Энэ бүлэг нь параллель шугамыг судлахад зориулагдсан болно. Энэ бол огтлолцдоггүй хавтгайн хоёр шулууныг ингэж нэрлэсэн байна. Бид хүрээлэн буй орчинд параллель шугамын сегментүүдийг хардаг - эдгээр нь тэгш өнцөгт хүснэгтийн хоёр ирмэг, номын хавтасны хоёр ирмэг, хоёр троллейбус баар гэх мэт. Зэрэгцээ шугамууд нь геометрийн хувьд маш чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Энэ бүлэгт та геометрийн аксиом гэж юу болох, параллель шугамын аксиом гэж юу болох талаар мэдэх болно - геометрийн хамгийн алдартай аксиомуудын нэг.
1-р зүйлд бид хоёр шугам нь нэг нийтлэг цэгтэй, өөрөөр хэлбэл огтлолцдог, эсвэл нэг нийтлэг цэггүй, өөрөөр хэлбэл огтлолцдоггүй гэдгийг бид тэмдэглэсэн.
Тодорхойлолт
a ба b шугамын параллелизмыг дараах байдлаар тэмдэглэв: a || б.
Зураг 98-д c шулуунтай перпендикуляр a ба b шулуунуудыг үзүүлэв. 12-р зүйлд бид ийм a ба b шугамууд огтлолцохгүй, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь зэрэгцээ байна гэдгийг тогтоосон.
Цагаан будаа. 98
Зэрэгцээ шугамын зэрэгцээ зэрэгцээ сегментүүдийг ихэвчлэн авч үздэг. Хоёр сегментийг нэрлэдэг Зэрэгцээ, хэрэв тэдгээр нь зэрэгцээ шугамууд дээр хэвтэж байвал. Зураг 99-д AB ба CD хэрчмүүд параллель (AB || CD), харин MN ба CD хэрчмүүд параллель биш байна. Сегмент ба шулуун шугамын параллелизм (Зураг 99, б), туяа ба шулуун шугам, сегмент ба туяа, хоёр цацраг (Зураг 99, в) ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог.
Цагаан будаа. 99Хоёр шугамын параллелизмын шинж тэмдэг
-тэй шулуун шугамыг нэрлэдэг секант a ба b шулуун шугамуудтай холбоотой, хэрэв энэ нь тэдгээрийг хоёр цэгээр огтолж байвал (Зураг 100). a ба b шулуунууд хөндлөн в-тэй огтлолцох үед 8 өнцөг үүсэх бөгөөд үүнийг 100-р зурагт тоогоор тэмдэглэв. Эдгээр өнцгийн зарим хосууд тусгай нэртэй байдаг:
хөндлөн өнцөг: 3 ба 5, 4 ба 6;
нэг талын өнцөг: 4 ба 5, 3 ба 6;
харгалзах өнцөг: 1 ба 5, 4 ба 8, 2 ба 6, 3 ба 7.
Цагаан будаа. 100
Эдгээр хос өнцгүүдтэй холбоотой хоёр шулуун шугамын параллелизмын гурван шинж тэмдгийг авч үзье.
Теорем
Баталгаа
AB өнцгүүдийг хөндлөн огтлолцох a ба b шулуунууд тэнцүү байна: ∠1 = ∠2 (Зураг 101, a).
нь || гэдгийг баталцгаая б. Хэрэв 1 ба 2 өнцгүүд зөв байвал (Зураг 101, b), a ба b шулуунууд нь AB шулуунтай перпендикуляр, тиймээс параллель байна.
Цагаан будаа. 101
1 ба 2-р өнцөг зөв биш байх тохиолдлыг авч үзье.
AB сегментийн О дундаас a шулуун шугам руу перпендикуляр OH зурна (Зураг 101, в). В цэгээс шулуун шулуун b дээр бид AH хэрчимтэй тэнцүү ВН 1 хэрчмийг Зураг 101, в-д үзүүлсэн шиг буулгаж, OH 1 хэрчмийг зурна. OHA ба OH 1 B гурвалжин нь хоёр талдаа тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн хоорондох өнцөг (AO = VO, AN = BH 1, ∠1 = ∠2), тиймээс ∠3 = ∠4 ба ∠5 = ∠6. ∠3 = ∠4 тэгшитгэлээс H 1 цэг нь OH туяаны үргэлжлэл дээр оршдог, өөрөөр хэлбэл H, O, H 1 цэгүүд нэг шулуун дээр байрладаг ба ∠5 = ∠6 тэгшитгэлээс дараахь зүйлийг гаргана. өнцөг 6 нь шулуун шугам (5 өнцөг нь зөв өнцөг учраас). Тиймээс, a ба b шугамууд нь HH 1 шулуунтай перпендикуляр тул параллель байна. Теорем нь батлагдсан.
Теорем
Баталгаа
a ба b шулуунууд хөндлөн c-тэй огтлолцох үед харгалзах өнцгүүдийг тэнцүү болго, жишээлбэл ∠1 =∠2 (Зураг 102).
Цагаан будаа. 102
2 ба 3 өнцөг босоо байрлалтай тул ∠2 = ∠3 болно. Эдгээр хоёр тэгшитгэлээс ∠1 = ∠3 байна. Харин 1 ба 3-р өнцөг нь хөндлөн тул a ба b шулуунууд параллель байна. Теорем нь батлагдсан.
Теорем
Баталгаа
a ба b шулуун шугамуудын хөндлөн c-тэй огтлолцол нь нэг талт өнцгүүдийг нийлбэрээр 180°-тай тэнцүү байна, жишээ нь ∠1 + ∠4 = 180° (102-р зургийг үз).
3 ба 4 өнцөг нь зэргэлдээ байгаа тул ∠3 + ∠4 = 180° болно. Эдгээр хоёр тэгшитгэлээс харахад хөндлөн өнцөг 1 ба 3 нь тэнцүү тул a ба b шулуунууд параллель байна. Теорем нь батлагдсан.
Зэрэгцээ шугам барих практик арга замууд
Зэрэгцээ шугамын шинж тэмдгүүд нь практикт хэрэглэгддэг янз бүрийн хэрэгслийг ашиглан зэрэгцээ шугам барих аргуудын үндэс юм. Жишээлбэл, дөрвөлжин ба захирагч ашиглан зэрэгцээ шугам барих аргыг авч үзье. М цэгийг дайрч, өгөгдсөн а шулуунтай параллель шулуун шугам барихын тулд 103-р зурагт үзүүлсэн шиг тэгш өнцөгт зураасыг a шулуунд зурж, түүн дээр 103-р зурагт заасны дагуу захирагч хэрэглэнэ. Дараа нь квадратыг захирагчийн дагуу хөдөлгөж, бид үүнийг баталгаажуулна. M цэг нь дөрвөлжингийн хажуу талд байх ба шулуун б. Зураг 103-д α ба β үсгээр тэмдэглэсэн харгалзах өнцөг нь тэнцүү тул a ба b шулуун шугамууд зэрэгцээ байна.
Цагаан будаа. 103Зураг 104-т хөндлөвч ашиглан зэрэгцээ шугам барих аргыг үзүүлэв. Энэ аргыг зургийн практикт ашигладаг.
Цагаан будаа. 104Үүнтэй төстэй аргыг мужааны ажлыг гүйцэтгэхэд ашигладаг бөгөөд параллель шугамыг тэмдэглэхэд блок (нугасаар бэхлэгдсэн хоёр модон банз, 105-р зураг) ашигладаг.
Цагаан будаа. 105
Даалгаврууд
186. 106-р зурагт a ба b шугамыг c шулуунаар огтолж байна. гэдгийг нотлох || b, хэрэв:
a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
б) ∠1 = ∠6;
в) ∠l = 45°, 7-р өнцөг нь 3-р өнцгөөс 3 дахин их байна.
Цагаан будаа. 106
187. Зураг 107-ын өгөгдлүүд дээр үндэслэн AB || болохыг нотол Д.Э.
Цагаан будаа. 107
188. AB ба CD сегментүүд нийтлэг дунд цэгээрээ огтлолцоно. AC ба BD шулуунууд параллель гэдгийг батал.
189. Зураг 108-ын өгөгдлүүдийг ашиглан МЭӨ || гэдгийг батал А.Д.
Цагаан будаа. 108
190. 109-р зурагт AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. DE || гэдгийг нотлох АС.
Цагаан будаа. 109
191. BK сегмент нь ABC гурвалжны биссектриса юм. В цэгийг M цэгээр огтолж BM = MK байхаар К цэгээр шулуун шугам татсан. KM ба AB шулуунууд параллель гэдгийг батал.
192. ABC гурвалжинд А өнцөг 40°, ACB өнцөгтэй зэргэлдээх БҮХ өнцөг 80° байна. ALL өнцгийн биссектриса AB шулуунтай параллель гэдгийг батал.
193. ABC гурвалжинд ∠A = 40°, ∠B = 70° байна. В оройгоор BD шулуун шугамыг татсан бөгөөд BC туяа нь ABD өнцгийн биссектриса болно. AC ба BD шулуунууд параллель гэдгийг батал.
194. Гурвалжин зур. Энэ гурвалжны орой бүрээр дөрвөлжин ба захирагч ашиглан эсрэг талтай параллель шулуун шугамыг зур.
195. ABC гурвалжинг зурж, АС тал дээр D цэгийг тэмдэглэ. D цэгээр дамжуулан дөрвөлжин ба захирагч ашиглан гурвалжны нөгөө хоёр талтай параллель шулуун шугамыг зур.
ABТэгээд ХАМТДГурав дахь шулуун шугамаар гаталсан М.Н, дараа нь энэ тохиолдолд үүссэн өнцгүүд дараах нэрийг хосоор нь авна.харгалзах өнцөг: 1 ба 5, 4 ба 8, 2 ба 6, 3 ба 7;
дотоод хөндлөн өнцөг: 3 ба 5, 4 ба 6;
хөндлөн огтлолын хөндлөн өнцөг: 1 ба 7, 2 ба 8;
дотоод нэг талын булангууд: 3 ба 6, 4 ба 5;
гадна талын нэг талын булангууд: 1 ба 8, 2 ба 7.
Тэгэхээр ∠ 2 = ∠ 4 ба ∠ 8 = ∠ 6, харин батлагдсан зүйлээс харахад ∠ 4 = ∠ 6 байна.
Тиймээс ∠ 2 =∠ 8.
3. Харгалзах өнцөг∠ 2 = ∠ 4, ∠ 4 = ∠ 6 тул 2 ба 6 нь ижил байна. Бусад харгалзах өнцгүүд тэнцүү эсэхийг шалгацгаая.
4. нийлбэр дотоод нэг талын булангууднийлбэр учраас 3 ба 6 нь 2d байх болно зэргэлдээ булангууд 3 ба 4 нь 2d = 180 0-тэй тэнцүү бөгөөд ∠ 4-ийг ижил ∠ 6-аар сольж болно. Мөн бид өнцгийн нийлбэр 4 ба 5 нь 2d-тэй тэнцүү.
5. нийлбэр гадна талын нэг талын булангуудЭдгээр өнцөг нь тус тус тэнцүү тул 2d байх болно дотоод нэг талын булангуудбулан шиг босоо.
Дээрх батлагдсан үндэслэлээс бид олж авлаа эсрэг теоремууд.
Дурын гурав дахь шугамтай хоёр шугамын огтлолцол дээр бид дараахь зүйлийг олж авна.
1. Дотоод хөндлөн өнцөг нь ижил байна;
эсвэл 2.Гаднах хөндлөн өнцөг нь ижил байна;
эсвэл 3.Харгалзах өнцөг нь тэнцүү байна;
эсвэл 4.Дотоод нэг талт өнцгийн нийлбэр нь 2d = 180 0;
эсвэл 5.Гаднах нэг талтуудын нийлбэр нь 2d = 180 0 байна ,
дараа нь эхний хоёр мөр зэрэгцээ байна.
Хоёр шугамын параллелизмын шинж тэмдэг
Теорем 1. Хэрэв хоёр шулуун таслагчтай огтлолцох үед:
хөндлөн өнцөг нь тэнцүү, эсвэл
харгалзах өнцөг нь тэнцүү, эсвэл
нэг талт өнцгийн нийлбэр нь 180°, тэгвэл
шугамууд зэрэгцээ байна(Зураг 1).
Баталгаа. Бид 1-р тохиолдлыг нотлохоор хязгаарладаг.
Огтлолцож буй a ба b шулуунуудыг хөндлөн, AB өнцгүүдийг тэнцүү болго. Жишээлбэл, ∠ 4 = ∠ 6. || гэдгийг баталъя б.
a ба b шулуунууд параллель биш гэж бодъё. Дараа нь тэд M цэг дээр огтлолцдог тул 4 эсвэл 6 өнцгийн аль нэг нь ABM гурвалжны гадаад өнцөг болно. Тодорхой байхын тулд ABM гурвалжны гадаад өнцгийг ∠ 4, дотоод өнцгийг ∠ 6 гэж үзье. Гурвалжны гадаад өнцгийн тухай теоремоос ∠ 4 нь ∠ 6-аас их байх ба энэ нь нөхцөлтэй зөрчилдөж байгаа нь а ба 6 шулуун огтлолцох боломжгүй тул параллель байна гэсэн үг.
Дүгнэлт 1. Нэг шулуунд перпендикуляр хавтгайд байгаа хоёр өөр шулуун параллель байна(Зураг 2).
Сэтгэгдэл. Бидний дөнгөж сая теорем 1-ийн 1-р тохиолдлыг нотолсон аргыг зөрчилдөөн эсвэл утгагүй байдалд буулгах замаар нотлох арга гэж нэрлэдэг. Аргументийн эхэнд нотлох шаардлагатай зүйлээс эсрэг (эсрэг) таамаглал дэвшүүлсэн тул энэ арга анхны нэрийг авсан. Таамаглалд тулгуурлан бид утгагүй дүгнэлтэд (абсурд руу) хүрдэг тул үүнийг утгагүй байдалд хүргэх гэж нэрлэдэг. Ийм дүгнэлтийг хүлээн авснаар бид эхэнд тавьсан таамаглалыг үгүйсгэж, нотлох шаардлагатай байсан таамаглалыг хүлээн зөвшөөрөхөд хүргэдэг.
Даалгавар 1.Өгөгдсөн M цэгийг дайран өнгөрч, өгөгдсөн а шулуунтай параллель М цэгийг дайраагүй шулууныг байгуул.
Шийдэл. Шулуун шугаманд перпендикуляр M цэгээр бид p шулуун шугамыг зурна (Зураг 3).
Дараа нь бид p шулуунтай перпендикуляр М цэгээр b шулууныг зурна. 1-р теоремын үр дүнд b шугам нь а шулуунтай параллель байна.
Хэлэлцэж буй асуудлаас дараах чухал дүгнэлт гарч байна.
өгөгдсөн шулуун дээр хэвтээгүй цэгээр дамжуулан өгөгдсөн шулуунтай параллель шугам татах боломжтой.
Зэрэгцээ шугамын үндсэн шинж чанар нь дараах байдалтай байна.
Зэрэгцээ шугамын аксиом. Өгөгдсөн шулуун дээр оршдоггүй өгөгдсөн цэгээр зөвхөн өгөгдсөнтэй параллель нэг шулуун дамждаг.
Энэ аксиомоос үүдэлтэй параллель шугамын зарим шинж чанарыг авч үзье.
1) Хэрэв шугам нь хоёр зэрэгцээ шугамын аль нэгийг нь огтолж байвал нөгөөг нь мөн огтолно (Зураг 4).
2) Хэрэв хоёр өөр шугам гурав дахь шугамтай зэрэгцээ байвал тэдгээр нь зэрэгцээ байна (Зураг 5).
Дараах теорем бас үнэн.
Теорем 2. Хоёр зэрэгцээ шулуун хөндлөн огтлолцвол:
хөндлөн өнцөг нь тэнцүү байна;
харгалзах өнцөг нь тэнцүү;
нэг талт өнцгийн нийлбэр нь 180° байна.
Дүгнэлт 2. Хэрэв шугам нь хоёр зэрэгцээ шугамын аль нэгэнд перпендикуляр байвал нөгөөд нь мөн перпендикуляр байна(2-р зургийг үз).
Сэтгэгдэл. Теорем 2-ыг теорем 1-ийн урвуу гэж нэрлэдэг. 1-р теоремын дүгнэлт нь теорем 2-ын нөхцөл мөн 1-р теоремын нөхцөл нь теорем 2-ын дүгнэлт юм. Теорем бүр урвуутай байдаггүй, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн теорем нь үнэн бол урвуу теорем худал байж болно.
Үүнийг босоо өнцгийн тухай теоремын жишээн дээр тайлбарлая. Энэ теоремыг дараах байдлаар томъёолж болно: хэрэв хоёр өнцөг босоо байвал тэдгээр нь тэнцүү байна. Эсрэг теорем нь: хэрэв хоёр өнцөг тэнцүү бол тэдгээр нь босоо байна. Мөн энэ нь мэдээжийн хэрэг үнэн биш юм. Хоёр тэнцүү өнцөг нь босоо байх албагүй.
Жишээ 1.Хоёр зэрэгцээ шугамыг гуравны нэгээр гатлав. Хоёр дотоод нэг талт өнцгийн ялгаа нь 30 ° гэдгийг мэддэг. Эдгээр өнцгүүдийг ол.
Шийдэл. Зураг 6-г нөхцөлийг хангана.
Хэрэв нэг өнцгийн талууд нь нөгөөгийн талуудын үргэлжлэл бол хоёр өнцгийг босоо гэж нэрлэдэг.
Зураг дээрх булангууд 1 Тэгээд 3 , түүнчлэн өнцөг 2 Тэгээд 4 - босоо. Булан 2 хоёр булангийн хажууд байрладаг 1 , мөн өнцгөөр 3. Зэргэлдээх өнцгүүдийн шинж чанараар 1 +2 =180 0 ба 3 +2 =180 0 . Эндээс бид дараахь зүйлийг авна. 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Тиймээс өнцгийн хэмжүүрүүд 1 Тэгээд 3 тэнцүү байна. Эндээс харахад өнцөг нь өөрөө тэнцүү байна. Тиймээс босоо өнцөг нь тэнцүү байна.
2. Гурвалжингийн тэгш байдлын шинж тэмдэг.
Хэрэв нэг гурвалжны хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь өөр гурвалжны хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөгтэй тэнцүү бол ийм гурвалжнууд хоорондоо тохирч байна.
Хэрэв нэг гурвалжны хажуу ба хоёр зэргэлдээ өнцөг нь өөр гурвалжны хажуу ба хоёр зэргэлдээ өнцөгтэй тэнцүү байвал ийм гурвалжнууд хоорондоо тохирно.
3. Нэг гурвалжны гурван тал нь нөгөө гурвалжны гурван талтай тус тус тэнцүү бол ийм гурвалжнууд нь тэнцүү байна.
Гурвалжны тэгш байдлын 1 тэмдэг:
AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, A ба A 1 өнцөг нь тэнцүү байх ABC ба A 1 B 1 C 1 гурвалжнуудыг авч үзье. ABC=A 1 B 1 C 1 гэдгийг баталцгаая.
(y)A = (y)A 1 тул ABC гурвалжинг A 1 B 1 C 1 гурвалжин дээр давхарлаж болох тул А оройг A1 оройтой, AB ба AC талуудыг A 1 B 1 туяан дээр тус тус байрлуулж болно. ба A 1 C 1. AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 тул AB тал нь A 1 B 1 талтай, AC тал нь A 1 C 1 талтай нийлнэ; ялангуяа В ба В 1, С ба С 1 цэгүүд давхцах болно. Үүний үр дүнд BC ба B 1 C 1 талууд тэгшлэнэ. Тиймээс ABC ба A 1 B 1 C 1 гурвалжин нь бүрэн нийцдэг бөгөөд энэ нь тэд тэнцүү гэсэн үг юм. CTD
3. Адил өнцөгт гурвалжны биссектрисын теорем.
Тэгш өнцөгт гурвалжинд суурь руу татсан биссектриса нь дундаж ба өндөр юм.
ABC нь BC суурьтай ижил өнцөгт гурвалжин, AD нь түүний биссектриса байх дүрс рүү шилжье.
ABD ба ACD гурвалжнуудын тэгшитгэлээс (гурвалжны тэгш байдлын 2-р тэмдгийн дагуу: AD - нийтлэг; AD биссектрис учраас 1 ба 2-р өнцөг нь тэнцүү; гурвалжин нь ижил өнцөгт тул AB = AC) ВD = гэж гарна. DC ба 3 = 4. BD = DC тэгш байдал нь D цэг нь ВС талын дунд цэг тул AD нь ABC гурвалжны медиан гэсэн үг юм. 3 ба 4 өнцгүүд нь зэргэлдээ бөгөөд хоорондоо тэнцүү тул тэдгээр нь зөв өнцөг юм. Тиймээс AO сегмент нь мөн ABC гурвалжны өндөр юм. CTD.
4. Хэрэв шугамууд параллель байвал -> өнцөг…. (заавал биш)
5. Хэрэв өнцөг…..-> шугамууд зэрэгцээ байвал (заавал биш)
Хэрэв хоёр шулуун хөндлөн огтлолцох үед харгалзах өнцөг нь тэнцүү бол шугамууд параллель байна.
a ба b шулуунууд хөндлөн c-тэй огтлолцох үед харгалзах өнцгүүдийг тэнцүү болго, жишээ нь 1=2.
2 ба 3 өнцөг нь босоо тул 2=3 болно. Энэ хоёр тэгшитгэлээс 1=3 байна. Харин 1 ба 3 өнцгүүд эсрэгээрээ тул a ба b шулуун шугамууд параллель байна. CTD.
6. Гурвалжны өнцгийн нийлбэрийн тухай теорем.
Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 0 байна.
Дурын ABC гурвалжинг авч үзээд A+B+C=180 0 гэдгийг баталъя.
АС талтай параллель В оройг дамжуулан шулуун шугам татъя. 1 ба 4 өнцгүүд нь а ба АС параллель шулуунуудын AB зүсэлтээр огтлолцсон хэсгийн хөндлөн өнцөг, 3 ба 5 өнцөг нь ижил параллель шулуунуудын BC зүсэлтээр огтлолцсон хөндлөн өнцөг юм. Иймд (1)4=1; 5=3.
Мэдээжийн хэрэг, 4, 2, 5 өнцгийн нийлбэр нь В оройтой шулуун өнцөгтэй тэнцүү байна, i.e. 4+2+5=180 0 . Эндээс (1) тэгшитгэлийг харгалзан үзвэл: 1+2+3=180 0 эсвэл A+B+C=180 0 .CHT.
7. Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын тэмдэг.
1. Зэрэгцээ байдлын анхны шинж тэмдэг.
Хэрэв хоёр шулуун шугам гуравны нэгтэй огтлолцох үед хөндлөн байрлах дотоод өнцгүүд тэнцүү байвал эдгээр шугамууд параллель байна.
AB ба CD шулуунуудыг EF ба ∠1 = ∠2 шугамаар огтолцгооё. O цэгийг авч үзье - secant EF-ийн KL сегментийн дунд (Зураг).
О цэгээс OM перпендикулярыг AB шулуун дээр буулгаж, CD, AB ⊥ MN шулуунтай огтлолцох хүртэл үргэлжлүүлье. CD ⊥ MN гэдгийг баталцгаая.
Үүнийг хийхийн тулд MOE болон NOK гэсэн хоёр гурвалжинг авч үзье. Эдгээр гурвалжин нь хоорондоо тэнцүү байна. Үнэн хэрэгтээ: теоремын дагуу ∠1 = ∠2; ОК = ОЛ - хийцээр;
∠MOL = ∠NOK, босоо өнцөг шиг. Тиймээс нэг гурвалжны хажуу ба хоёр зэргэлдээ өнцөг нь өөр гурвалжны хажуу ба хоёр зэргэлдээ өнцөгтэй тэнцүү байна; тиймээс ΔMOL = ΔNOK, улмаар ∠LMO = ∠KNO,
гэхдээ ∠LMO нь шулуун, энэ нь ∠KNO нь шулуун гэсэн үг юм. Тиймээс AB ба CD шугамууд нь ижил MN шулуунтай перпендикуляр тул параллель байгаа нь нотлох шаардлагатай байсан юм.
Анхаарна уу. MOL гурвалжинг О цэгийг тойрон 180° эргүүлснээр MO ба CD шулуун шугамуудын огтлолцлыг тогтоож болно.
2. Зэрэгцээ байдлын хоёр дахь шинж тэмдэг.
Гурав дахь EF шулуун шугамыг огтлох үед харгалзах өнцөг нь тэнцүү байвал AB ба CD шулуун шугамууд параллель эсэхийг харцгаая.
Зарим харгалзах өнцгүүдийг тэнцүү болго, жишээлбэл ∠ 3 = ∠2 (Зураг);
∠3 = ∠1, босоо өнцгөөр; энэ нь ∠2 нь ∠1-тэй тэнцүү болно гэсэн үг юм. Гэхдээ 2 ба 1-р өнцөг нь дотоод өнцгүүдийг огтолж байгаа бөгөөд хэрэв хоёр шулуун шугам гурав дахь нь огтлолцох үед огтлолцох дотоод өнцөг нь тэнцүү бол эдгээр шугамууд параллель байна гэдгийг бид аль хэдийн мэдэж байсан. Тиймээс AB || CD.
Хэрэв хоёр шулуун гуравны нэгийг огтолбол харгалзах өнцөг нь тэнцүү бол эдгээр хоёр шулуун параллель байна.
Захирагч ба зургийн гурвалжин ашиглан зэрэгцээ шугам барих нь энэ өмч дээр суурилдаг. Үүнийг дараах байдлаар хийнэ.
Зурагт үзүүлсэн шиг гурвалжинг захирагч руу холбоно. Бид гурвалжны аль нэг талыг нь захирагчийн дагуу гулсуулж, гурвалжны нөгөө талын дагуу хэд хэдэн шулуун шугам зурна. Эдгээр шугамууд зэрэгцээ байх болно.
3. Зэрэгцээ байдлын гурав дахь шинж тэмдэг.
AB ба CD хоёр шулуун гурав дахь шулуунтай огтлолцоход нэг талт дотоод өнцгүүдийн нийлбэр 2-той тэнцүү байна гэдгийг бидэнд мэдэгдье. г(эсвэл 180 °). Энэ тохиолдолд AB ба CD шулуун шугамууд параллель байх уу (Зураг).
∠1 ба ∠2 нь дотоод нэг талт өнцөг байх ба 2 хүртэл нэмнэ г.
Гэхдээ ∠3 + ∠2 = 2 гзэргэлдээх өнцөг шиг. Тиймээс ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.
Эндээс ∠1 = ∠3 байх ба эдгээр дотоод өнцөг нь хөндлөн хэвтэнэ. Тиймээс AB || CD.
Хэрэв хоёр шулуун шугам гуравны нэгийг огтолбол дотоод нэг талын өнцгийн нийлбэр нь тэнцүү байна. 2 d (эсвэл 180 °), дараа нь эдгээр хоёр шугам зэрэгцээ байна.
Зэрэгцээ шугамын шинж тэмдэг:
1. Хэрэв хоёр шулуун гуравны нэгийг огтлоход хөндлөн хэвтэх дотоод өнцгүүд тэнцүү байвал эдгээр шулуунууд параллель байна.2. Хэрэв хоёр шулуун гуравны нэгийг огтлоход харгалзах өнцөг нь тэнцүү бол эдгээр хоёр шулуун параллель байна.
3. Хэрэв хоёр шулуун гуравны нэгийг огтлоход нэг талт дотоод өнцгийн нийлбэр 180° бол эдгээр хоёр шулуун параллель байна.
4. Хэрэв хоёр шулуун гурав дахь шулуунтай параллель байвал тэдгээр нь хоорондоо параллель байна.
5. Хэрэв хоёр шулуун гурав дахь шулуунтай перпендикуляр байвал тэдгээр нь хоорондоо параллель байна.
Евклидийн параллелизмын аксиом
Даалгавар.
AB шулуунаас гадуур авсан M цэгээр дамжуулан AB шулуунтай параллель шулуун зурна.
Шийдэл.Шугамын параллелизмын шинж тэмдгүүдийн батлагдсан теоремуудыг ашиглан энэ асуудлыг янз бүрийн аргаар шийдэж болно.
1-р алхам (зураг 199).
Бид MN⊥AB зурж, M цэгээр дамжуулан CD⊥MN зурна;
бид CD⊥MN ба AB⊥MN авдаг.
“Хэрэв нэг шулуунд перпендикуляр хоёр шулуун байвал параллель байна.”) теорем дээр үндэслэн бид CD || AB.
2-р арга (зураг 200).
Энэ асуудлыг шийдсэний дараа бид AB шулуунаас гадуур авсан ямар ч М цэгээр дамжуулан үүнтэй параллель шулуун шугам татах боломжтой гэдгийг баталж болно. Асуулт гарч ирнэ: өгөгдсөн шугамтай параллель, өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх хэдэн шугам байж болох вэ?
Барилга угсралтын практик нь зөвхөн нэг шулуун шугам байдаг гэж үзэх боломжийг бидэнд олгодог, учир нь нарийн гүйцэтгэсэн зургийн тусламжтайгаар ижил цэгээр янз бүрийн аргаар зурсан шулуун шугамууд ижил шулуун шугамтай параллель нийлдэг.
Онолын хувьд тавьсан асуултын хариултыг Евклидийн параллелизм гэж нэрлэгддэг аксиом өгдөг; дараах байдлаар томъёолсон болно.
Өгөгдсөн шугамын гадна талд авсан цэгээр дамжуулан энэ шулуунтай зэрэгцээ зөвхөн нэг шулуун зурж болно.
201-р зурагт шулуун АВ-тай параллель О цэгээр SC шулуун зурсан.
О цэгийг дайран өнгөрч буй бусад шулуунууд AB шулуунтай параллель байхаа больж, түүнийг огтолно.
Хавтгай дээр өгөгдсөн шугамаас гадуур авсан цэгээр энэ шулуунтай параллель зөвхөн нэг шулуун шугам зурж болно гэсэн Евклидийн "Элементүүд"-дээ баталсан аксиомыг гэнэ. Евклидийн параллелизмын аксиом.
Евклидээс хойш хоёр мянга гаруй жилийн дараа олон математикчид энэ математикийн саналыг батлах гэж оролдсон боловч тэдний оролдлого үргэлж бүтэлгүйтсэн. Гагцхүү 1826 онд Оросын агуу эрдэмтэн, Казанийн их сургуулийн профессор Николай Иванович Лобачевский Евклидийн бусад бүх аксиомуудыг ашиглан энэ математикийн саналыг батлах боломжгүй, үүнийг аксиом гэж хүлээн зөвшөөрөх ёстой гэдгийг нотолсон. Н.И.Лобачевский Евклидийн геометрээс ялгаатай нь Лобачевскийн геометр гэж нэрлэгддэг шинэ геометрийг бүтээсэн.
Ачааж байна...
