רשימת לוגריתמים עם פתרונות - שברים קלים. לוֹגָרִיתְם. מאפייני הלוגריתם (חיבור וחיסור)

משימות שהפתרון שלהן הוא המרת ביטויים לוגריתמיים, נפוצים למדי בבחינת המדינה המאוחדת.

כדי להתמודד איתם בהצלחה במינימום זמן, בנוסף לזהויות הלוגריתמיות הבסיסיות, אתה צריך לדעת ולהשתמש נכון בכמה נוסחאות נוספות.

זהו: a log a b = b, כאשר a, b > 0, a ≠ 1 (זה נובע ישירות מהגדרת הלוגריתם).

log a b = log c b / log c a או log a b = 1/log b a
כאשר a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |ב|
כאשר a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
כאשר a, b, c > 0 ו-a, b, c ≠ 1

כדי להראות את תקפות השוויון הרביעי, ניקח את הלוגריתם של הצדדים השמאלי והימני לבסיס a. נקבל log a (לוג עם b) = log a (b log with a) או log with b = log with a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); log with b = log with b.

הוכחנו את השוויון של הלוגריתמים, כלומר גם הביטויים מתחת ללוגריתמים שווים. פורמולה 4 הוכחה.

דוגמה 1.

חשב 81 לוג 27 5 לוג 5 4 .

פִּתָרוֹן.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. לכן,

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

ואז 81 לוג 27 5 לוג 5 4 = (3 4) 1/3 לוג 3 4 = (3 לוג 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

אתה יכול לבצע את המשימה הבאה בעצמך.

חשב (8 לוג 2 3 + 3 1/ לוג 2 3) - לוג 0.2 5.

כרמז, 0.2 = 1/5 = 5 -1; log 0.2 5 = -1.

תשובה: 5.

דוגמה 2.

חשב (√11) עֵץ √3 9- לוג 121 81 .

פִּתָרוֹן.

בואו נשנה את הביטויים: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, לוג 121 81 = 2 לוג 11 3 (נעשה שימוש בנוסחה 3).

לאחר מכן (√11) לוג √3 9- לוג 121 81 = (11 1/2) 4-2 לוג 11 3 = (11) 2- לוג 11 3 = 11 2 / (11) לוג 11 3 = 11 2 / ( 11 לוג 11 3) = 121/3.

דוגמה 3.

חשב יומן 2 24 / יומן 96 2 - יומן 2 192 / יומן 12 2.

פִּתָרוֹן.

אנו מחליפים את הלוגריתמים הכלולים בדוגמה בלוגריתמים עם בסיס 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

אז יומן 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

לאחר פתיחת הסוגריים והבאת מונחים דומים, נקבל את המספר 3. (כאשר מפשטים את הביטוי, נוכל לסמן את log 2 3 ב-n ולפשט את הביטוי

(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

תשובה: 3.

אתה יכול לבצע את המשימה הבאה בעצמך:

חשב (לוג 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

כאן יש צורך לבצע את המעבר ללוגריתמים בסיסיים 3 ולפירוק מספרים גדולים לגורמים ראשוניים.

תשובה: 1/2

דוגמה 4.

בהינתן שלושה מספרים A = 1/(לוג 3 0.5), B = 1/(לוג 0.5 3), C = log 0.5 12 – log 0.5 3. מסדרים אותם בסדר עולה.

פִּתָרוֹן.

בואו נמיר את המספרים A = 1/(לוג 3 0.5) = log 0.5 3; C = log 0.5 12 – log 0.5 3 = log 0.5 12/3 = log 0.5 4 = -2.

בואו נשווה ביניהם

log 0.5 3 > log 0.5 4 = -2 ו-log 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

או 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

תשובה. לכן, סדר הצבת המספרים הוא: C; א; IN.

דוגמה 5.

כמה מספרים שלמים יש במרווח (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

פִּתָרוֹן.

הבה נקבע בין אילו חזקות של המספר 3 נמצא המספר 1/16. אנחנו מקבלים 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

מכיוון שהפונקציה y = log 3 x עולה, אז log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). בואו נשווה את יומן 6 (4/3) ו-1/5. ולשם כך נשווה את המספרים 4/3 ו-6 1/5. בואו נעלה את שני המספרים בחזקת 5. נקבל (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

יומן 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

לכן, המרווח (log 3 1 / 16 ; log 6 48) כולל את המרווח [-2; 4] והמספרים השלמים -2 מונחים עליו; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

תשובה: 7 מספרים שלמים.

דוגמה 6.

חשב 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

פִּתָרוֹן.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

ואז 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0.1 = -1.

תשובה 1.

דוגמה 7.

ידוע כי לוג 2 (√3 + 1) + לוג 2 (√6 – 2) = א. מצא לוג 2 (√3 –1) + לוג 2 (√6 + 2).

פִּתָרוֹן.

מספרים (√3 + 1) ו-(√3 – 1); (√6 - 2) ו- (√6 + 2) הם מצומדים.

הבה נבצע את השינוי הבא של ביטויים

√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

לאחר מכן לוג 2 (√3 – 1) + לוג 2 (√6 + 2) = לוג 2 (2/(√3 + 1)) + לוג 2 (2/(√6 – 2)) =

לוג 2 2 – לוג 2 (√3 + 1) + לוג 2 2 – לוג 2 (√6 – 2) = 1 – לוג 2 (√3 + 1) + 1 – לוג 2 (√6 – 2) =

2 – לוג 2 (√3 + 1) – לוג 2 (√6 – 2) = 2 – A.

תשובה: 2 – א.

דוגמה 8.

פשט ומצא את הערך המשוער של הביטוי (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

פִּתָרוֹן.

הבה נצמצם את כל הלוגריתמים לבסיס משותף 10.

(לוג 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0.3010 (ניתן למצוא את הערך המשוער של lg 2 באמצעות טבלה, כלל שקופיות או מחשבון).

תשובה: 0.3010.

דוגמה 9.

חשב את log a 2 b 3 √(a 11 b -3) אם log √ a b 3 = 1. (בדוגמה זו, a 2 b 3 הוא הבסיס של הלוגריתם).

פִּתָרוֹן.

אם log √ a b 3 = 1, אז 3/(0.5 log a b = 1. ולוג a b = 1/6.

אז log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) בהתחשב בכך שלוג a b = 1/ 6 נקבל (11 - 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10.5/5 = 2.1.

תשובה: 2.1.

אתה יכול לבצע את המשימה הבאה בעצמך:

חשב לוג √3 6 √2.1 אם לוג 0.7 27 = א.

תשובה: (3 + א) / (3א).

דוגמה 10.

חשב 6.5 4/ לוג 3 169 · 3 1/ לוג 4 13 + לוג125.

פִּתָרוֹן.

6.5 4/ לוג 3 169 · 3 1/ לוג 4 13 + לוג 125 = (13/2) 4/2 לוג 3 13 · 3 2/ לוג 2 13 + 2לוג 5 5 3 = (13/2) 2 לוג 13 3 3 2 לוג 13 2 + 6 = (13 לוג 13 3 / 2 לוג 13 3) 2 (3 לוג 13 2) 2 + 6 = (3/2 לוג 13 3) 2 (3 לוג 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 לוג 13 3) 2) · (2 ​​לוג 13 3) 2 + 6.

(2 לוג 13 3 = 3 לוג 13 2 (נוסחה 4))

נקבל 9 + 6 = 15.

תשובה: 15.

עדיין יש לך שאלות? לא בטוח כיצד למצוא את הערך של ביטוי לוגריתמי?
כדי לקבל עזרה ממורה -.
השיעור הראשון חינם!

blog.site, בעת העתקת חומר מלא או חלקי, נדרש קישור למקור המקורי.

אנו ממשיכים ללמוד לוגריתמים. במאמר זה נדבר על חישוב לוגריתמים, נקרא תהליך זה לוֹגָרִיתְם. ראשית נבין את חישוב הלוגריתמים בהגדרה. לאחר מכן, בואו נסתכל כיצד מוצאים ערכי לוגריתמים באמצעות המאפיינים שלהם. לאחר מכן, נתמקד בחישוב לוגריתמים באמצעות הערכים שצוינו בתחילה של לוגריתמים אחרים. לבסוף, בואו נלמד כיצד להשתמש בטבלאות לוגריתם. התיאוריה כולה מסופקת בדוגמאות עם פתרונות מפורטים.

ניווט בדף.

חישוב לוגריתמים לפי הגדרה

במקרים הפשוטים ביותר ניתן לבצע די מהר ובקלות מציאת הלוגריתם בהגדרה. בואו נסתכל מקרוב על איך תהליך זה קורה.

המהות שלו היא לייצג את המספר b בצורה a c, שממנה, לפי הגדרת לוגריתם, המספר c הוא הערך של הלוגריתם. כלומר, בהגדרה, שרשרת השוויון הבאה מתאימה למציאת הלוגריתם: log a b=log a a c =c.

לכן, חישוב לוגריתם בהגדרה מסתכם במציאת מספר c כך ש- c = b, והמספר c עצמו הוא הערך הרצוי של הלוגריתם.

בהתחשב במידע בפסקאות הקודמות, כאשר המספר מתחת לסימן הלוגריתם ניתן בחזק מסוים של בסיס הלוגריתם, ניתן לציין מיד למה שווה הלוגריתם - הוא שווה למעריך. בואו נראה פתרונות לדוגמאות.

דוגמא.

מצא את log 2 2 −3, וחשב גם את הלוגריתם הטבעי של המספר e 5,3.

פִּתָרוֹן.

ההגדרה של הלוגריתם מאפשרת לנו לומר מיד שלוג 2 2 −3 =−3. ואכן, המספר מתחת לסימן הלוגריתם שווה לבסיס 2 בחזקת −3.

באופן דומה, אנו מוצאים את הלוגריתם השני: lne 5.3 =5.3.

תשובה:

log 2 2 −3 =−3 ו-lne 5,3 =5,3.

אם המספר b מתחת לסימן הלוגריתם אינו מצוין כחזקה של הבסיס של הלוגריתם, אז אתה צריך לבדוק היטב כדי לראות אם אפשר להמציא ייצוג של המספר b בצורה a c. לעתים קרובות ייצוג זה ברור למדי, במיוחד כאשר המספר מתחת לסימן הלוגריתם שווה לבסיס בחזקת 1, או 2, או 3, ...

דוגמא.

חשב את הלוגריתמים log 5 25 , ו .

פִּתָרוֹן.

קל לראות ש-25=5 2, זה מאפשר לך לחשב את הלוגריתם הראשון: log 5 25=log 5 5 2 =2.

נעבור לחישוב הלוגריתם השני. ניתן לייצג את המספר בחזקת 7: (ראה במידת הצורך). לָכֵן, .

נכתוב מחדש את הלוגריתם השלישי בצורה הבאה. עכשיו אתה יכול לראות את זה , שממנו אנו מסיקים כי . לכן, לפי הגדרת הלוגריתם .

בקצרה, ניתן לכתוב את הפתרון כך: .

תשובה:

log 5 25=2 , ו .

כשיש מספר טבעי מספיק גדול מתחת לסימן הלוגריתם, לא מזיק לחלק אותו לגורמים ראשוניים. לעתים קרובות זה עוזר לייצג מספר כזה ככוח כלשהו של הבסיס של הלוגריתם, ולכן לחשב את הלוגריתם הזה בהגדרה.

דוגמא.

מצא את הערך של הלוגריתם.

פִּתָרוֹן.

כמה מאפיינים של לוגריתמים מאפשרים לך לציין מיד את הערך של לוגריתמים. מאפיינים אלו כוללים את המאפיין של הלוגריתם של אחד ואת התכונה של הלוגריתם של מספר השווה לבסיס: log 1 1=log a a 0 =0 ו-log a a=log a a 1 =1. כלומר, כאשר מתחת לסימן הלוגריתם יש מספר 1 או מספר a השווה לבסיס הלוגריתם, אז במקרים אלו הלוגריתמים שווים ל-0 ו-1, בהתאמה.

דוגמא.

למה שווים לוגריתם ו-log10?

פִּתָרוֹן.

מאז , אז מהגדרת הלוגריתם זה נובע .

בדוגמה השנייה, המספר 10 מתחת לסימן הלוגריתם עולה בקנה אחד עם הבסיס שלו, כך שהלוגריתם העשרוני של עשר שווה לאחד, כלומר lg10=lg10 1 =1.

תשובה:

ו lg10=1 .

שימו לב שחישוב הלוגריתמים בהגדרה (עליו דנו בפסקה הקודמת) מרמז על שימוש בלוגריתמים השוויוניים a a p =p, שהוא אחד ממאפייני הלוגריתמים.

בפועל, כאשר מספר מתחת לסימן הלוגריתם ובסיס הלוגריתם מיוצגים בקלות בחזקת מספר מסוים, נוח מאוד להשתמש בנוסחה , התואם לאחת מתכונות הלוגריתמים. הבה נסתכל על דוגמה למציאת לוגריתם הממחיש את השימוש בנוסחה זו.

דוגמא.

חשב את הלוגריתם.

פִּתָרוֹן.

תשובה:

.

מאפיינים של לוגריתמים שלא הוזכרו לעיל משמשים גם בחישובים, אך נדבר על כך בפסקאות הבאות.

מציאת לוגריתמים באמצעות לוגריתמים ידועים אחרים

המידע בפסקה זו ממשיך את נושא השימוש במאפיינים של לוגריתמים בעת חישובם. אבל כאן ההבדל העיקרי הוא שתכונות הלוגריתמים משמשות לבטא את הלוגריתם המקורי במונחים של לוגריתם אחר, שערכו ידוע. בוא ניתן דוגמה להבהרה. נניח שאנו יודעים ש-log 2 3≈1.584963, אז נוכל למצוא, למשל, log 2 6 על ידי ביצוע טרנספורמציה קטנה באמצעות המאפיינים של הלוגריתם: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

בדוגמה שלמעלה, זה הספיק לנו להשתמש בתכונה של הלוגריתם של מוצר. עם זאת, לעתים קרובות הרבה יותר יש צורך להשתמש בארסנל רחב יותר של מאפיינים של לוגריתמים על מנת לחשב את הלוגריתם המקורי דרך הנתונים.

דוגמא.

חשב את הלוגריתם של 27 לבסיס 60 אם אתה יודע שלוג 60 2=a ו-log 60 5=b.

פִּתָרוֹן.

אז אנחנו צריכים למצוא יומן 60 27. קל לראות ש-27 = 3 3, ואת הלוגריתם המקורי, בשל תכונת הלוגריתם של החזקה, ניתן לכתוב מחדש כ-3·log 60 3 .

כעת נראה כיצד לבטא את לוג 60 3 במונחים של לוגריתמים ידועים. התכונה של הלוגריתם של מספר השווה לבסיס מאפשרת לנו לכתוב את לוג השוויון 60 60=1. מצד שני, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·לוג 60 2+לוג 60 3+לוג 60 5 . לכן, 2 לוג 60 2+לוג 60 3+לוג 60 5=1. לָכֵן, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

לבסוף, אנו מחשבים את הלוגריתם המקורי: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

תשובה:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

בנפרד, כדאי להזכיר את משמעות הנוסחה למעבר לבסיס חדש של הלוגריתם של הצורה . זה מאפשר לך לעבור מלוגריתמים עם כל בסיס ללוגריתמים עם בסיס ספציפי, שהערכים שלהם ידועים או שאפשר למצוא אותם. בדרך כלל, מהלוגריתם המקורי, באמצעות נוסחת המעבר, הם עוברים ללוגריתמים באחד מהבסיסים 2, e או 10, שכן עבור בסיסים אלו יש טבלאות לוגריתמים המאפשרות לחשב את ערכיהם במידה מסוימת של דיוק. בפסקה הבאה נראה כיצד זה נעשה.

טבלאות לוגריתם ושימושיהן

לחישוב משוער של ערכי לוגריתם ניתן להשתמש טבלאות לוגריתמים. טבלת הלוגריתמים הבסיסית 2 הנפוצה ביותר, טבלת הלוגריתמים הטבעית וטבלת הלוגריתמים העשרונית. כשעובדים במערכת המספרים העשרוניים, נוח להשתמש בטבלת לוגריתמים המבוססת על בסיס עשר. בעזרתו נלמד למצוא את ערכי הלוגריתמים.

הטבלה המוצגת מאפשרת לך למצוא את ערכי הלוגריתמים העשרוניים של מספרים מ-1,000 עד 9,999 (עם שלושה מקומות עשרוניים) בדיוק של עשרת אלפים אחת. ננתח את העיקרון של מציאת הערך של לוגריתם באמצעות טבלה של לוגריתמים עשרוניים באמצעות דוגמה ספציפית - זה ברור יותר כך. בוא נמצא את log1.256.

בעמודה השמאלית של טבלת הלוגריתמים העשרוניים אנו מוצאים את שתי הספרות הראשונות של המספר 1.256, כלומר אנו מוצאים 1.2 (מספר זה מוקף בכחול לצורך הבהירות). הספרה השלישית של המספר 1.256 (ספרה 5) נמצאת בשורה הראשונה או האחרונה משמאל לקו הכפול (מספר זה מוקף באדום). הספרה הרביעית של המספר המקורי 1.256 (ספרה 6) נמצאת בשורה הראשונה או האחרונה מימין לקו הכפול (מספר זה מוקף בקו ירוק). כעת אנו מוצאים את המספרים בתאים של טבלת הלוגריתם במפגש בין השורה המסומנת והעמודות המסומנות (מספרים אלו מודגשים בכתום). סכום המספרים המסומנים נותן את הערך הרצוי של הלוגריתם העשרוני המדויק עד למקום העשרוני הרביעי, כלומר, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

האם ניתן, באמצעות הטבלה למעלה, למצוא את הערכים של לוגריתמים עשרוניים של מספרים שיש להם יותר משלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית, כמו גם את הערכים החורגים מהטווח שבין 1 ל-9.999? כן אתה יכול. בואו נראה איך זה נעשה עם דוגמה.

בואו לחשב lg102.76332. קודם כל צריך לרשום מספר בצורה סטנדרטית: 102.76332=1.0276332·10 2. לאחר מכן, יש לעגל את המנטיסה למקום העשרוני השלישי, יש לנו 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, בעוד שהלוגריתם העשרוני המקורי שווה בערך ללוגריתם של המספר המתקבל, כלומר, ניקח את log102.76332≈lg1.028·10 2. כעת אנו מיישמים את המאפיינים של הלוגריתם: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. לבסוף, נמצא את הערך של הלוגריתם lg1.028 מטבלת הלוגריתם העשרוניים lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. כתוצאה מכך, כל תהליך חישוב הלוגריתם נראה כך: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

לסיכום, ראוי לציין שבאמצעות טבלה של לוגריתמים עשרוניים ניתן לחשב את הערך המשוער של כל לוגריתם. כדי לעשות זאת, די להשתמש בנוסחת המעבר כדי לעבור ללוגריתמים עשרוניים, למצוא את הערכים שלהם בטבלה ולבצע את שאר החישובים.

לדוגמה, בוא נחשב לוג 2 3 . לפי הנוסחה למעבר לבסיס חדש של הלוגריתם, יש לנו . מטבלת הלוגריתמים העשרוניים אנו מוצאים את log3≈0.4771 ו-log2≈0.3010. לכן, .

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ועוד. אלגברה והתחלות הניתוח: ספר לימוד לכיתות י' - יא' של מוסדות החינוך הכללי.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. מתמטיקה (מדריך לנכנסים לבתי ספר טכניים).

ביטויים לוגריתמיים, פתרון דוגמאות. במאמר זה נבחן בעיות הקשורות לפתרון לוגריתמים. המשימות שואלות את השאלה של מציאת משמעותו של ביטוי. יש לציין שהמושג לוגריתם משמש במשימות רבות והבנת המשמעות שלו חשובה ביותר. באשר לבחינת המדינה המאוחדת, הלוגריתם משמש בעת פתרון משוואות, בבעיות יישומיות, וגם במשימות הקשורות לחקר פונקציות.

הבה ניתן דוגמאות כדי להבין את עצם המשמעות של הלוגריתם:

זהות לוגריתמית בסיסית:

מאפיינים של לוגריתמים שתמיד חייבים לזכור:

*הלוגריתם של המכפלה שווה לסכום הלוגריתמים של הגורמים.

* * *

*הלוגריתם של מנה (שבר) שווה להפרש בין הלוגריתמים של הגורמים.

* * *

*הלוגריתם של מעריך שווה למכפלת המעריך וללוגריתם של הבסיס שלו.

* * *

*מעבר לקרן חדשה

* * *

נכסים נוספים:

* * *

חישוב הלוגריתמים קשור קשר הדוק לשימוש במאפיינים של מעריכים.

בואו נרשום כמה מהם:

המהות של תכונה זו היא שכאשר המונה מועבר למכנה ולהיפך, סימן המעריך משתנה להיפך. לדוגמה:

תוצאה מנכס זה:

* * *

כאשר מעלים כוח לחזקה, הבסיס נשאר זהה, אבל המעריכים מוכפלים.

* * *

כפי שראית, הרעיון של לוגריתם עצמו הוא פשוט. העיקר שאתה צריך תרגול טוב, שנותן לך מיומנות מסוימת. כמובן שנדרש ידע בנוסחאות. אם המיומנות בהמרת לוגריתמים יסודיים לא פותחה, אז בעת פתרון משימות פשוטות אתה יכול בקלות לטעות.

תרגל, פתרו תחילה את הדוגמאות הפשוטות ביותר מהקורס במתמטיקה, ואז עברו לדוגמאות מורכבות יותר. בעתיד, בהחלט אראה כיצד פותרים לוגריתמים "מפחידים"; הם לא יופיעו בבחינת המדינה המאוחדת, אבל הם מעניינים, אל תחמיצו אותם!

זה הכל! בהצלחה לך!

בברכה, אלכסנדר קרוטיסקיך

P.S: אודה לך אם תספר לי על האתר ברשתות החברתיות.

בעת המרת ביטויים עם לוגריתמים, השוויון המפורט משמש הן מימין לשמאל ומשמאל לימין.

ראוי לציין שאין צורך לשנן את ההשלכות של המאפיינים: בעת ביצוע טרנספורמציות, אתה יכול להסתדר עם המאפיינים הבסיסיים של לוגריתמים ועובדות אחרות (למשל, העובדה שעבור b≥0), שממנו ההשלכות המקבילות עולות. "תופעת הלוואי" היחידה של גישה זו היא שהפתרון יהיה קצת יותר ארוך. למשל, כדי להסתדר בלי התוצאה, שמתבטאת בנוסחה , והחל רק מהמאפיינים הבסיסיים של לוגריתמים, תצטרך לבצע שרשרת של טרנספורמציות בצורה הבאה: .

אותו הדבר ניתן לומר על המאפיין האחרון מהרשימה לעיל, אשר עונה על ידי הנוסחה , שכן הוא נובע גם מהתכונות הבסיסיות של הלוגריתמים. הדבר העיקרי שצריך להבין הוא שתמיד אפשר שהחזקה של מספר חיובי עם לוגריתם במעריך תחליף את בסיס החזקה והמספר מתחת לסימן הלוגריתם. למען ההגינות, נציין שדוגמאות המרמזות על יישום של טרנספורמציות מסוג זה הן נדירות בפועל. נביא כמה דוגמאות להלן בטקסט.

המרת ביטויים מספריים עם לוגריתמים

זכרנו את המאפיינים של לוגריתמים, עכשיו הגיע הזמן ללמוד כיצד ליישם אותם בפועל כדי להפוך ביטויים. זה טבעי להתחיל עם המרת ביטויים מספריים ולא ביטויים עם משתנים, מכיוון שהם נוחים יותר וקלים יותר ללמוד את היסודות. זה מה שנעשה, ונתחיל בדוגמאות מאוד פשוטות על מנת ללמוד כיצד לבחור את התכונה הרצויה בלוגריתם, אך נסבך בהדרגה את הדוגמאות, עד לנקודה שבה נקבל את התוצאה הסופית שנצטרך להחיל מספר מאפיינים ברצף.

בחירת התכונה הרצויה של לוגריתמים

ישנם מאפיינים רבים של לוגריתמים, וברור שאתה צריך להיות מסוגל לבחור את המתאים מהם, מה שבמקרה הספציפי הזה יוביל לתוצאה הנדרשת. בדרך כלל זה לא קשה לעשות זאת על ידי השוואת סוג הלוגריתם או הביטוי המומר עם סוגי החלקים השמאלי והימני של נוסחאות המבטאות את תכונות הלוגריתמים. אם הצד השמאלי או הימני של אחת הנוסחאות עולה בקנה אחד עם לוגריתם או ביטוי נתון, אז, קרוב לוודאי, יש להשתמש בתכונה זו במהלך הטרנספורמציה. הדוגמאות הבאות מדגימות זאת בבירור.

נתחיל בדוגמאות להמרת ביטויים באמצעות ההגדרה של לוגריתם, התואמת את הנוסחה a log a b =b, a>0, a≠1, b>0.

דוגמא.

חשב, אם אפשר: א) 5 לוג 5 4, ב) 10 לוג(1+2·π), ג) , ד) 2 לוג 2 (-7) , ה) .

פִּתָרוֹן.

בדוגמה מתחת לאות א) המבנה a log a b נראה בבירור, כאשר a=5, b=4. המספרים הללו עומדים בתנאים a>0, a≠1, b>0, כך שתוכל להשתמש בבטחה בשוויון a log a b =b. יש לנו 5 לוג 5 4=4 .

ב) כאן a=10, b=1+2·π, מתקיימים התנאים a>0, a≠1, b>0. במקרה זה, השוויון 10 log(1+2·π) =1+2·π מתרחש.

ג) ובדוגמה זו עסקינן בדרגה מהצורה a log a b, שבו ו-b=ln15. כך .

למרות השתייכותו לאותו סוג a log a b (כאן a=2, b=−7), לא ניתן להמיר את הביטוי מתחת לאות g באמצעות הנוסחה a log a b =b. הסיבה היא שהוא חסר משמעות כי הוא מכיל מספר שלילי מתחת לסימן הלוגריתם. יתרה מכך, המספר b=−7 אינו מקיים את התנאי b>0, מה שלא מאפשר להיעזר בנוסחה a log a b =b, שכן הוא מחייב את מילוי התנאים a>0, a≠1, b> 0. אז, אנחנו לא יכולים לדבר על חישוב הערך של 2 log 2 (-7) . במקרה זה, כתיבת 2 log 2 (−7) =−7 תהיה שגיאה.

באופן דומה, בדוגמה מתחת לאות ה) אי אפשר לתת פתרון לצורה , שכן הביטוי המקורי אינו הגיוני.

תשובה:

א) 5 לוג 5 4 =4, ב) 10 לוג(1+2·π) =1+2·π, ג) , ד), ה) ביטויים אינם הגיוניים.

לעתים קרובות טרנספורמציה שימושית היא לייצג מספר חיובי בחזקת מספר חיובי כלשהו שאינו אחדות עם הלוגריתם במעריך. היא מבוססת על אותה הגדרה של הלוגריתם a log a b =b, a>0, a≠1, b>0, אבל הנוסחה מיושמת מימין לשמאל, כלומר בצורה b=a log a b . לדוגמה, 3=e ln3 או 5=5 log 5 5 .

נעבור לשימוש במאפיינים של לוגריתמים כדי להפוך ביטויים.

דוגמא.

מצא את הערך של הביטוי: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) log 3.75 1, h) log 5 π 7 1 .

פִּתָרוֹן.

בדוגמאות מתחת לאותיות א), ב) ו-ג) ניתנים הביטויים log −2 1, log 1 1, log 0 1, שאינם הגיוניים, שכן בסיס הלוגריתם לא אמור להכיל מספר שלילי, אפס או אחד, כי הגדרנו לוגריתם רק לבסיס שהוא חיובי ושונה מאחדות. לכן, בדוגמאות א) - ג) לא יכולה להיות שאלה של מציאת משמעות הביטוי.

בכל שאר המשימות, מן הסתם, הבסיסים של הלוגריתמים מכילים מספרים חיוביים ובלתי-אחדים 7, e, 10, 3.75 ו-5·π 7, בהתאמה, ותחת סימני הלוגריתמים יש יחידות בכל מקום. ואנו יודעים את התכונה של הלוגריתם של האחדות: log a 1=0 עבור כל a>0, a≠1. לפיכך, הערכים של ביטויים b) - e) שווים לאפס.

תשובה:

א), ב), ג) ביטויים אינם הגיוניים, ד) log 7 1=0, ה) ln1=0, f) log1=0, g) log 3.75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0 .

דוגמא.

חשב: א) , ב) lne , ג) lg10 , ד) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), ה) לוג −3 (−3) , ו) לוג 1 1 .

פִּתָרוֹן.

ברור שעלינו להשתמש בתכונה של הלוגריתם של הבסיס, התואמת את הנוסחה log a a=1 עבור a>0, a≠1. ואכן, במשימות שמתחת לכל האותיות, המספר מתחת לסימן הלוגריתם עולה בקנה אחד עם הבסיס שלו. לכן, אני רוצה לומר מיד שהערך של כל אחד מהביטויים הנתונים הוא 1. עם זאת, אל תמהרו להסיק מסקנות: במשימות מתחת לאותיות א) - ד) ערכי הביטויים באמת שווים לאחד, ובמשימות ה) ו-ו הביטויים המקוריים אינם הגיוניים, אז זה לא ניתן לומר שהערכים של ביטויים אלה שווים ל-1.

תשובה:

א) , ב) lne=1 , ג) lg10=1 , ד) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, ה), ו) ביטויים אינם הגיוניים.

דוגמא.

מצא את הערך: א) log 3 3 11, b) , ג) , ד) לוג −10 (−10) 6 .

פִּתָרוֹן.

ברור שתחת סימני הלוגריתמים יש כמה כוחות של הבסיס. על סמך זה, אנו מבינים שתכונת המידה של הבסיס שימושית כאן: log a a p =p, כאשר a>0, a≠1 ו-p הם כל מספר ממשי. אם לוקחים זאת בחשבון, יש לנו את התוצאות הבאות: א) log 3 3 11 =11, ב) , V) . האם ניתן לכתוב שוויון דומה עבור הדוגמה מתחת לאות d) של הטופס log −10 (−10) 6 =6? לא, אתה לא יכול, כי הביטוי log −10 (−10) 6 אינו הגיוני.

תשובה:

א) log 3 3 11 =11, ב) , V) , ד) הביטוי אינו הגיוני.

דוגמא.

הצג את הביטוי כסכום או הפרש של לוגריתמים באמצעות אותו בסיס: א) , ב) , ג) log((−5)·(−12)) .

פִּתָרוֹן.

א) מתחת לסימן הלוגריתם יש מכפלה, ואנו יודעים את המאפיין של הלוגריתם של המכפלה log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , y>0. במקרה שלנו, המספר בבסיס הלוגריתם והמספרים במוצר הם חיוביים, כלומר, הם עומדים בתנאי המאפיין שנבחר, לכן נוכל ליישם אותו בבטחה: .

ב) כאן אנו משתמשים בתכונה של לוגריתם המנה, כאשר a>0, a≠1, x>0, y>0. במקרה שלנו, בסיס הלוגריתם הוא מספר e חיובי, המונה והמכנה π חיוביים, כלומר הם עומדים בתנאי המאפיין, ולכן יש לנו את הזכות להשתמש בנוסחה הנבחרת: .

ג) ראשית, שים לב שהביטוי log((−5)·(−12)) הגיוני. אך יחד עם זאת, עבורו אין לנו את הזכות ליישם את הנוסחה ללוגריתם של המוצר log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y >0, מכיוון שהמספרים הם -5 ו-12 - שליליים ואינם עומדים בתנאים x>0, y>0. כלומר, אינך יכול לבצע טרנספורמציה כזו: log((−5)·(−12))=log(−5)+log(−12). אז מה אנחנו צריכים לעשות? במקרים כאלה, הביטוי המקורי צריך טרנספורמציה ראשונית כדי למנוע מספרים שליליים. נדבר בפירוט על מקרים דומים של הפיכת ביטויים עם מספרים שליליים תחת סימן לוגריתם באחד המאמרים, אך לעת עתה ניתן פתרון לדוגמא זו, ברורה מראש וללא הסבר: log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.

תשובה:

א) , ב) , ג) log((−5)·(−12))=log5+lg12.

דוגמא.

פשטו את הביטוי: א) לוג 3 0.25+לוג 3 16+לוג 3 0.5, ב) .

פִּתָרוֹן.

כאן נעזר בכל אותם מאפיינים של הלוגריתם של המכפלה והלוגריתם של המנה שהשתמשנו בדוגמאות הקודמות, רק עכשיו נחיל אותם מימין לשמאל. כלומר, אנו הופכים את סכום הלוגריתמים ללוגריתם של המכפלה, ואת הפרש הלוגריתמים ללוגריתם של המנה. יש לנו
א) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5=log 3 (0.25 16 0.5)=log 3 2.
ב) .

תשובה:

א) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5=log 3 2, ב) .

דוגמא.

היפטר מהתואר תחת סימן הלוגריתם: א) log 0.7 5 11, b) ,ג) לוג 3 (-5) 6 .

פִּתָרוֹן.

קל לראות שעסקינן בביטויים של הצורה log a b p. לתכונה המקבילה של הלוגריתם יש את הצורה log a b p =p·log a b, כאשר a>0, a≠1, b>0, p - כל מספר ממשי. כלומר, אם מתקיימים התנאים a>0, a≠1, b>0, מהלוגריתם של הכוח log a b p נוכל להמשיך למכפלה p·log a b. בואו נבצע את השינוי הזה עם הביטויים הנתונים.

א) במקרה זה a=0.7, b=5 ו-p=11. אז log 0.7 5 11 =11·log 0.7 5.

ב) כאן מתקיימים התנאים a>0, a≠1, b>0. בגלל זה

ג) לביטוי log 3 (−5) 6 יש אותו מבנה log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . אבל עבור b לא מתקיים התנאי b>0, מה שלא מאפשר להשתמש בנוסחה log a b p =p·log a b . אז מה, אתה לא יכול להתמודד עם המשימה? זה אפשרי, אך נדרשת טרנספורמציה ראשונית של הביטוי, עליה נעמוד בהרחבה להלן בפסקה שבכותרת. הפתרון יהיה כזה: log 3 (-5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

תשובה:

א) log 0.7 5 11 =11 log 0.7 5 ,
ב)
ג) log 3 (−5) 6 =6·log 3 5.

לעתים קרובות למדי, בעת ביצוע טרנספורמציות, יש ליישם את הנוסחה ללוגריתם של חזקה מימין לשמאל בצורה p·log a b=log a b p (יש לעמוד באותם תנאים עבור a, b ו-p). לדוגמה, 3·ln5=ln5 3 ו-log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

דוגמא.

א) חשב את הערך של log 2 5 אם ידוע ש-log2≈0.3010 ו-log5≈0.6990. ב) הביעו את השבר כלוגריתם לבסיס 3.

פִּתָרוֹן.

א) הנוסחה למעבר לבסיס לוגריתם חדש מאפשרת לנו להציג את הלוגריתם הזה כיחס של לוגריתמים עשרוניים, שערכיהם ידועים לנו: . כל מה שנותר הוא לבצע את החישובים, יש לנו .

ב) כאן מספיק להשתמש בנוסחה למעבר לבסיס חדש, ולהחיל אותה מימין לשמאל, כלומר בצורה . אנחנו מקבלים .

תשובה:

א) log 2 5≈2.3223, ב) .

בשלב זה, בדקנו ביסודיות את הטרנספורמציה של הביטויים הפשוטים ביותר תוך שימוש במאפיינים הבסיסיים של לוגריתמים והגדרת לוגריתם. בדוגמאות אלו, היינו צריכים ליישם נכס אחד ותו לא. כעת, עם מצפון נקי, אתה יכול לעבור לדוגמאות, שהטרנספורמציה שלהן דורשת שימוש במספר מאפיינים של לוגריתמים ותמורות נוספות אחרות. נעסוק בהם בפסקה הבאה. אבל לפני כן, הבה נסתכל בקצרה על דוגמאות ליישום השלכות מהמאפיינים הבסיסיים של לוגריתמים.

דוגמא.

א) נפטר מהשורש מתחת לסימן הלוגריתם. ב) המר את השבר ללוגריתם בסיס 5. ג) השתחרר מכוחות בסימן הלוגריתם ובבסיסו. ד) חשב את ערך הביטוי . ה) החלף את הביטוי בחזקת בסיס 3.

פִּתָרוֹן.

א) אם נזכור את התוצאה מהמאפיין של הלוגריתם של התואר , אז אתה יכול מיד לתת את התשובה: .

ב) כאן אנו משתמשים בנוסחה מימין לשמאל, יש לנו .

ג) במקרה זה, הנוסחה מובילה לתוצאה . אנחנו מקבלים .

ד) וכאן די ליישם את המסקנה לה מתאימה הנוסחה . כך .

ה) תכונה של הלוגריתם מאפשר לנו להגיע לתוצאה הרצויה: .

תשובה:

א) . ב) . V) . ז) . ד) .

יישום רצוף של מספר מאפיינים

משימות אמיתיות על שינוי ביטויים באמצעות מאפיינים של לוגריתמים בדרך כלל מסובכות יותר מאלו שעסקנו בהן בפסקה הקודמת. אצלם, ככלל, התוצאה אינה מתקבלת בשלב אחד, אלא הפתרון כבר מורכב מיישום רציף של תכונה אחת אחרי השנייה, יחד עם טרנספורמציות זהות נוספות, כגון פתיחת סוגריים, הבאת מונחים דומים, הפחתת שברים וכו'. . אז בואו נתקרב לדוגמאות כאלה. אין בזה שום דבר מסובך, העיקר לפעול בזהירות ובעקביות, תוך התבוננות בסדר הפעולות.

דוגמא.

חשב את הערך של ביטוי (לוג 3 15−לוג 3 5) 7 לוג 7 5.

פִּתָרוֹן.

ניתן להחליף את ההבדל בין הלוגריתמים בסוגריים, לפי המאפיין של לוגריתם המנה, בלוגריתם 3 (15:5), ולאחר מכן לחשב את ערכו log 3 (15:5)=log 3 3=1. והערך של הביטוי 7 log 7 5 בהגדרת לוגריתם שווה ל-5. החלפת תוצאות אלה בביטוי המקורי, אנו מקבלים (לוג 3 15−לוג 3 5) 7 לוג 7 5 =1 5=5.

הנה פתרון ללא הסבר:
(לוג 3 15−לוג 3 5) 7 לוג 7 5 =לוג 3 (15:5) 5=
=לוג 3 3·5=1·5=5 .

תשובה:

(לוג 3 15−לוג 3 5) 7 לוג 7 5 =5.

דוגמא.

מה הערך של הביטוי המספרי log 3 log 2 2 3 −1?

פִּתָרוֹן.

תחילה אנו הופכים את הלוגריתם תחת סימן הלוגריתם באמצעות הנוסחה ללוגריתם של החזקה: log 2 2 3 =3. לפיכך, log 3 log 2 2 3 =log 3 3 ולאחר מכן log 3 3=1. אז log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

תשובה:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

דוגמא.

פשט את הביטוי.

פִּתָרוֹן.

הנוסחה למעבר לבסיס לוגריתם חדש מאפשרת לייצג את היחס בין הלוגריתמים לבסיס אחד כלוג 3 5. במקרה זה, הביטוי המקורי יקבל את הצורה . לפי הגדרת הלוגריתם 3 log 3 5 =5, כלומר , וערך הביטוי המתקבל, מתוקף אותה הגדרה של הלוגריתם, שווה לשניים.

להלן גרסה קצרה של הפתרון שניתן בדרך כלל: .

תשובה:

.

כדי לעבור בצורה חלקה למידע בפסקה הבאה, הבה נסתכל על הביטויים 5 2+log 5 3, ו-log0.01. המבנה שלהם אינו מתאים לאף אחת מתכונות הלוגריתמים. אז מה קורה, אי אפשר להמיר אותם באמצעות המאפיינים של לוגריתמים? זה אפשרי אם תבצע טרנספורמציות ראשוניות המכינות את הביטויים הללו ליישום המאפיינים של לוגריתמים. כך 5 2+לוג 5 3 =5 2 5 יומן 5 3 =25 3=75, ו-log0.01=log10 −2 =−2. לאחר מכן נבחן בפירוט כיצד מתבצעת הכנת ביטוי כזו.

הכנת ביטויים לשימוש במאפיינים של לוגריתמים

לוגריתמים בביטוי המומר נבדלים לעתים קרובות מאוד במבנה הסימון מהחלק השמאלי והימני של הנוסחאות התואמות למאפיינים של לוגריתמים. אך לעתים קרובות לא פחות, הטרנספורמציה של ביטויים אלה כרוכה בשימוש במאפיינים של לוגריתמים: השימוש בהם דורש הכנה מקדימה בלבד. והכנה זו מורכבת מביצוע טרנספורמציות זהות מסוימות המביאות את הלוגריתמים לצורה נוחה ליישום המאפיינים.

למען ההגינות, נציין שכמעט כל טרנספורמציה של ביטויים יכולה לפעול כטרנספורמציות מקדימות, החל מהפחתה בנאלית של מונחים דומים ועד לשימוש בנוסחאות טריגונומטריות. זה מובן, מכיוון שהביטויים המומרים יכולים להכיל כל אובייקט מתמטי: סוגריים, מודולים, שברים, שורשים, חזקות וכו'. לפיכך, יש להיות מוכנים לבצע כל טרנספורמציה נדרשת על מנת להמשיך ולהיות מסוגל לנצל את המאפיינים של לוגריתמים.

נגיד מיד שבשלב זה איננו מציבים לעצמנו את המשימה לסווג ולנתח את כל התמורות המקדימות האפשריות שיאפשרו לנו ליישם לאחר מכן את תכונות הלוגריתמים או את ההגדרה של לוגריתם. כאן נתמקד רק בארבעה מהן, שהן האופייניות ביותר ולרוב נתקלות בהן בפועל.

ועכשיו על כל אחד מהם בפירוט, ולאחר מכן, במסגרת הנושא שלנו, כל שנותר הוא להבין את הטרנספורמציה של ביטויים עם משתנים תחת סימני לוגריתמים.

זיהוי כוחות תחת סימן הלוגריתם ובבסיסו

נתחיל מיד עם דוגמה. תנו לנו לוגריתם. ברור שבצורה זו המבנה שלו אינו תורם לשימוש בתכונות הלוגריתמים. האם אפשר לשנות איכשהו את הביטוי הזה כדי לפשט אותו, ואפילו טוב יותר לחשב את ערכו? כדי לענות על שאלה זו, הבה נסתכל מקרוב על המספרים 81 ו-1/9 בהקשר של הדוגמה שלנו. כאן קל להבחין שניתן לייצג את המספרים הללו בחזקת 3, אכן, 81 = 3 4 ו- 1/9 = 3 -2. במקרה זה, הלוגריתם המקורי מוצג בטופס ומתאפשר ליישם את הנוסחה . כך, .

ניתוח הדוגמה המנותחת מעלה את המחשבה הבאה: במידת האפשר, ניתן לנסות לבודד את התואר בסימן הלוגריתם ובבסיסו על מנת ליישם את תכונת הלוגריתם של התואר או השלכותיו. נותר רק להבין כיצד להבחין בין דרגות אלה. בואו לתת כמה המלצות בנושא זה.

לפעמים זה די ברור שהמספר מתחת לסימן הלוגריתם ו/או בבסיסו מייצג חזקה כלשהי של מספר שלם, כמו בדוגמה שנדונה לעיל. כמעט כל הזמן עלינו להתמודד עם חזקה של שתיים, המוכרות היטב: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512= 2 9, 1024=2 10. אותו הדבר ניתן לומר על כוחות שלוש: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... באופן כללי, זה לא יזיק אם יש לך מול העיניים טבלת החזקות של המספרים הטבעייםבתוך תריסר. זה גם לא קשה לעבוד עם חזקות שלמים של עשר, מאה, אלף וכו'.

דוגמא.

חשב את הערך או פשט את הביטוי: א) log 6 216, b) , c) log 0.000001 0.001.

פִּתָרוֹן.

א) ברור, 216=6 3, אז log 6 216=log 6 6 3 =3.

ב) טבלת החזקות של המספרים הטבעיים מאפשרת לך לייצג את המספרים 343 ו-1/243 בחזקות 7 3 ו-3 -4, בהתאמה. לכן, השינוי הבא של לוגריתם נתון אפשרי:

ג) מאז 0.000001=10 −6 ו-0.001=10 −3, אז log 0.000001 0.001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

תשובה:

א) יומן 6 216=3, ב) , ג) log 0.000001 0.001=1/2.

במקרים מורכבים יותר, כדי לבודד כוחות של מספרים, אתה צריך לפנות.

דוגמא.

המר את הביטוי לצורה הפשוטה יותר log 3 648 · log 2 3 .

פִּתָרוֹן.

בואו נסתכל מה הפירוק לגורמים של 648:

כלומר, 648=2 3 ·3 4. לכן, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

כעת אנו ממירים את הלוגריתם של המכפלה לסכום הלוגריתמים, ולאחר מכן אנו מיישמים את המאפיינים של הלוגריתם של החזק:
log 3 (2 3 3 4)log 2 3=(log 3 2 3 +log 3 3 4)log 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .

מתוקף תולדה מתכונת הלוגריתם של החזקה, התואמת את הנוסחה , המוצר log32·log23 הוא המכפלה של , וכידוע, הוא שווה לאחד. אם לוקחים את זה בחשבון, אנחנו מבינים 3 לוג 3 2 לוג 2 3+4 לוג 2 3=3 1+4 לוג 2 3=3+4 לוג 2 3.

תשובה:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

לעתים קרובות למדי, ביטויים תחת סימן הלוגריתם ובבסיסו מייצגים מוצרים או יחסים של השורשים ו/או החזקות של מספרים מסוימים, למשל, , . ביטויים כאלה יכולים להתבטא כסמכויות. לשם כך, נעשה מעבר משורשים לכוחות, ומשמשים. טרנספורמציות אלו מאפשרות לבודד את החזקות תחת סימן הלוגריתם ובבסיסו, ולאחר מכן ליישם את תכונות הלוגריתמים.

דוגמא.

חשב: א) , ב) .

פִּתָרוֹן.

א) הביטוי בבסיס הלוגריתם הוא מכפלה של חזקות עם אותם בסיסים; לפי התכונה המקבילה של חזקות יש לנו 5 2 ·5 −0.5 ·5 −1 =5 2−0.5−1 =5 0.5.

כעת נהפוך את השבר מתחת לסימן הלוגריתם: נעבור מהשורש לחזק, ולאחר מכן נשתמש בתכונה של יחס החזקה עם אותם בסיסים: .

נותר להחליף את התוצאות שהתקבלו בביטוי המקורי, השתמש בנוסחה ולסיים את השינוי:

ב) מכיוון ש-729 = 3 6 ו-1/9 = 3 -2, ניתן לשכתב את הביטוי המקורי כ-.

לאחר מכן, אנו מיישמים את המאפיין של שורש החזקה, עוברים מהשורש לחזק, ונשתמש בתכונת יחס החזקה כדי להמיר את בסיס הלוגריתם לחזק: .

אם לוקחים בחשבון את התוצאה האחרונה, יש לנו .

תשובה:

א) , ב) .

ברור שבמקרה הכללי, כדי לקבל כוחות בסימן הלוגריתם ובבסיסו, עשויות להידרש טרנספורמציות שונות של ביטויים שונים. בוא ניתן כמה דוגמאות.

דוגמא.

מה משמעות הביטוי: א) , ב) .

פִּתָרוֹן.

עוד נציין שלביטוי הנתון יש את הצורה log A B p , כאשר A=2, B=x+1 ו-p=4. הפכנו ביטויים מספריים מסוג זה לפי תכונת הלוגריתם של הכוח log a b p =p·log a b, לכן, עם ביטוי נתון אני רוצה לעשות את אותו הדבר, ולעבור מלוג 2 (x+1) 4 ל 4·log 2 (x+1) . כעת נחשב את הערך של הביטוי המקורי והביטוי שהתקבל לאחר ההמרה, למשל, כאשר x=−2. יש לנו log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , ו 4 יומן 2 (-2+1)=4 יומן 2 (-1)- ביטוי חסר משמעות. זה מעלה שאלה הגיונית: "מה עשינו לא בסדר?"

והסיבה היא זו: ביצענו את הטרנספורמציה log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) , בהתבסס על הנוסחה log a b p =p·log a b , אך יש לנו את הזכות ליישם את הנוסחה הזו רק אם התנאים a >0, a≠1, b>0, p - כל מספר ממשי. כלומר, הטרנספורמציה שעשינו מתרחשת אם x+1>0, שזהה ל-x>−1 (עבור A ו-p מתקיימים התנאים). עם זאת, במקרה שלנו, ה-ODZ של משתנה x עבור הביטוי המקורי מורכב לא רק מהמרווח x>−1, אלא גם מהמרווח x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

הצורך לקחת בחשבון DL

נמשיך לנתח את הטרנספורמציה של הביטוי שבחרנו log 2 (x+1) 4 , ועכשיו בואו נראה מה קורה ל-ODZ כשעוברים לביטוי 4 · log 2 (x+1) . בפסקה הקודמת מצאנו את ה-ODZ של הביטוי המקורי - זוהי הסט (−∞, −1)∪(−1, +∞) . כעת הבה נמצא את טווח הערכים המקובלים של המשתנה x עבור הביטוי 4·log 2 (x+1) . הוא נקבע על ידי התנאי x+1>0, המתאים לקבוצה (−1, +∞). ברור שכאשר עוברים מלוג 2 (x+1) 4 ל-4·log 2 (x+1), טווח הערכים המותרים מצטמצם. והסכמנו להימנע מתמורות שמובילות לצמצום של DL, שכן זה יכול להוביל לתוצאות שליליות שונות.

כאן ראוי לציין שמועיל לשלוט ב-OA בכל שלב של הטרנספורמציה ולמנוע את הצמצום שלו. ואם פתאום באיזה שלב של הטרנספורמציה חלה צמצום של ד"ל, אז כדאי להסתכל היטב האם התמרה זו מותרת והאם הייתה לנו הזכות לבצעה.

למען ההגינות, נניח שבפועל אנחנו צריכים בדרך כלל לעבוד עם ביטויים שבהם ערכם המשתנה של משתנים הוא כזה שבביצוע טרנספורמציות נוכל להשתמש במאפיינים של לוגריתמים ללא הגבלות בצורה שכבר ידועה לנו, הן משמאל לימין ומימין לשמאל. אתה מתרגל לזה במהירות, ומתחיל לבצע טרנספורמציות בצורה מכנית, מבלי לחשוב אם אפשר לבצע אותן. וברגעים כאלה, כמזל, חומקות דוגמאות מורכבות יותר שבהן יישום רשלני של תכונות הלוגריתמים מוביל לשגיאות. אז אתה צריך להיות תמיד על המשמר ולוודא שאין היצרות של ה-ODZ.

לא יזיק להדגיש בנפרד את הטרנספורמציות העיקריות המבוססות על תכונות הלוגריתמים, שחייבים להתבצע בזהירות רבה, מה שעלול להוביל לצמצום ה-OD, וכתוצאה מכך - לשגיאות:

טרנספורמציות מסוימות של ביטויים המבוססות על תכונות הלוגריתמים יכולות להוביל גם להיפך - הרחבה של ה-ODZ. לדוגמה, המעבר מ-4·log 2 (x+1) ל-log 2 (x+1) 4 מרחיב את ה-ODZ מהקבוצה (−1, +∞) ל-(−∞, −1)∪(−1, +∞). טרנספורמציות כאלה מתרחשות אם נישאר במסגרת ה-ODZ עבור הביטוי המקורי. אז השינוי שהוזכר זה עתה 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 מתרחש על ה-ODZ של המשתנה x עבור הביטוי המקורי 4·log 2 (x+1), כלומר עבור x+1> 0, שזהה ל-(−1, +∞).

כעת, לאחר שדנו בניואנסים שעליכם לשים לב אליהם בעת הפיכת ביטויים עם משתנים באמצעות מאפיינים של לוגריתמים, נותר להבין כיצד לבצע את התמורות הללו בצורה נכונה.

X+2>0 . האם זה עובד במקרה שלנו? כדי לענות על שאלה זו, בואו נסתכל על ה-ODZ של המשתנה x. זה נקבע על ידי מערכת אי השוויון , שהוא שווה ערך לתנאי x+2>0 (במידת הצורך, עיין במאמר פתרון מערכות אי שוויון). לפיכך, אנו יכולים ליישם בבטחה את המאפיין של הלוגריתם של העוצמה.

יש לנו
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

אתה יכול לפעול אחרת, מכיוון שה-ODZ מאפשר לך לעשות זאת, למשל כך:

תשובה:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

אבל מה לעשות כאשר התנאים הנלווים למאפייני הלוגריתמים אינם מתקיימים ב-ODZ? נבין זאת בעזרת דוגמאות.

הבה נידרש לפשט את הביטוי log(x+2) 4 − log(x+2) 2 . הטרנספורמציה של ביטוי זה, בניגוד לביטוי מהדוגמה הקודמת, אינה מאפשרת שימוש חופשי בתכונת הלוגריתם של החזקה. למה? ה-ODZ של משתנה x במקרה זה הוא האיחוד של שני מרווחים x>−2 ו-x<−2 . При x>−2 נוכל ליישם בקלות את התכונה של הלוגריתם של חזקה ולפעול כמו בדוגמה למעלה: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). אבל ה-ODZ מכיל מרווח אחד נוסף x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2ועוד בשל תכונות המעלה k lg|x+2| 4 −lg|x+2| 2. ניתן לשנות את הביטוי המתקבל באמצעות המאפיין של הלוגריתם של חזקה, שכן |x+2|>0 עבור כל ערך של המשתנה. יש לנו log|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. עכשיו אתה יכול להשתחרר מהמודול, מכיוון שהוא עשה את עבודתו. מכיוון שאנו מבצעים את השינוי ב-x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

בואו נסתכל על עוד דוגמה אחת כדי שהעבודה עם מודולים תהיה מוכרת. הבה נחשוב מהביטוי עבור אל הסכום וההפרש של לוגריתמים של בינומים ליניאריים x−1, x−2 ו-x−3. ראשית אנו מוצאים את ה-ODZ:

במרווח (3, +∞) הערכים של הביטויים x−1, x−2 ו-x−3 חיוביים, כך שנוכל ליישם בקלות את המאפיינים של הלוגריתם של הסכום וההפרש:

ובמרווח (1, 2) הערכים של הביטוי x−1 חיוביים, והערכים של הביטויים x−2 ו-x−3 הם שליליים. לכן, במרווח הנחשב אנו מייצגים את x−2 ו-x−3 באמצעות המודולוס כמו −|x−2| ו-|x-3| בהתאמה. איפה

כעת נוכל ליישם את המאפיינים של הלוגריתם של המכפלה והמנה, שכן במרווח הנחשב (1, 2) ערכי הביטויים x−1 , |x−2| ו-|x−3| - חיובי.

יש לנו

ניתן לשלב את התוצאות שהתקבלו:

באופן כללי, נימוק דומה מאפשר, בהתבסס על הנוסחאות ללוגריתם של המוצר, היחס והדרגה, להשיג שלוש תוצאות שימושיות מעשיות, שהן די נוחות לשימוש:

• ניתן להחליף את הלוגריתם של המכפלה של שני ביטויים שרירותיים X ו-Y בצורת log a (X·Y) בסכום הלוגריתמים log a |X|+log a |Y| , a>0 , a≠1 .
• הלוגריתם של הצורה הספציפית log a (X:Y) יכול להיות מוחלף בהפרש הלוגריתמים log a |X|−log a |Y| , a>0, a≠1, X ו-Y הם ביטויים שרירותיים.
• מהלוגריתם של ביטוי B כלשהו לחזקת p זוגית של הצורה log a B p נוכל לעבור לביטוי p·log a |B| , כאשר a>0, a≠1, p הוא מספר זוגי ו-B הוא ביטוי שרירותי.

תוצאות דומות ניתנות, למשל, בהוראות לפתרון משוואות אקספוננציאליות ולוגריתמיות באוסף הבעיות במתמטיקה עבור הנכנסים לאוניברסיטאות, בעריכת M. I. Skanavi.

דוגמא.

פשט את הביטוי .

פִּתָרוֹן.

זה יהיה טוב ליישם את המאפיינים של הלוגריתם של החזקה, הסכום וההפרש. אבל האם אנחנו יכולים לעשות את זה כאן? כדי לענות על השאלה הזו אנחנו צריכים לדעת את ה-DZ.

בוא נגדיר את זה:

ברור למדי שהביטויים x+4, x−2 ו-(x+4) 13 בטווח הערכים המותרים של המשתנה x יכולים לקבל ערכים חיוביים ושליליים כאחד. לכן, נצטרך לפעול באמצעות מודולים.

מאפייני המודול מאפשרים לך לכתוב אותו מחדש בתור , כך

כמו כן, שום דבר לא מונע ממך להשתמש בתכונה של הלוגריתם של חזקה, ולאחר מכן להביא מונחים דומים:

רצף נוסף של טרנספורמציות מוביל לאותה תוצאה:

ומכיוון שב-ODZ הביטוי x−2 יכול לקבל גם ערכים חיוביים ושליליים, אז כשלוקחים מעריך זוגי 14

מהו לוגריתם?

תשומת הלב!
ישנם נוספים
חומרים בסעיף מיוחד 555.
למי שהם מאוד "לא מאוד..."
ולמי ש"מאוד...")

מהו לוגריתם? איך פותרים לוגריתמים? שאלות אלו מבלבלות בוגרים רבים. באופן מסורתי, נושא הלוגריתמים נחשב מורכב, לא מובן ומפחיד. במיוחד משוואות עם לוגריתמים.

זה ממש לא נכון. בהחלט! לא מאמין לי? בסדר גמור. עכשיו, תוך 10 - 20 דקות בלבד אתה:

1. אתה תבין מהו לוגריתם.

2. למד לפתור מחלקה שלמה של משוואות אקספוננציאליות. גם אם לא שמעתם עליהם כלום.

3. למדו לחשב לוגריתמים פשוטים.

יתרה מכך, לשם כך תצטרכו לדעת רק את לוח הכפל וכיצד להעלות מספר לחזקה...

אני מרגיש שיש לך ספקות... ובכן, בסדר, סמן את הזמן! ללכת!

ראשית, פתור את המשוואה הזו בראש שלך:

אם אתה אוהב את האתר הזה...

אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)

אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. בואו ללמוד - בעניין!)

ניתן להכיר פונקציות ונגזרות.