамаарах функц биш юм. Үүнийг маш энгийнээр шийдэж болно. Та зүгээр л томъёог ашиглах хэрэгтэй:
b = log a a b
Энэ томьёо нь логарифмын гол шинж чанаруудын нэг бөгөөд бидний анхны илэрхийлэлд орлуулах үед бид дараахь зүйлийг олж авна.
log a f (x) = log a a b
f (x) = a b
Энэ бол сургуулийн сурах бичгүүдээс сайн мэддэг томъёо юм. Олон оюутнууд асуулт асуух байх: анхны илэрхийлэлд f (x) функц нь лог тэмдгийн доор байгаа тул дараахь хязгаарлалтуудыг тавьсан болно.
f(x) > 0
Сөрөг тооны логарифм байхгүй тул энэ хязгаарлалт хамаарна. Тэгэхээр энэ хязгаарлалтын үр дүнд хариултын шалгалтыг нэвтрүүлэх шаардлагатай болов уу? Магадгүй тэдгээрийг эх сурвалжид оруулах шаардлагатай болов уу?
Үгүй, хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэлд нэмэлт шалгалт хийх шаардлагагүй. Тийм учраас л. Бидний эцсийн томъёог харна уу:
f (x) = a b
Үнэн хэрэгтээ a тоо нь ямар ч тохиолдолд 0-ээс их байдаг - энэ шаардлагыг логарифмоор бас тавьдаг. a тоо нь суурь юм. Энэ тохиолдолд b тоонд хязгаарлалт тавьдаггүй. Гэхдээ энэ нь хамаагүй, учир нь бид ямар ч хүчин чадалд эерэг тоог өсгөхөөс үл хамааран гаралт дээр эерэг тоог авах болно. Ийнхүү f (x) > 0 гэсэн шаардлага автоматаар хангагдана.
Жинхэнэ шалгах ёстой зүйл бол бүртгэлийн тэмдгийн доорх функцийн домэйн юм. Нилээд төвөгтэй бүтэцтэй байж болох бөгөөд шийдлийн явцад та тэдгээрийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Ингээд харцгаая.
Эхний даалгавар:
Эхний алхам: баруун талд байгаа бутархайг хөрвүүлнэ. Бид авах:
Бид логарифмын тэмдгээс салж, ердийн иррационал тэгшитгэлийг авна.
Хоёрдахь үндэс нь тэгээс бага тул олж авсан үндэсүүдээс зөвхөн эхнийх нь л тохирно. Ганц хариулт нь 9-ийн тоо байх болно. Ингээд л асуудал шийдэгдлээ. Логарифмын тэмдгийн доорх илэрхийлэл 0-ээс их байгаа эсэхийг шалгахын тулд нэмэлт шалгалт хийх шаардлагагүй, учир нь энэ нь зүгээр л 0-ээс их биш, харин тэгшитгэлийн нөхцөлийн дагуу 2-той тэнцүү байна. Иймээс шаардлага "тэгээс их байна" ” автоматаар хангагдсан байна.
Хоёр дахь даалгавар руугаа орцгооё:
Энд бүх зүйл адилхан. Бид гурвалсан хэсгийг сольж барилгын ажлыг дахин бичнэ.
Бид логарифмын тэмдгүүдээс салж, иррационал тэгшитгэлийг олж авна.
Бид хязгаарлалтыг харгалзан хоёр талыг квадрат болгож, дараахь зүйлийг авна.
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Бид үүссэн тэгшитгэлийг дискриминантаар шийддэг.
D = 49 − 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Гэхдээ x = −6 нь бидэнд тохирохгүй, учир нь бид энэ тоог тэгш бус байдалд орлуулах юм бол бид дараахь зүйлийг авна.
−6 + 4 = −2 < 0
Манай тохиолдолд 0-ээс их эсвэл онцгой тохиолдолд тэнцүү байх шаардлагатай. Гэхдээ x = −1 бидэнд тохирно:
−1 + 4 = 3 > 0
Манай тохиолдолд цорын ганц хариулт нь x = −1 байх болно. Энэ бол шийдэл. Тооцооллынхоо хамгийн эхэнд буцаж орцгооё.
Энэ хичээлээс авсан гол зүйл бол энгийн логарифм тэгшитгэл дэх функцийн хязгаарлалтыг шалгах шаардлагагүй юм. Учир нь шийдлийн явцад бүх хязгаарлалтууд автоматаар хангагдана.
Гэсэн хэдий ч энэ нь ямар ч тохиолдолд та шалгахаа бүрэн мартаж болно гэсэн үг биш юм. Логарифмын тэгшитгэл дээр ажиллах явцад энэ нь зөв талдаа өөрийн гэсэн хязгаарлалт, шаардлага бүхий иррационал тэгшитгэл болж хувирч магадгүй бөгөөд үүнийг бид өнөөдөр хоёр өөр жишээн дээр үзсэн.
Иймэрхүү асуудлыг чөлөөтэй шийдэж, хэрүүл маргаанд үндэс байгаа бол болгоомжтой байгаарай.
Өөр өөр суурьтай логарифм тэгшитгэл
Бид логарифмын тэгшитгэлийг үргэлжлүүлэн судалж, илүү төвөгтэй бүтцийг шийдвэрлэх моод болсон өөр хоёр сонирхолтой аргыг авч үзье. Гэхдээ эхлээд хамгийн энгийн асуудлууд хэрхэн шийдэгддэгийг санацгаая.
log a f(x) = b
Энэ оруулгад a, b нь тоонууд бөгөөд f (x) функцэд х хувьсагч байх ёстой бөгөөд зөвхөн тэнд, өөрөөр хэлбэл х зөвхөн аргумент дотор байх ёстой. Бид ийм логарифмын тэгшитгэлийг каноник хэлбэрийг ашиглан хувиргах болно. Үүнийг хийхийн тулд анхаарна уу
b = log a a b
Түүнээс гадна, a b нь аргумент юм. Энэ илэрхийллийг дараах байдлаар дахин бичье.
log a f (x) = log a a b
Энэ бол яг л бидний хүрэхийг хичээж байгаа зүйл бөгөөд ингэснээр зүүн, баруун аль алинд нь a үндэслэх логарифм байдаг. Энэ тохиолдолд бид дүрсээр хэлбэл бүртгэлийн тэмдгүүдийг таслаж, математикийн үүднээс бид аргументуудыг зүгээр л адилтгаж байна гэж хэлж болно.
f (x) = a b
Үүний үр дүнд бид шийдвэрлэхэд илүү хялбар шинэ илэрхийлэл авах болно. Өнөөдрийн тулгамдсан асуудалдаа энэ дүрмийг хэрэгжүүлцгээе.
Тиймээс, анхны загвар:
Юуны өмнө, баруун талд хуваагч нь лог гэсэн бутархай байгааг тэмдэглэж байна. Ийм илэрхийлэлийг хараад логарифмын гайхалтай шинж чанарыг санах нь зүйтэй.
Энэ нь орос хэл рүү хөрвүүлбэл дурын логарифмыг ямар ч суурьтай c-тай хоёр логарифмын категороор илэрхийлж болно гэсэн үг. Мэдээж 0< с ≠ 1.
Тэгэхээр: c хувьсагч хувьсагчтай тэнцүү байх үед энэ томьёо нь нэг гайхалтай онцгой тохиолдолтой б. Энэ тохиолдолд бид дараахь төрлийн барилга байгууламжийг авна.
Энэ бол бидний тэгшитгэлийн баруун талд байгаа тэмдгээс харахад яг ийм бүтээн байгуулалт юм. Энэ бүтцийг log a b -ээр орлуулъя, бид дараахь зүйлийг авна.
Өөрөөр хэлбэл, анхны даалгавартай харьцуулахад бид аргумент болон логарифмын суурийг сольсон. Үүний оронд бид бутархайг буцаах ёстой байсан.
Дараах дүрмийн дагуу ямар ч зэрэглэлийг сууриас гаргаж болно гэдгийг бид санаж байна.
Өөрөөр хэлбэл суурийн хүч болох k коэффициентийг урвуу бутархайгаар илэрхийлнэ. Үүнийг урвуу бутархай хэлбэрээр үзүүлье:
Бутархай хүчин зүйлийг урд нь үлдээж болохгүй, учир нь энэ тохиолдолд бид энэ тэмдэглэгээг каноник хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй болно (эцсийн эцэст каноник хэлбэрээр хоёр дахь логарифмын өмнө нэмэлт хүчин зүйл байхгүй). Тиймээс аргумент дээр 1/4 бутархайг хүч болгон нэмье.
Одоо бид үндэс нь ижил (мөн бидний суурь үнэхээр адилхан) аргументуудыг тэгшитгэж бичээд:
x + 5 = 1
x = −4
Тэгээд л болоо. Бид эхний логарифмын тэгшитгэлийн хариултыг авсан. Анхаарна уу: анхны асуудалд x хувьсагч зөвхөн нэг лог дээр гарч ирэх бөгөөд энэ нь түүний аргумент дээр гарч ирнэ. Тиймээс домэйныг шалгах шаардлагагүй бөгөөд бидний тоо x = −4 бол хариулт юм.
Одоо хоёр дахь илэрхийлэл рүү шилжье:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)
Энд бид ердийн логарифмуудаас гадна log f (x) -тэй ажиллах шаардлагатай болно. Ийм тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ? Бэлтгэлгүй оюутны хувьд энэ нь хэцүү ажил мэт санагдаж болох ч үнэн хэрэгтээ бүх зүйлийг энгийн аргаар шийдэж болно.
lg 2 log 2 гэсэн нэр томъёог сайтар ажигла 7. Энэ талаар бид юу хэлж чадах вэ? log болон lg-ийн үндэс ба аргументууд нь ижил бөгөөд энэ нь зарим санааг өгөх ёстой. Логарифмын тэмдгийн дор хүчийг хэрхэн гаргаж авдагийг дахин санацгаая.
log a b n = nlog a b
Өөрөөр хэлбэл, аргумент дахь b-ийн хүч нь логийн өмнө хүчин зүйл болдог. Энэ томьёог lg 2 log 2 7 илэрхийлэлд хэрэглэцгээе. lg 2-оос бүү ай - энэ бол хамгийн түгээмэл илэрхийлэл юм. Та үүнийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
Бусад логарифмд хамаарах бүх дүрэм үүнд хүчинтэй байна. Ялангуяа урд талын хүчин зүйлийг аргументийн зэрэгт нэмж болно. Үүнийг бичье:
Маш олон удаа оюутнууд энэ үйлдлийг шууд хардаггүй, учир нь нэг гуалиныг нөгөөгийн тэмдгийн дор оруулах нь тийм ч сайн биш юм. Үнэн хэрэгтээ энэ талаар гэмт хэргийн шинжтэй зүйл байхгүй. Түүнээс гадна, хэрэв та чухал дүрмийг санаж байвал тооцоолоход хялбар томъёог олж авна.
Энэ томъёог тодорхойлолт болон түүний шинж чанаруудын нэг гэж үзэж болно. Ямар ч тохиолдолд, хэрэв та логарифмын тэгшитгэлийг хөрвүүлж байгаа бол ямар ч тооны логийн дүрслэлийг мэддэг шигээ энэ томъёог мэдэж байх ёстой.
Даалгавар руугаа буцаж орцгооё. Тэнцүү тэмдгийн баруун талд байгаа эхний гишүүн нь lg 7-тэй тэнцүү байх болно гэдгийг харгалзан бид үүнийг дахин бичсэн. Бидэнд:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
lg 7-г зүүн тийш шилжүүлье, бид дараахь зүйлийг авна.
lg 56 − log 7 = −3lg (x + 4)
Зүүн талд байгаа илэрхийллүүд нь ижил суурьтай тул бид хасдаг.
lg (56/7) = −3lg (x + 4)
Одоо бид олж авсан тэгшитгэлээ нарийвчлан авч үзье. Энэ нь бараг каноник хэлбэр боловч баруун талд -3 гэсэн хүчин зүйл байдаг. Үүнийг зөв lg аргумент дээр нэмье:
log 8 = log (x + 4) −3
Бидний өмнө логарифмын тэгшитгэлийн каноник хэлбэр байгаа тул бид lg тэмдгүүдийг хасч, аргументуудыг тэгшитгэдэг.
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0.5
Тэгээд л болоо! Бид хоёр дахь логарифмын тэгшитгэлийг шийдсэн. Энэ тохиолдолд нэмэлт шалгалт хийх шаардлагагүй, учир нь анхны асуудалд x нь зөвхөн нэг аргументтай байсан.
Энэ хичээлийн гол санааг дахин жагсаацгаая.
Логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан энэ хуудсан дээрх бүх хичээлүүдэд заасан гол томъёо бол каноник хэлбэр юм. Сургуулийн ихэнх сурах бичиг танд ийм асуудлыг өөрөөр шийдэхийг заадаг тул бүү ай. Энэхүү хэрэгсэл нь маш үр дүнтэй ажилладаг бөгөөд бидний хичээлийн эхэнд судалж байсан хамгийн энгийн асуудлуудаас хамаагүй өргөн хүрээний асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг танд олгоно.
Нэмж дурдахад логарифмын тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд үндсэн шинж чанаруудыг мэдэх нь ашигтай байх болно. Тухайлбал:
- Нэг суурь руу шилжих томъёо ба бүртгэлийг буцаах онцгой тохиолдол (энэ нь эхний асуудалд бидэнд маш хэрэгтэй байсан);
- Логарифмын тэмдгээс хүчийг нэмэх, хасах томъёо. Энд олон оюутнууд гацаж, авч, танилцуулсан зэрэг нь өөрөө log f (x) агуулж болохыг олж хардаггүй. Үүнд буруу зүйл байхгүй. Бид нэг логийг нөгөөгийн тэмдгийн дагуу нэвтрүүлж, хоёр дахь тохиолдолд ажиглаж буй асуудлын шийдлийг ихээхэн хялбарчилж чадна.
Дүгнэж хэлэхэд, би эдгээр тохиолдлуудад тодорхойлолтын домэйныг шалгах шаардлагагүй гэдгийг нэмж хэлмээр байна, учир нь хаа сайгүй x хувьсагч нь логийн зөвхөн нэг тэмдэгт байдаг бөгөөд нэгэн зэрэг түүний аргумент дотор байдаг. Үүний үр дүнд хамрах хүрээний бүх шаардлагыг автоматаар биелүүлдэг.
Хувьсах суурьтай холбоотой асуудлууд
Өнөөдөр бид логарифмын тэгшитгэлийг авч үзэх болно, энэ нь олон оюутнуудын хувьд бүрэн шийдэгдэхгүй бол стандарт бус мэт санагддаг. Бид тоон дээр биш, хувьсагч, тэр ч байтугай функц дээр суурилсан илэрхийллийн тухай ярьж байна. Бид ийм бүтээн байгуулалтыг стандарт техник, тухайлбал каноник хэлбэрээр шийдэх болно.
Эхлээд энгийн тоон дээр тулгуурлан хамгийн энгийн асуудлыг хэрхэн шийддэгийг санацгаая. Тиймээс хамгийн энгийн бүтээн байгуулалт гэж нэрлэдэг
log a f(x) = b
Ийм асуудлыг шийдэхийн тулд бид дараахь томъёог ашиглаж болно.
b = log a a b
Бид анхны илэрхийлэлээ дахин бичиж аваад:
log a f (x) = log a a b
Дараа нь бид аргументуудыг тэнцүүлж, өөрөөр хэлбэл:
f (x) = a b
Тиймээс бид бүртгэлийн тэмдгийг арилгаж, ердийн асуудлыг шийддэг. Энэ тохиолдолд уусмалаас олж авсан үндэс нь анхны логарифмын тэгшитгэлийн үндэс болно. Нэмж дурдахад, баруун ба зүүн тал нь ижил суурьтай ижил логарифмд байгаа бичлэгийг яг каноник хэлбэр гэж нэрлэдэг. Ийм дээд амжилтыг бид өнөөдрийн загварыг багасгахыг хичээх болно. За, явцгаая.
Эхний даалгавар:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
1-ийг log x − 2 (x − 2) 1-ээр солино. Аргумент дээр бидний ажиглаж буй зэрэг нь тэнцүү тэмдгийн баруун талд байрлах b тоо юм. Ингээд илэрхийллээ дахин бичье. Бид авах:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Бид юу харж байна вэ? Бидний өмнө логарифмын тэгшитгэлийн каноник хэлбэр байгаа тул бид аргументуудыг аюулгүйгээр тэнцүүлж чадна. Бид авах:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Гэхдээ шийдэл үүгээр дуусахгүй, учир нь энэ тэгшитгэл нь анхныхтай тэнцүү биш юм. Эцсийн эцэст, үүссэн бүтээц нь бүхэл тоон мөрөнд тодорхойлогдсон функцүүдээс бүрддэг бөгөөд бидний анхны логарифмууд хаа сайгүй, үргэлж тодорхойлогддоггүй.
Тиймээс бид тодорхойлолтын домэйныг тусад нь бичих ёстой. Үсээ салгахгүй, эхлээд бүх шаардлагыг бичье.
Нэгдүгээрт, логарифм бүрийн аргумент 0-ээс их байх ёстой:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Хоёрдугаарт, суурь нь зөвхөн 0-ээс их байхаас гадна 1-ээс ялгаатай байх ёстой.
x − 2 ≠ 1
Үүний үр дүнд бид системийг олж авна:
Гэхдээ бүү ай: логарифмын тэгшитгэлийг боловсруулахдаа ийм системийг ихээхэн хялбарчилж болно.
Өөрийгөө шүүж үзээрэй: нэг талаас бид квадрат функц нь тэгээс их байх ёстой, нөгөө талаас энэ квадрат функц нь тодорхой шугаман илэрхийлэлтэй тэнцэх бөгөөд энэ нь тэгээс их байх шаардлагатай.
Энэ тохиолдолд бид x − 2 > 0 байхыг шаардах юм бол 2x 2 − 13x + 18 > 0 гэсэн шаардлага автоматаар хангагдах тул квадрат функцийг агуулсан тэгш бус байдлыг аюулгүйгээр таслаж болно. Тиймээс манай системд агуулагдах илэрхийллийн тоо гурав болж буурах болно.
Мэдээжийн хэрэг, бид шугаман тэгш бус байдлыг хялбархан гаталж болно, өөрөөр хэлбэл x − 2 > 0-ийг гаталж, 2x 2 − 13x + 18 > 0 байхыг шаардаж болно. Гэхдээ хамгийн энгийн шугаман тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь илүү хурдан бөгөөд илүү хурдан гэдгийг та хүлээн зөвшөөрөх ёстой. Энэ бүхэл бүтэн системийг шийдсэний үр дүнд бид ижил үндэстэй болсон нөхцөлд ч квадратаас илүү энгийн.
Ерөнхийдөө аль болох оновчтой тооцоо хийхийг хичээ. Логарифмын тэгшитгэлийн хувьд хамгийн хэцүү тэгш бус байдлыг хас.
Системээ дахин бичье:
Энд гурван илэрхийллийн систем байгаа бөгөөд тэдгээрийн хоёрыг нь бид аль хэдийн авч үзсэн. Квадрат тэгшитгэлийг тусад нь бичээд шийдье.
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Бидний өмнө жижигрүүлсэн квадрат гурвалж байгаа тул Виетийн томъёог ашиглаж болно. Бид авах:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Одоо бид систем рүүгээ буцаж очоод x = 2 нь бидэнд тохирохгүй байгааг олж мэдье, учир нь бид x нь 2-оос их байхыг шаарддаг.
Гэхдээ x = 5 нь бидэнд төгс тохирно: 5 тоо нь 2-оос их, үүнтэй зэрэгцэн 5 нь 3-тай тэнцэхгүй. Тиймээс энэ системийн цорын ганц шийдэл нь x = 5 байх болно.
Энэ бол ODZ-ийг харгалзан үзэхэд асуудал шийдэгдсэн. Хоёр дахь тэгшитгэл рүү шилжье. Илүү сонирхолтой, мэдээлэл сайтай тооцооллыг энд хүлээж байна:
Эхний алхам: сүүлчийн удаа шиг бид энэ асуудлыг бүхэлд нь каноник хэлбэрт оруулдаг. Үүнийг хийхийн тулд бид 9-ийн тоог дараах байдлаар бичиж болно.
Та үндсээр нь суурьт хүрэх шаардлагагүй, гэхдээ аргументыг өөрчлөх нь дээр. Рационал илтгэгчтэй язгуураас хүч рүү шилжье. Ингээд бичье:
Би бүхэл бүтэн том логарифмын тэгшитгэлээ дахин бичихгүй, харин аргументуудыг шууд адилтгая.
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Бидний өмнө шинээр бууруулсан квадрат гурвалж байгаа тул Виетийн томьёог ашиглаад бичье.
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Тиймээс бид үндсийг авсан боловч анхны логарифмын тэгшитгэлд тохирно гэдэгт хэн ч баталгаа өгөөгүй. Эцсийн эцэст, бүртгэлийн тэмдгүүд нь нэмэлт хязгаарлалт тавьдаг (энд бид системийг бичих ёстой байсан, гэхдээ бүхэл бүтэн бүтцийн төвөгтэй байдлаас шалтгаалан би тодорхойлолтын домэйныг тусад нь тооцоолохоор шийдсэн).
Юуны өмнө аргументууд 0-ээс их байх ёстой гэдгийг санаарай, тухайлбал:
Эдгээр нь тодорхойлолтын хүрээнд тавигдах шаардлага юм.
Системийн эхний хоёр илэрхийллийг бие биетэйгээ адилтгаж байгаа тул тэдгээрийн аль нэгийг нь хасаж болно гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе. Эхнийхийг нь хасъя, учир нь энэ нь хоёр дахь нь илүү заналхийлж байна.
Нэмж дурдахад, хоёр ба гурав дахь тэгш бус байдлын шийдэл нь ижил олонлог байх болно гэдгийг анхаарна уу (зарим тооны шоо тэгээс их, хэрэв энэ тоо өөрөө тэгээс их бол; үүнтэй адил гуравдугаар зэргийн язгууртай - эдгээр тэгш бус байдал). бүрэн аналоги тул бид үүнийг хасаж болно).
Гэхдээ гурав дахь тэгш бус байдлын хувьд энэ нь ажиллахгүй болно. Хоёр хэсгийг шоо болгон өсгөх замаар зүүн талд байгаа радикал шинж тэмдгийг арилгацгаая. Бид авах:
Тиймээс бид дараах шаардлагыг хүлээн авна.
− 2 ≠ x > −3
Манай язгууруудын аль нь: x 1 = −3 эсвэл x 2 = −1 эдгээр шаардлагыг хангаж байна вэ? Мэдээжийн хэрэг, зөвхөн x = −1, учир нь x = −3 нь эхний тэгш бус байдлыг хангахгүй (бидний тэгш бус байдал хатуу учраас). Тиймээс, бидний асуудал руу буцаж ирэхэд бид нэг язгуурыг олж авна: x = −1. Ингээд л асуудал шийдэгдлээ.
Дахин нэг удаа энэ ажлын гол санаанууд:
- Каноник хэлбэрийг ашиглан логарифм тэгшитгэлийг чөлөөтэй хэрэглэж, шийдээрэй. Анхны бодлогоос log a f (x) = b гэх мэт бүтэц рүү шууд шилжихийн оронд ийм тэмдэглэгээ хийдэг оюутнууд хаа нэгтээ яаран, тооцооллын завсрын үе шатыг алгасаж байгаа хүмүүсээс хамаагүй бага алдаа гаргадаг;
- Логарифмд хувьсах суурь гарч ирмэгц асуудал хамгийн энгийн байхаа болино. Тиймээс үүнийг шийдвэрлэхдээ тодорхойлолтын домэйныг харгалзан үзэх шаардлагатай: аргументууд нь тэгээс их байх ёстой бөгөөд суурь нь зөвхөн 0-ээс их байх ёстой, гэхдээ тэдгээр нь 1-тэй тэнцүү байх ёсгүй.
Эцсийн шаардлагыг эцсийн хариултуудад янз бүрийн аргаар хэрэглэж болно. Жишээлбэл, та тодорхойлолтын домэйны бүх шаардлагыг агуулсан системийг бүхэлд нь шийдэж чадна. Нөгөөтэйгүүр, та эхлээд асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь тодорхойлолтын хүрээг санаж, систем хэлбэрээр тусад нь боловсруулж, олж авсан үндэст нь хэрэглэж болно.
Тодорхой логарифм тэгшитгэлийг шийдэхдээ аль аргыг сонгох нь та өөрөө шийднэ. Ямар ч тохиолдолд хариулт нь адилхан байх болно.
Ачааж байна...
