פונקציה אקספוננציאלית איך לפתור. פתרון משוואות אקספוננציאליות. יסודות

פתרון משוואות אקספוננציאליות. דוגמאות.

תשומת הלב!
ישנם נוספים
חומר בסעיף מיוחד 555.
למי ש"לא מאוד..."
ולמי ש"מאוד...")

מה משוואה אקספוננציאלית? זוהי משוואה שבה נמצאים הלא ידועים (x) והביטויים איתם אינדיקטוריםכמה תארים. ורק שם! זה חשוב.

הנה אתה דוגמאות של משוואות אקספוננציאליות:

3 x 2 x = 8 x + 3

הערה! בבסיסי מעלות (למטה) - רק מספרים. בְּ אינדיקטוריםמעלות (למעלה) - מגוון רחב של ביטויים עם x. אם פתאום מופיע X במשוואה במקום אחר מלבד המחוון, למשל:

זו תהיה משוואה מסוג מעורב. למשוואות כאלה אין כללים ברורים לפתרון. לא נשקול אותם לעת עתה. כאן נעסוק פתרון משוואות אקספוננציאליותבצורתו הטהורה ביותר.

למעשה, אפילו משוואות אקספוננציאליות טהורות לא תמיד נפתרות בצורה ברורה. אבל ישנם סוגים מסוימים של משוואות אקספוננציאליות שניתן וצריך לפתור. אלה הסוגים שנבחן.

פתרון המשוואות המעריכיות הפשוטות ביותר.

נתחיל במשהו מאוד בסיסי. לדוגמה:

גם בלי שום תיאוריה, בבחירה פשוטה ברור ש-x = 2. שום דבר יותר, נכון!? שום ערך x אחר לא מתגלגל. ועכשיו בואו נסתכל על הפתרון של המשוואה המעריכית המסובכת הזו:

מה עשינו? אנחנו, למעשה, פשוט זרקנו את אותם תחתונים (שלשות). נזרק לגמרי. ומה שמשמח, פגע במטרה!

ואכן, אם במשוואה המעריכית משמאל ומימין נמצאים אותו הדברמספרים בכל דרגה, ניתן להסיר את המספרים הללו ולשווים מעריכים. המתמטיקה מאפשרת. נותר לפתור משוואה הרבה יותר פשוטה. זה טוב, נכון?)

עם זאת, בואו נזכור באופן אירוני: אתה יכול להסיר את הבסיסים רק כאשר מספרי הבסיס משמאל ומימין נמצאים בבידוד נהדר!בלי שום שכנים ומקדמים. בוא נגיד במשוואות:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , או

אתה לא יכול להסיר כפילים!

ובכן, שלטנו בדבר החשוב ביותר. איך לעבור מביטויים אקספוננציאליים מרושעים למשוואות פשוטות יותר.

"הנה הזמנים האלה!" - אתה אומר. "מי ייתן פרימיטיבי כזה על הבקרה והבחינות!?"

נאלץ להסכים. אף אחד לא. אבל עכשיו אתה יודע לאן ללכת כשפותרים דוגמאות מבלבלות. יש צורך להביא אותו לטופס כאשר אותו מספר בסיס נמצא משמאל - מימין. ואז הכל יהיה קל יותר. למעשה, זו הקלאסיקה של המתמטיקה. אנו לוקחים את הדוגמה המקורית והופכים אותה לרצוי לָנוּאכפת. לפי כללי המתמטיקה כמובן.

שקול דוגמאות הדורשות מאמץ נוסף כדי להביא אותן לפשוטות ביותר. בואו נתקשר אליהם משוואות אקספוננציאליות פשוטות.

פתרון של משוואות אקספוננציאליות פשוטות. דוגמאות.

כאשר פותרים משוואות אקספוננציאליות, הכללים העיקריים הם פעולות עם כוחות.ללא ידיעה על הפעולות הללו, שום דבר לא יעבוד.

לפעולות עם תארים יש להוסיף התבוננות אישית וכושר המצאה. האם אנחנו צריכים את אותם מספרי בסיס? אז אנחנו מחפשים אותם בדוגמה בצורה מפורשת או מוצפנת.

בוא נראה איך זה נעשה בפועל?

בואו ניתן לנו דוגמה:

2 2x - 8 x+1 = 0

מבט ראשון על עילה.הם... הם שונים! שתיים ושמונה. אבל זה מוקדם מדי להתייאש. הגיע הזמן לזכור את זה

שניים ושמונה הם קרובי משפחה במידה.) אפשר בהחלט לרשום:

8 x+1 = (2 3) x+1

אם נזכור את הנוסחה מפעולות עם כוחות:

(a n) m = a nm ,

זה בדרך כלל עובד נהדר:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

הדוגמה המקורית נראית כך:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

אנחנו מעבירים 2 3 (x+1)מימין (אף אחד לא ביטל את הפעולות היסודיות של המתמטיקה!), אנחנו מקבלים:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

זה כמעט הכל. הסרת בסיסים:

אנחנו פותרים את המפלצת הזו ומקבלים

זו התשובה הנכונה.

בדוגמה זו, הכרת הכוחות של שניים עזרה לנו. אָנוּ מזוההב-8, ה-deuce המוצפן. טכניקה זו (קידוד בסיסים משותפים תחת מספרים שונים) היא טריק פופולרי מאוד במשוואות אקספוננציאליות! כן, אפילו בלוגריתמים. אדם חייב להיות מסוגל לזהות את החזקות של מספרים אחרים במספרים. זה חשוב ביותר לפתרון משוואות אקספוננציאליות.

העובדה היא שלהעלות כל מספר לכל כוח הוא לא בעיה. תכפילו, אפילו על פיסת נייר, וזה הכל. לדוגמה, כל אחד יכול להעלות 3 בחזקת חמישית. 243 יתברר אם אתה מכיר את לוח הכפל.) אבל במשוואות אקספוננציאליות, לעתים קרובות יותר יש צורך לא להעלות לחזקה, אלא להיפך ... איזה מספר עד כמהמסתתר מאחורי המספר 243, או, נניח, 343... שום מחשבון לא יעזור לך כאן.

אתה צריך לדעת את הכוחות של כמה מספרים לפי הראייה, כן... נתאמן?

קבע אילו חזקות ואיזה מספרים הם מספרים:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

תשובות (בבלגן, כמובן!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

אם תסתכלו היטב, תוכלו לראות עובדה מוזרה. יש יותר תשובות משאלות! ובכן, זה קורה... לדוגמה, 2 6, 4 3, 8 2 זה הכל 64.

בוא נניח ששמתם לב למידע על היכרות עם מספרים.) הרשו לי להזכיר לכם שלפתרון משוואות אקספוננציאליות, אנו מיישמים הכלמלאי ידע מתמטי. כולל מהמעמדות הבינוניים-נמוכים. לא הלכת ישר לתיכון, נכון?

לדוגמה, כאשר פותרים משוואות אקספוננציאליות, הצבת הגורם המשותף בין סוגריים עוזרת לעיתים קרובות מאוד (שלום לכיתה 7!). בוא נראה דוגמה:

3 2x+4 -11 9 x = 210

ושוב, מבט ראשון - בשטח! הבסיסים של המעלות שונים... שלוש ותשע. ואנחנו רוצים שהם יהיו אותו הדבר. ובכן, במקרה זה, הרצון הוא די ריאלי!) כי:

9 x = (3 2) x = 3 2x

על פי אותם כללים לפעולות עם תארים:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

זה נהדר, אתה יכול לכתוב:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

הבאנו דוגמה מאותן סיבות. אז מה הלאה!? אי אפשר לזרוק שלשות... מבוי סתום?

בכלל לא. לזכור את כלל ההחלטה האוניברסלי והחזק ביותר את כלמשימות מתמטיקה:

אם אתה לא יודע מה לעשות, תעשה מה שאתה יכול!

אתה מסתכל, הכל נוצר).

מה יש במשוואה האקספוננציאלית הזו פחיתלַעֲשׂוֹת? כן, הצד השמאלי מבקש ישירות סוגריים! הגורם המשותף של 3 2x מרמז על כך בבירור. בוא ננסה, ואז נראה:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

הדוגמה הולכת ומשתפרת!

נזכיר שכדי לחסל בסיסים צריך דרגה טהורה, ללא כל מקדמים. המספר 70 מטריד אותנו. אז נחלק את שני הצדדים של המשוואה ב-70, נקבל:

אופ-פא! הכל היה בסדר!

זו התשובה הסופית.

עם זאת, קורה שמתקבלת מונית החוצה מאותה עילה, אך חיסולן לא. זה קורה במשוואות אקספוננציאליות מסוג אחר. בוא נביא את הסוג הזה.

שינוי משתנה בפתרון משוואות אקספוננציאליות. דוגמאות.

בואו נפתור את המשוואה:

4 x - 3 2 x +2 = 0

ראשית - כרגיל. בואו נעבור לבסיס. אל הצמד.

4 x = (2 2) x = 2 2x

נקבל את המשוואה:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

והנה נתלה. הטריקים הקודמים לא יעבדו, לא משנה איך תהפוך אותו. נצטרך לצאת מהארסנל של דרך חזקה ורב-תכליתית אחרת. זה נקרא החלפת משתנה.

מהות השיטה פשוטה באופן מפתיע. במקום סמל מורכב אחד (במקרה שלנו, 2 x), אנו כותבים אחד אחר, פשוט יותר (לדוגמה, t). תחליף כזה חסר משמעות לכאורה מוביל לתוצאות מדהימות!) הכל פשוט הופך להיות ברור ומובן!

אז תן

ואז 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

אנו מחליפים במשוואה שלנו את כל החזקות ב-x ב-t:

טוב, זה שחר?) עוד לא שכחת משוואות ריבועיות? אנחנו פותרים דרך המאבחן, אנחנו מקבלים:

כאן, העיקר לא להפסיק, כמו שזה קורה... זו עדיין לא התשובה, אנחנו צריכים x, לא t. אנו חוזרים ל-Xs, כלומר. עושה תחליף. ראשון עבור t 1:

זה,

נמצא שורש אחד. אנחנו מחפשים את השני, מ-t 2:

אממ... שמאל 2 x, ימין 1... תקלה? כן, בכלל לא! מספיק לזכור (מפעולות עם תארים, כן...) שאחדות היא כלמספר עד אפס. כל. כל מה שאתה צריך, אנחנו נעמיד את זה. אנחנו צריכים שניים. אומר:

עכשיו זה הכל. יש 2 שורשים:

זו התשובה.

בְּ פתרון משוואות אקספוננציאליותבסוף מתקבלת לפעמים ביטוי מביך. סוּג:

משבעה, דפוס דרך דרגה פשוטה לא עובד. הם לא קרובי משפחה... איך אני יכול להיות כאן? מישהו עלול להתבלבל... אבל מי שקרא באתר זה את הנושא "מהו לוגריתם?" , רק חייך במשורה ורשום ביד איתנה את התשובה הנכונה לחלוטין:

לא יכולה להיות תשובה כזו במשימות "ב" בבחינה. יש צורך במספר מסוים. אבל במשימות "ג" - בקלות.

שיעור זה מספק דוגמאות לפתרון המשוואות המעריכיות הנפוצות ביותר. בואו נדגיש את העיקרית שבה.

טיפים מעשיים:

1. קודם כל, אנחנו מסתכלים על עילהמעלות. בוא נראה אם ​​אי אפשר לעשות אותם אותו הדבר.בואו ננסה לעשות זאת על ידי שימוש פעיל פעולות עם כוחות.אל תשכח שמספרים ללא x יכולים להפוך גם למעלות!

2. אנו מנסים להביא את המשוואה המעריכית לצורה כאשר שמאל וימין אותו הדברמספרים בכל רמה. אנו משתמשים פעולות עם כוחותו פירוק לגורמים.מה שאפשר לספור במספרים - אנחנו סופרים.

3. אם העצה השנייה לא עבדה, ננסה ליישם את החלפת המשתנה. התוצאה יכולה להיות משוואה שנפתרת בקלות. לרוב - מרובע. או שבר, שגם מצטמצם לריבוע.

4. כדי לפתור בהצלחה משוואות אקספוננציאליות, אתה צריך לדעת את המעלות של מספר מספרים "לפי הראייה".

כרגיל, בסוף השיעור אתם מוזמנים לפתור קצת.) לבד. מפשוט למורכב.

פתרו משוואות אקספוננציאליות:

קשה יותר:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

מצא תוצר של שורשים:

2 3-x + 2 x = 9

קרה?

ובכן, אז הדוגמה המסובכת ביותר (זה נפתר, עם זאת, בראש ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

מה יותר מעניין? אז הנה דוגמה רעה בשבילך. די מושך בקושי מוגבר. ארמוז שבדוגמה זו, כושר ההמצאה והכלל האוניברסלי ביותר לפתרון כל המשימות המתמטיות חוסכים.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

דוגמה פשוטה יותר, להרפיה):

9 2 x - 4 3 x = 0

ולקינוח. מצא את סכום השורשים של המשוואה:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

כן כן! זוהי משוואה מסוג מעורב! מה שלא התייחסנו בשיעור זה. ומה לשקול אותם, הם צריכים להיפתר!) השיעור הזה מספיק כדי לפתור את המשוואה. ובכן, צריך כושר המצאה... וכן, כיתה ז' תעזור לכם (זה רמז!).

תשובות (בחוסר סדר, מופרדים בנקודה-פסיק):

אחד; 2; 3; ארבע; אין פתרונות; 2; -2; -5; ארבע; 0.

הכל מוצלח? מְעוּלֶה.

יש בעיה? אין בעיה! בסעיף מיוחד 555, כל המשוואות המעריכיות הללו נפתרות עם הסברים מפורטים. מה, למה ולמה. וכמובן, יש מידע רב ערך נוסף על עבודה עם כל מיני משוואות אקספוננציאליות. לא רק עם אלה.)

שאלה אחרונה שכיף לשקול. בשיעור זה עבדנו עם משוואות אקספוננציאליות. למה לא אמרתי מילה על ODZ כאן?במשוואות, זה דבר מאוד חשוב, אגב...

אם אתה אוהב את האתר הזה...

אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)

אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. למידה - בעניין!)

אתה יכול להכיר פונקציות ונגזרות.

מהי משוואה אקספוננציאלית? דוגמאות.

אז, משוואה אקספוננציאלית... תערוכה ייחודית חדשה בתערוכה הכללית שלנו של מגוון רחב של משוואות!) כפי שקורה כמעט תמיד, מילת המפתח של כל מונח מתמטי חדש היא שם התואר המקביל המאפיין אותו. אז גם כאן. מילת המפתח במונח "משוואה מעריכית" היא המילה "הַפגָנָתִי". מה זה אומר? מילה זו פירושה שהלא ידוע (x) הוא מבחינת כל תואר.ורק שם! זה חשוב ביותר.

לדוגמה, המשוואות הפשוטות הללו:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

או אפילו המפלצות האלה:

2 sin x = 0.5

אני מבקש מכם לשים לב מיד לדבר אחד חשוב: ב עילהמעלות (למטה) - רק מספרים. אבל ב אינדיקטוריםמעלות (למעלה) - מגוון רחב של ביטויים עם x. בהחלט כל.) הכל תלוי במשוואה הספציפית. אם פתאום x יוצא במשוואה במקום אחר, בנוסף למחוון (נניח 3 x \u003d 18 + x 2), אז משוואה כזו כבר תהיה משוואה סוג מעורב. למשוואות כאלה אין כללים ברורים לפתרון. לכן בשיעור זה לא נתחשב בהם. לשמחת התלמידים.) כאן נשקול רק משוואות אקספוננציאליות בצורה "טהורה".

באופן כללי, אפילו משוואות אקספוננציאליות טהורות לא נפתרות בבירור בכל המקרים ולא תמיד. אבל בין המגוון העשיר של משוואות אקספוננציאליות, ישנם סוגים מסוימים שניתן וצריך לפתור. אלו סוגי המשוואות שנשקול איתך. ובהחלט נפתור את הדוגמאות.) אז אנחנו מתמקמים בנוחות ו- על הדרך! כמו ב"יורים" ממוחשבים, המסע שלנו יעבור ברמות.) מיסודי לפשוט, מפשוט לבינוני ומבינוני למורכב. על הדרך גם תחכו לרמה סודית - טריקים ושיטות לפתרון דוגמאות לא סטנדרטיות. אלה שלא תקראו עליהם ברוב ספרי הלימוד בבית הספר... ובכן, בסוף, כמובן, הבוס הסופי מחכה לכם בצורת שיעורי בית.)

רמה 0. מהי המשוואה המעריכית הפשוטה ביותר? פתרון המשוואות המעריכיות הפשוטות ביותר.

בתור התחלה, בואו נסתכל על יסודי גלוי לב. אתה צריך להתחיל איפשהו, נכון? לדוגמה, המשוואה הזו:

2 x = 2 2

גם בלי שום תיאוריות, לפי ההיגיון הפשוט והשכל הישר, ברור ש-x = 2. אחרת, אין סיכוי, נכון? שום ערך אחר של x אינו טוב... עכשיו בואו נפנה את תשומת הלב שלנו תיעוד החלטותהמשוואה המעריכית המגניבה הזו:

2 x = 2 2

X = 2

מה קרה לנו? והדבר הבא קרה. אנחנו, למעשה, לקחנו ו...פשוט זרקנו את אותם בסיסים (שניים)! נזרק לגמרי. ומה שנוח, פגע בעין!

כן, אכן, אם במשוואה המעריכית משמאל וימין נמצאים אותו הדברמספרים בכל דרגה, אז ניתן לזרוק את המספרים הללו ופשוט להשוות את המעריכים. מתמטיקה מאפשרת.) ואז אתה יכול לעבוד בנפרד עם אינדיקטורים ולפתור משוואה הרבה יותר פשוטה. זה נהדר, נכון?

הנה רעיון המפתח של פתרון כל (כן, בדיוק כל!) משוואה אקספוננציאלית: בעזרת טרנספורמציות זהות, יש צורך לוודא שהשמאל והימין במשוואה אותו הדבר מספרי בסיס בדרגות שונות. ואז אתה יכול להסיר בבטחה את אותם בסיסים ולהשוות את המעריכים. ועבוד עם משוואה פשוטה יותר.

ועכשיו אנחנו זוכרים את כלל הברזל: אפשר להסיר את אותם בסיסים אם ורק אם במשוואה משמאל ומימין מספרי הבסיס הם בבדידות גאה.

מה זה אומר, בבידוד נפלא? זה אומר בלי שום שכנים ומקדמים. אני מסביר.

למשל במשוואה

3 3 x-5 = 3 2 x +1

אתה לא יכול להסיר שלישיות! למה? כי בשמאל יש לנו לא רק שלושה בודדים בדרגה, אלא עֲבוֹדָה 3 3 x-5 . משולש נוסף מפריע: מקדם, אתה מבין.)

ניתן לומר אותו דבר על המשוואה

5 3 x = 5 2 x +5 x

גם כאן כל הבסיסים זהים - חמישה. אבל בצד ימין אין לנו אפילו מעלה אחת של חמש: יש את סכום המעלות!

בקיצור, יש לנו את הזכות להסיר את אותם בסיסים רק כאשר המשוואה האקספוננציאלית שלנו נראית כך ורק כך:

או (איקס) = א (איקס)

סוג זה של משוואה מעריכית נקרא הכי פשוט. או מבחינה מדעית, קנוני . ולא משנה מה תהיה המשוואה המעוותת שלפנינו, כך או אחרת, נצמצם אותה לצורה כה פשוטה (קנונית). או, במקרים מסוימים, כדי אגרגטיםמשוואות מהסוג הזה. אז ניתן לשכתב את המשוואה הפשוטה ביותר שלנו בצורה כללית באופן הבא:

F(x) = g(x)

וזה הכל. זה יהיה השינוי המקביל. יחד עם זאת, כל ביטוי עם x יכול לשמש כ-f(x) ו-g(x). מה שתגיד.

אולי תלמיד סקרן במיוחד ישאל: למה לכל הרוחות אנחנו זורקים בקלות ובפשטות את אותם בסיסים משמאל וימין ומשווים את המעריכים? אינטואיציה היא אינטואיציה, אבל פתאום, באיזו משוואה ומשום מה, הגישה הזו תתברר כשגויה? האם זה תמיד חוקי לזרוק את אותם הבסיסים?למרבה הצער, כדי לקבל תשובה מתמטית קפדנית לשאלה המעניינת הזו, צריך לחקור די עמוק ורציני לתוך התיאוריה הכללית של המבנה וההתנהגות של פונקציות. וקצת יותר ספציפית - בתופעה מונוטוניות קפדנית.בפרט, המונוטוניות הקפדנית פונקציה מעריכיתy= a x. מכיוון שהפונקציה האקספוננציאלית ותכונותיה הן שעומדות בבסיס הפתרון של משוואות מעריכיות, כן.) תשובה מפורטת לשאלה זו תינתן בשיעור מיוחד נפרד שיוקדש לפתרון משוואות מורכבות לא סטנדרטיות תוך שימוש במונוטוניות של פונקציות שונות.)

להסביר את הנקודה הזו בפירוט עכשיו זה רק להוציא את המוח של תלמיד בית ספר ממוצע ולהפחיד אותו מבעוד מועד עם תיאוריה יבשה וכבדה. אני לא אעשה את זה.) שכן המשימה העיקרית שלנו כרגע היא למד לפתור משוואות אקספוננציאליות!הכי פשוט! לכן, עד שנזיע וזורקים באומץ את אותן הסיבות. זה פחית, קח את המילה שלי!) ואז כבר נפתור את המשוואה המקבילה f (x) = g (x). ככלל, זה פשוט יותר מהאקספוננציאלי המקורי.

ההנחה היא, כמובן, שאנשים כבר יודעים לפתור לפחות , ומשוואות, כבר בלי x באינדיקטורים.) מי שעדיין לא יודע איך, מוזמן לסגור את הדף הזה, לצעוד בקישורים המתאימים ולמלא הפערים הישנים. אחרת, יהיה לך קשה, כן...

אני שותק לגבי משוואות לא רציונליות, טריגונומטריות ואחרות אכזריות שיכולות לצוץ גם בתהליך חיסול הבסיסים. אבל אל תיבהלו, לעת עתה לא נשקול פח גלוי במונחים של מעלות: זה מוקדם מדי. נתאמן רק על המשוואות הפשוטות ביותר.)

כעת שקול משוואות הדורשות מאמץ נוסף כדי לצמצם אותן לפשוטה ביותר. כדי להבדיל ביניהם, בואו נקרא להם משוואות אקספוננציאליות פשוטות. אז בואו נעבור לשלב הבא!

רמה 1. משוואות אקספוננציאליות פשוטות. להכיר תארים! אינדיקטורים טבעיים.

כללי המפתח בפתרון כל משוואות אקספוננציאליות הם כללים להתמודדות עם תארים. בלי הידע והכישורים האלה, שום דבר לא יעבוד. אבוי. אז, אם יש בעיות עם התארים, אז בתור התחלה אתה מוזמן. בנוסף, אנחנו גם צריכים. טרנספורמציות אלו (ככל שתיים!) הן הבסיס לפתרון כל משוואות המתמטיקה באופן כללי. ולא רק חלונות ראווה. אז מי ששכח, תטייל גם בקישור: שמתי אותם מסיבה כלשהי.

אבל רק פעולות בעלות כוחות ותמורות זהות אינן מספיקות. זה גם דורש התבוננות אישית וכושר המצאה. אנחנו צריכים את אותה עילה, לא? אז אנחנו בוחנים את הדוגמה ומחפשים אותם בצורה מפורשת או מוסווה!

לדוגמה, המשוואה הזו:

3 2x – 27x +2 = 0

מבט ראשון על עילה. הם שונים! שלוש ועשרים ושבע. אבל זה מוקדם מדי להיכנס לפאניקה וליפול לייאוש. הגיע הזמן לזכור את זה

27 = 3 3

המספרים 3 ו-27 הם ​​קרובי משפחה בדרגה! יתר על כן, קרובי משפחה.) לכן, יש לנו כל זכות לרשום:

27 x +2 = (3 3) x+2

ועכשיו אנחנו מחברים את הידע שלנו על פעולות עם תארים(והזהרתי אותך!). יש נוסחה מאוד שימושית כזו:

(am) n = a mn

עכשיו אם אתה מריץ את זה בקורס, זה בדרך כלל יוצא בסדר:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

הדוגמה המקורית נראית כעת כך:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

נהדר, הבסיסים של התארים התיישרו. למה שאפנו אליו. חצי העבודה בוצעה.) ועכשיו אנחנו משיקים את שינוי הזהות הבסיסי - אנחנו מעבירים 3 3 (x +2) ימינה. אף אחד לא ביטל את הפעולות היסודיות של המתמטיקה, כן.) אנחנו מקבלים:

3 2 x = 3 3(x +2)

מה נותן לנו משוואה כזו? והעובדה שעכשיו המשוואה שלנו מצטמצמת לצורה קנונית: משמאל ומימין אותם מספרים (שלשות) בחזקות. ושתי השלשות - בבידוד נפלא. אנו מסירים באומץ את השלישייה ומקבלים:

2x = 3(x+2)

אנחנו פותרים את זה ומקבלים:

X=-6

זה כל מה שיש בזה. זו התשובה הנכונה.)

ועכשיו אנחנו מבינים את מהלך ההחלטה. מה הציל אותנו בדוגמה הזו? ניצלנו בידיעת דרגות המשולש. איך בדיוק? אָנוּ מזוההמספר 27 מוצפן שלוש! הטריק הזה (הקידוד אותו בסיס תחת מספרים שונים) הוא אחד הפופולריים ביותר במשוואות אקספוננציאליות! אלא אם כן הוא הפופולרי ביותר. כן, וגם, אגב. לכן התצפית והיכולת לזהות חזקות של מספרים אחרים במספרים כל כך חשובות במשוואות מעריכיות!

עצה מעשית:

אתה צריך לדעת את הכוחות של מספרים פופולריים. בפנים!

כמובן שכל אחד יכול להעלות שניים לחזקה שביעית או שלוש לחמישית. לא בדעתי, אז לפחות בטיוטה. אבל במשוואות אקספוננציאליות, הרבה יותר יש צורך לא להעלות לחזקה, אלא להיפך, לגלות איזה מספר ובאיזו מידה מסתתר מאחורי המספר, נניח, 128 או 243. וזה כבר יותר מסובך מאשר ביטוי פשוט, אתה מבין. הרגישו את ההבדל, כמו שאומרים!

מכיוון שהיכולת לזהות תארים בפנים שימושית לא רק ברמה זו, אלא גם באלה הבאות, הנה משימה קטנה עבורכם:

קבע אילו חזקות ואיזה מספרים הם מספרים:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

תשובות (פזורות, כמובן):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

כן כן! אל תתפלאו שיש יותר תשובות ממשימות. לדוגמה, 2 8, 4 4 ו-16 2 הם כולם 256.

רמה 2. משוואות אקספוננציאליות פשוטות. להכיר תארים! אקספוננטים שליליים ושברים.

ברמה זו, אנו כבר משתמשים בידע שלנו בתארים במלואם. כלומר, אנו מערבים אינדיקטורים שליליים ושברים בתהליך המרתק הזה! כן כן! אנחנו צריכים לבנות כוח, נכון?

לדוגמה, המשוואה הנוראה הזו:

שוב, תסתכל תחילה על היסודות. הבסיסים שונים! והפעם הם אפילו לא דומים אחד לשני! 5 ו-0.04... וכדי לחסל את הבסיסים יש צורך באותם... מה לעשות?

זה בסדר! למעשה, הכל אותו דבר, רק הקשר בין החמישה ל-0.04 נראה בצורה גרועה. איך אנחנו יוצאים? ונעבור לשבר הרגיל במספר 0.04! ושם, אתה מבין, הכל נוצר.)

0,04 = 4/100 = 1/25

וואו! מסתבר ש-0.04 זה 1/25! ובכן, מי היה מאמין!)

ובכן איך? עכשיו קל יותר לראות את הקשר בין המספרים 5 ו-1/25? זה מה שזה...

ועכשיו, על פי כללי המבצעים עם סמכויות עם אינדיקטור שליליאפשר לכתוב ביד איתנה:

זה מעולה. אז הגענו לאותו בסיס - חמישה. כעת אנו מחליפים את המספר הלא נוח 0.04 במשוואה ב-5 -2 ומקבלים:

שוב, על פי כללי המבצעים עם סמכויות, אנו יכולים כעת לכתוב:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

ליתר ביטחון, אני מזכיר לך (פתאום, מי לא יודע) שהכללים הבסיסיים לפעולות עם תארים תקפים עבור כלאינדיקטורים! כולל עבור שליליים.) אז אתה מוזמן לקחת ולהכפיל את האינדיקטורים (-2) ו- (x-1) לפי הכלל המתאים. המשוואה שלנו הולכת ומשתפרת:

הכל! בנוסף לחמישיות הבודדות במעלות משמאל וימין, אין שום דבר אחר. המשוואה מצטמצמת לצורה קנונית. ואז - לאורך המסלול המפותל. אנו מסירים את החמישיות ומשווים את האינדיקטורים:

איקס 2 –6 איקס+5=-2(איקס-1)

הדוגמה כמעט הסתיימה. נשארה המתמטיקה היסודית של מעמדות הביניים - פותחים (נכון!) את הסוגריים ואוספים הכל משמאל:

איקס 2 –6 איקס+5 = -2 איקס+2

איקס 2 –4 איקס+3 = 0

אנחנו פותרים את זה ומקבלים שני שורשים:

איקס 1 = 1; איקס 2 = 3

זה הכל.)

עכשיו בואו נחשוב שוב. בדוגמה זו, שוב היינו צריכים לזהות את אותו מספר בדרגות שונות! כלומר, לראות את החמישה המוצפנים במספר 0.04. והפעם, ב תואר שלילי!איך עשינו את זה? בתנועה - אין מצב. אבל לאחר המעבר משבר עשרוני של 0.04 לשבר רגיל של 1/25, הכל הודגש! ואז כל ההחלטה הלכה כמו שעון.)

לכן, עוד עצה מעשית ירוקה.

אם יש שברים עשרוניים במשוואה המעריכית, אז נעבור משברים עשרוניים לשברים רגילים. בשברים רגילים, הרבה יותר קל לזהות את הכוחות של מספרים פופולריים רבים! לאחר ההכרה, אנו עוברים משברים לחזקות עם מעריכים שליליים.

זכור שתקיפה כזו במשוואות אקספוננציאליות מתרחשת לעתים קרובות מאוד! והאדם לא נמצא בנושא. הוא מסתכל, למשל, במספרים 32 ו-0.125 ומתעצבן. לא ידוע לו שזהו אותו דוס, רק בדרגות שונות... אבל אתה כבר בנושא!)

פתור את המשוואה:

ב! זה נראה כמו אימה שקטה... עם זאת, המראה מטעה. זוהי המשוואה האקספוננציאלית הפשוטה ביותר, למרות המראה המפחיד שלה. ועכשיו אני אראה לך את זה.)

ראשית, אנו עוסקים בכל המספרים היושבים בבסיסים ובמקדמים. ברור שהם שונים, כן. אבל אנחנו עדיין לוקחים את הסיכון ומנסים לעשות אותם אותו הדבר! בואו ננסה להגיע אותו מספר בדרגות שונות. ורצוי, המספר של הקטן ביותר האפשרי. אז בואו נתחיל לפענח!

ובכן, הכל ברור עם הארבעה בבת אחת - זה 2 2. אז, כבר משהו.)

עם שבר של 0.25 - זה עדיין לא ברור. צריך לבדוק. אנו משתמשים בעצות מעשיות - עבור מעשרוני לרגיל:

0,25 = 25/100 = 1/4

כבר הרבה יותר טוב. לעת עתה זה כבר נראה בבירור ש-1/4 הוא 2 -2. נהדר, וגם המספר 0.25 דומה לדואו.)

בינתיים הכל טוב. אבל המספר הגרוע מכולם נשאר - השורש הריבועי של שניים!מה לעשות עם הפלפל הזה? האם ניתן לייצג אותו גם ככוח של שניים? ומי יודע...

ובכן, שוב אנחנו מטפסים לאוצר הידע שלנו על תארים! הפעם אנחנו מחברים בנוסף את הידע שלנו על השורשים. מהקורס של כיתה ט', אתה ואני נאלצנו לסבול שכל שורש, אם רוצים, תמיד אפשר להפוך לתואר. עם שבריר.

ככה:

במקרה שלנו:

אֵיך! מסתבר שהשורש של שניים הוא 2 1/2. זהו זה!

זה בסדר! כל המספרים הלא נוחים שלנו התבררו למעשה כדושן מוצפן.) אני לא מתווכח, איפשהו מוצפן בצורה מתוחכמת מאוד. אבל אנחנו גם מגבירים את המקצועיות שלנו בפתרון צפנים כאלה! ואז הכל כבר ברור. נחליף את המספרים 4, 0.25 ואת השורש של שתיים במשוואה שלנו בחזקת שתיים:

הכל! הבסיסים של כל המעלות בדוגמה הפכו להיות זהים - שתיים. ועכשיו נעשה שימוש בפעולות הסטנדרטיות עם תארים:

א מא n = א מ + נ

a m:a n = a m-n

(am) n = a mn

עבור הצד השמאלי אתה מקבל:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2 (5 x -16)

עבור הצד הימני יהיה:

ועכשיו המשוואה הרעה שלנו התחילה להיראות כך:

למי שלא הבין איך בדיוק יצאה המשוואה הזו, אז השאלה היא לא על משוואות אקספוננציאליות. השאלה היא על פעולות עם סמכויות. ביקשתי בדחיפות לחזור למי שיש בעיות!

הנה קו הסיום! מתקבלת הצורה הקנונית של המשוואה המעריכית! ובכן איך? האם שכנעתי אותך שזה לא כל כך מפחיד? ;) אנו מסירים את הצמדים ומשווים את האינדיקטורים:

נותר רק לפתור את המשוואה הליניארית הזו. אֵיך? בעזרת טרנספורמציות זהות כמובן.) תפתרו את מה שכבר יש! הכפלו את שני החלקים בשניים (כדי להסיר את השבר 3/2), הזיזו את האיברים עם איקסים שמאלה, בלי איקסים ימינה, הביאו כמו אחדים, ספרו - ותשמחו!

הכל אמור להתברר יפה:

X=4

עכשיו בואו נחשוב מחדש על ההחלטה. בדוגמה זו, ניצלנו על ידי המעבר מ שורש ריבועיל תואר עם מעריך 1/2. יתרה מכך, רק טרנספורמציה ערמומית שכזו עזרה לנו בכל מקום להגיע לאותו בסיס (דאו), שהציל את המצב! ואלמלא זה, אז הייתה לנו כל סיכוי לקפוא לנצח ולעולם לא להתמודד עם הדוגמה הזו, כן...

לכן, איננו מזניחים את העצה המעשית הבאה:

אם יש שורשים במשוואה המעריכית, אז נעבור משורשים לחזקות עם מעריכי שבר. לעתים קרובות מאוד, רק טרנספורמציה כזו מבהירה את המצב הנוסף.

כמובן, כוחות שליליים ושברים הם כבר הרבה יותר מסובכים מכוחות טבעיים. לפחות מבחינת תפיסה ויזואלית ובעיקר הכרה מימין לשמאל!

ברור שהעלאה ישירה, למשל, של שתיים בחזקת -3 או ארבע בחזקת -3/2 היא לא בעיה כל כך גדולה. למי שיודע.)

אבל לך, למשל, תבין את זה מיד

0,125 = 2 -3

אוֹ

כאן שולטים רק תרגול וניסיון עשיר, כן. וכמובן, מבט ברור, מהו מעריך שלילי ושבר.וגם - עצות מעשיות! כן, כן, אלה ירוק.) אני מקווה שבכל זאת הם יעזרו לך לנווט טוב יותר בכל מגוון התארים הגדושים ויגדילו משמעותית את סיכויי ההצלחה שלך! אז בואו לא נזניח אותם. לא סתם אני כותב בירוק לפעמים.)

מצד שני, אם תהפוך ל"אתה" אפילו עם כוחות אקזוטיים כמו שליליים ושברים, אז האפשרויות שלך בפתרון משוואות מעריכיות יתרחבו מאוד, וכבר תוכל להתמודד עם כמעט כל סוג של משוואות מעריכיות. ובכן, אם לא, אז 80 אחוז מכל המשוואות המעריכיות - בטוח! כן, כן, אני לא צוחק!

אז, החלק הראשון של ההיכרות שלנו עם משוואות אקספוננציאליות הגיע למסקנה ההגיונית שלו. ובתור אימון בין לבין, אני מציע באופן מסורתי לפתור קצת לבד.)

תרגיל 1.

כדי שדבריי על פענוח דרגות שליליות ושבריות אינן לשווא, אני מציע לשחק משחק קטן!

הבע את המספר בחזקת שתיים:

תשובות (בחוסר סדר):

קרה? מְעוּלֶה! ואז אנחנו עושים משימת לחימה - אנחנו פותרים את המשוואות האקספוננציאליות הפשוטות והפשוטות ביותר!

משימה 2.

פתרו משוואות (כל התשובות הן בלגן!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

תשובות:

x=16

איקס 1 = -1; איקס 2 = 2

איקס = 5

קרה? אכן, הרבה יותר קל!

אז נפתור את המשחק הבא:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x 7 x

תשובות:

איקס 1 = -2; איקס 2 = 2

איקס = 0,5

איקס 1 = 3; איקס 2 = 5

והדוגמאות האלה של שמאל אחד? מְעוּלֶה! אתה גדל! אז הנה עוד כמה דוגמאות שתוכלו לנשנש מהן:

תשובות:

איקס = 6

איקס = 13/31

איקס = -0,75

איקס 1 = 1; איקס 2 = 8/3

והאם הוחלט? ובכן, כבוד! אני מוריד את הכובע.) אז, השיעור לא היה לשווא, והרמה הראשונית של פתרון משוואות אקספוננציאליות יכולה להיחשב כשולטת בהצלחה. קדימה - הרמות הבאות ומשוואות מורכבות יותר! וטכניקות וגישות חדשות. ודוגמאות לא סטנדרטיות. והפתעות חדשות.) כל זה - בשיעור הבא!

משהו לא עבד? אז, סביר להניח, הבעיות נמצאות ב. או ב. או שניהם בו זמנית. כאן אני חסר אונים. אני שוב יכול להציע רק דבר אחד - אל תתעצלו ותטיילו בקישורים.)

המשך יבוא.)

בשלב ההכנה למבחן הסופי, תלמידי תיכון צריכים לשפר את הידע שלהם בנושא "משוואות אקספוננציאליות". הניסיון של השנים האחרונות מצביע על כך שמטלות כאלה גורמות לקשיים מסוימים עבור תלמידי בית הספר. לכן, תלמידי תיכון, ללא קשר לרמת ההכנה שלהם, צריכים לשלוט בקפידה בתיאוריה, לשנן את הנוסחאות ולהבין את העיקרון של פתרון משוואות כאלה. לאחר שלמדו להתמודד עם סוג זה של משימות, הבוגרים יוכלו לסמוך על ציונים גבוהים במעבר הבחינה במתמטיקה.

התכוננו למבחן הבחינה יחד עם שקולקובו!

כאשר חוזרים על החומרים שנסקרו, תלמידים רבים מתמודדים עם הבעיה של מציאת הנוסחאות הדרושות לפתרון המשוואות. ספר לימוד לא תמיד בהישג יד, והבחירה של המידע הדרוש על נושא באינטרנט נמשכת זמן רב.

הפורטל החינוכי של שקולקובו מזמין את התלמידים להשתמש במאגר הידע שלנו. אנו מיישמים שיטה חדשה לחלוטין להכנה למבחן הסופי. בלימוד באתר שלנו תוכלו לזהות פערי ידע ולשים לב בדיוק לאותן משימות הגורמות לקשיים הגדולים ביותר.

מורי "שקולקובו" אספו, עשו שיטתיות והציגו את כל החומר הדרוש למעבר מוצלח של הבחינה בצורה הפשוטה והנגישה ביותר.

ההגדרות והנוסחאות העיקריות מוצגות בסעיף "התייחסות תיאורטית".

להטמעה טובה יותר של החומר, אנו ממליצים לתרגל את המטלות. סקור בקפידה את הדוגמאות של משוואות אקספוננציאליות עם פתרונות המוצגים בדף זה כדי להבין את אלגוריתם החישוב. לאחר מכן, המשך עם המשימות בסעיף "קטלוגים". אתה יכול להתחיל עם המשימות הקלות ביותר או ללכת ישר לפתרון משוואות מעריכיות מורכבות עם מספר לא ידועים או . מאגר התרגילים באתר שלנו מתווסף ומתעדכן כל הזמן.

את הדוגמאות האלה עם אינדיקטורים שגרמו לך קשיים אפשר להוסיף ל"מועדפים". כך שתוכל למצוא אותם במהירות ולדון בפתרון עם המורה.

כדי לעבור בהצלחה את הבחינה, למד בכל יום בפורטל שקולקובו!

שיעור זה מיועד למי שרק מתחיל ללמוד משוואות אקספוננציאליות. כמו תמיד, נתחיל עם הגדרה ודוגמאות פשוטות.

אם אתה קורא את השיעור הזה, אז אני חושד שכבר יש לך לפחות הבנה מינימלית של המשוואות הפשוטות ביותר - לינארית וריבועית: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ וכו'. כדי להיות מסוגל לפתור מבנים כאלה הוא הכרחי לחלוטין כדי לא "להיתלות" בנושא שיידון כעת.

אז, משוואות אקספוננציאליות. תן לי לתת לך כמה דוגמאות:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

חלקם עשויים להיראות לכם מסובכים יותר, חלקם, להיפך, פשוטים מדי. אבל כולם מאוחדים על ידי תכונה חשובה אחת: הם מכילים פונקציה מעריכית $f\left(x \right)=((a)^(x))$. לפיכך, אנו מציגים את ההגדרה:

משוואה מעריכית היא כל משוואה שמכילה פונקציה מעריכית, כלומר. ביטוי של הצורה $((a)^(x))$. בנוסף לפונקציה שצוינה, משוואות כאלה יכולות להכיל כל מבנים אלגבריים אחרים - פולינומים, שורשים, טריגונומטריה, לוגריתמים וכו'.

אז בסדר. הבין את ההגדרה. עכשיו השאלה היא: איך פותרים את כל השטויות האלה? התשובה פשוטה ומורכבת בו זמנית.

נתחיל עם החדשות הטובות: מניסיוני עם תלמידים רבים, אני יכול לומר שעבור רובם, משוואות מעריכיות הן הרבה יותר קלות מאותם לוגריתמים, ועוד יותר מכך טריגונומטריה.

אבל יש גם חדשות רעות: לפעמים מבקרים את מהדרי הבעיות של כל מיני ספרי לימוד ומבחנים ב"השראה", והמוח המודלק בסמים מתחיל לייצר משוואות כל כך אכזריות, שזה הופך להיות בעייתי לא רק לתלמידים לפתור אותן - אפילו מורים רבים נתקעים בבעיות כאלה.

עם זאת, בואו לא נדבר על דברים עצובים. ונחזור לאותן שלוש המשוואות שניתנו ממש בתחילת הסיפור. בואו ננסה לפתור כל אחד מהם.

משוואה ראשונה: $((2)^(x))=4$. ובכן, לאיזה כוח צריך להעלות את המספר 2 כדי לקבל את המספר 4? אולי השני? אחרי הכל, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - והשגנו את השוויון המספרי הנכון, כלומר. אכן $x=2$. ובכן, תודה, כובע, אבל המשוואה הזו הייתה כל כך פשוטה שאפילו החתול שלי יכול לפתור אותה. :)

בואו נסתכל על המשוואה הבאה:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

אבל כאן זה קצת יותר קשה. תלמידים רבים יודעים ש$((5)^(2))=25$ היא לוח הכפל. יש גם שחושדים ש$((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ היא בעצם ההגדרה של מעריכים שליליים (בדומה לנוסחה $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

לבסוף, רק מעטים נבחרים מנחשים שניתן לשלב עובדות אלו והתוצאה היא התוצאה הבאה:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2)))\]

לפיכך, המשוואה המקורית שלנו תכתוב מחדש באופן הבא:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\חץ ימינה ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

ועכשיו זה כבר פתור לגמרי! בצד שמאל של המשוואה יש פונקציה אקספוננציאלית, בצד ימין של המשוואה יש פונקציה מעריכית, אין שום דבר מלבדם בשום מקום אחר. לכן, אפשר "לזרוק" את הבסיסים ולהשוות בטיפשות את האינדיקטורים:

קיבלנו את המשוואה הליניארית הפשוטה ביותר שכל תלמיד יכול לפתור בכמה שורות בלבד. בסדר, בארבע שורות:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

אם אינכם מבינים מה קרה בארבע השורות האחרונות, הקפידו לחזור לנושא "משוואות לינאריות" ולחזור עליו. כי ללא הטמעה ברורה של הנושא הזה, מוקדם מדי בשבילך לקחת על עצמך משוואות מעריכיות.

\[((9)^(x))=-3\]

נו, איך מחליטים? מחשבה ראשונה: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, אז ניתן לשכתב את המשוואה המקורית כך:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

אז נזכור שכאשר מעלים תואר לעוצמה, האינדיקטורים מוכפלים:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

ועל החלטה כזו, אנחנו מקבלים גזרה ראויה ביושר. כי אנחנו, בשוויון נפש של פוקימון, שלחנו את סימן המינוס מול השלושה בחזקת השלושה הזו ממש. ואתה לא יכול לעשות את זה. וזה למה. תסתכל על הכוחות השונים של המשולש:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(מטריקס)\]

כשהרכבתי את הטאבלט הזה, לא הפרברטיי ברגע שעשיתי: שקלתי מעלות חיוביות ושליליות, ואפילו חלקיות... ובכן, איפה יש כאן לפחות מספר שלילי אחד? הוא לא! וזה לא יכול להיות, כי הפונקציה המעריכית $y=((a)^(x))$, ראשית, תמיד לוקחת רק ערכים חיוביים (לא משנה כמה תכפיל אחד או תחלק בשניים, זה עדיין יהיה מספר חיובי), ושנית, הבסיס של פונקציה כזו, המספר $a$, הוא בהגדרה מספר חיובי!

ובכן, אז איך לפתור את המשוואה $((9)^(x))=-3$? לא, אין שורשים. ובמובן הזה, משוואות אקספוננציאליות מאוד דומות למשוואות ריבועיות - יכול להיות שגם אין שורשים. אבל אם במשוואות ריבועיות מספר השורשים נקבע על ידי המבחין (המבחין חיובי - 2 שורשים, שלילי - אין שורשים), אז במשוואות מעריכי הכל תלוי במה שנמצא מימין לסימן השוויון.

לפיכך, אנו מנסחים את מסקנת המפתח: למשוואה המעריכית הפשוטה ביותר של הצורה $((a)^(x))=b$ יש שורש אם ורק אם $b>0$. בידיעת העובדה הפשוטה הזו, תוכל לקבוע בקלות אם למשוואה המוצעת לך יש שורשים או לא. הָהֵן. האם כדאי בכלל לפתור את זה או מיד לרשום שאין שורשים.

ידע זה יעזור לנו פעמים רבות כאשר נצטרך לפתור בעיות מורכבות יותר. בינתיים, מספיק מילים - הגיע הזמן ללמוד את האלגוריתם הבסיסי לפתרון משוואות אקספוננציאליות.

כיצד לפתור משוואות אקספוננציאליות

אז בואו ננסח את הבעיה. יש צורך לפתור את המשוואה המעריכית:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

לפי האלגוריתם ה"נאיבי" בו השתמשנו קודם לכן, יש צורך לייצג את המספר $b$ בחזקת המספר $a$:

בנוסף, אם במקום המשתנה $x$ יהיה ביטוי כלשהו, ​​נקבל משוואה חדשה, שכבר ניתן לפתור. לדוגמה:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\חץ ימינה ((3)^(-x))=((3)^(4))\חץ ימינה -x=4\חץ ימינה x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\rightarrow 2x=3\rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

ובאופן מוזר, התוכנית הזו עובדת בכ-90% מהמקרים. מה עם שאר 10% אז? 10% הנותרים הם משוואות אקספוננציאליות מעט "סכיזופרניות" מהצורה:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

לאיזה כוח אתה צריך להעלות 2 כדי לקבל 3? בראשון? אבל לא: $((2)^(1))=2$ זה לא מספיק. בשנייה? גם לא: $((2)^(2))=4$ זה יותר מדי. מה אז?

סטודנטים בעלי ידע כנראה כבר ניחשו: במקרים כאלה, כשאי אפשר לפתור "יפה", "ארטילריה כבדה" מחוברת למקרה - לוגריתמים. הרשו לי להזכיר לכם שבאמצעות לוגריתמים, כל מספר חיובי יכול להיות מיוצג בחזקת כל מספר חיובי אחר (למעט אחד):

זוכרים את הנוסחה הזו? כשאני מספר לתלמידים שלי על לוגריתמים, אני תמיד מזהיר אתכם: הנוסחה הזו (זו גם הזהות הלוגריתמית הבסיסית או, אם תרצו, ההגדרה של הלוגריתם) תרדוף אתכם במשך זמן רב מאוד ו"תצוץ" ביותר מקומות בלתי צפויים. ובכן, היא עלתה. בואו נסתכל על המשוואה שלנו ועל הנוסחה הזו:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

אם נניח ש$a=3$ הוא המספר המקורי שלנו בצד ימין, ו$b=2$ הוא הבסיס של הפונקציה האקספוננציאלית שאליה אנחנו כל כך רוצים לצמצם את הצד הימני, נקבל את הדבר הבא:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\חץ ימינה ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\חץ ימינה x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

קיבלנו תשובה קצת מוזרה: $x=((\log )_(2))3$. במשימה אחרת, עם תשובה כזו, רבים היו מפקפקים ומתחילים לבדוק שוב את הפתרון שלהם: מה אם הייתה טעות איפשהו? אני ממהר לרצות אותך: אין כאן שגיאה, ולוגריתמים בשורשים של משוואות אקספוננציאליות הם מצב די טיפוסי. אז תתרגלו. :)

כעת נפתור באנלוגיה את שתי המשוואות הנותרות:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\חץ ימינה ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\חץ ימינה ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\חץ ימינה 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

זה הכל! אגב, את התשובה האחרונה אפשר לכתוב אחרת:

אנחנו היינו שהכנסנו את המכפיל לטיעון הלוגריתם. אבל אף אחד לא מונע מאיתנו להוסיף את הגורם הזה לבסיס:

יתר על כן, כל שלוש האפשרויות נכונות - הן רק צורות שונות של כתיבת אותו מספר. איזה מהם לבחור ולרשום בהחלטה זו תלוי בך.

לפיכך, למדנו לפתור כל משוואות אקספוננציאליות בצורה $((a)^(x))=b$, כאשר המספרים $a$ ו-$b$ חיוביים בהחלט. עם זאת, המציאות הקשה של העולם שלנו היא שמשימות פשוטות כאלה יפגשו אותך לעתים רחוקות מאוד. לעתים קרובות יותר תיתקלו במשהו כזה:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(align)\]

נו, איך מחליטים? האם אפשר לפתור את זה בכלל? ואם כן איך?

בלי פאניקה. כל המשוואות הללו מצטמצמות במהירות ובפשטות לאותן נוסחאות פשוטות שכבר שקלנו. אתה רק צריך לדעת לזכור כמה טריקים מקורס האלגברה. וכמובן, אין כאן כללים לעבודה עם תארים. אני אדבר על כל זה עכשיו. :)

טרנספורמציה של משוואות אקספוננציאליות

הדבר הראשון שצריך לזכור הוא שכל משוואה מעריכית, מורכבת ככל שתהיה, בדרך זו או אחרת חייבת להיות מופחתת למשוואות הפשוטות ביותר - אלו שכבר שקלנו ושאנחנו יודעים לפתור. במילים אחרות, הסכימה לפתרון כל משוואה אקספוננציאלית נראית כך:

1. רשום את המשוואה המקורית. לדוגמה: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. תעשה כמה שטויות. או אפילו איזה שטות שנקראת "לשנות את המשוואה";
3. בפלט, קבל את הביטויים הפשוטים ביותר כמו $((4)^(x))=4$ או משהו אחר כזה. יתרה מכך, משוואה ראשונית אחת יכולה לתת כמה ביטויים כאלה בבת אחת.

עם הנקודה הראשונה, הכל ברור - אפילו החתול שלי יכול לכתוב את המשוואה על עלה. גם עם הנקודה השלישית, כך נראה, זה פחות או יותר ברור - כבר פתרנו למעלה צרור שלם של משוואות כאלה.

אבל מה לגבי הנקודה השנייה? מהן התמורות? מה להמיר למה? ואיך?

ובכן, בוא נבין את זה. קודם כל, אני רוצה לציין את הדברים הבאים. כל המשוואות המעריכיות מחולקות לשני סוגים:

1. המשוואה מורכבת מפונקציות אקספוננציאליות עם אותו בסיס. דוגמה: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. הנוסחה מכילה פונקציות אקספוננציאליות עם בסיסים שונים. דוגמאות: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ ו-$((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

נתחיל עם משוואות מהסוג הראשון – הן הכי קלות לפתרון. ובפתרון שלהם נעזור בטכניקה כזו כמו בחירת ביטויים יציבים.

הדגשת ביטוי יציב

בואו נסתכל שוב על המשוואה הזו:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

מה אנחנו רואים? הארבעה מועלים לדרגות שונות. אבל כל החזקות הללו הן סכומים פשוטים של המשתנה $x$ עם מספרים אחרים. לכן, יש לזכור את הכללים לעבודה עם תארים:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac((((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(align)\]

במילים פשוטות, ניתן להמיר חיבור של מעריכים למכפלה של חזקות, וחיסור מומר בקלות לחילוק. בואו ננסה ליישם את הנוסחאות האלה על החזקות מהמשוואה שלנו:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

אנו משכתבים את המשוואה המקורית תוך התחשבות בעובדה זו, ולאחר מכן נאסוף את כל המונחים משמאל:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -אחד עשר; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

ארבעת האיברים הראשונים מכילים את האלמנט $((4)^(x))$ - בואו נוציא אותו מהסוגר:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

נותר לחלק את שני חלקי המשוואה בשבר $-\frac(11)(4)$, כלומר. בעצם מכפילים בשבר ההפוך - $-\frac(4)(11)$. אנחנו מקבלים:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(align)\]

זה הכל! צמצמנו את המשוואה המקורית לפשוטה ביותר וקיבלנו את התשובה הסופית.

במקביל, בתהליך הפתרון, גילינו (ואפילו הוצאנו מהסוגר) את הגורם המשותף $((4)^(x))$ - זה הביטוי היציב. זה יכול להיות מוגדר כמשתנה חדש, או שאתה יכול פשוט לבטא אותו במדויק ולקבל תשובה. בכל מקרה, עקרון המפתח של הפתרון הוא כדלקמן:

מצא במשוואה המקורית ביטוי יציב המכיל משתנה שניתן להבדיל בקלות מכל הפונקציות המעריכיות.

החדשות הטובות הן שכמעט כל משוואה אקספוננציאלית מודה בביטוי יציב שכזה.

אבל יש גם חדשות רעות: ביטויים כאלה יכולים להיות מאוד מסובכים, ויכול להיות די קשה להבחין ביניהם. אז בואו נסתכל על בעיה אחרת:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

אולי למישהו תהיה עכשיו שאלה: "פאשה, נסקלתם? להלן בסיסים שונים - 5 ו-0.2. אבל בואו ננסה להמיר כוח עם בסיס 0.2. לדוגמה, בואו נפטר מהשבר העשרוני, ונביא אותו למצב הרגיל:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

כפי שאתה יכול לראות, המספר 5 עדיין הופיע, אם כי במכנה. במקביל, האינדיקטור שוכתב כשלילי. ועכשיו אנו נזכרים באחד הכללים החשובים ביותר לעבודה עם תארים:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

כאן, כמובן, רימיתי קצת. מכיוון שלצורך הבנה מלאה, הנוסחה להיפטר מאינדיקטורים שליליים הייתה צריכה להיכתב באופן הבא:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n))))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\ חץ ימינה ((\left(\frac(1)(5)\right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1)\ מימין))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

מצד שני, שום דבר לא מנע מאיתנו לעבוד עם חלק אחד בלבד:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right))))=((\left(((5)^(-1)) \ right))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

אבל במקרה זה, אתה צריך להיות מסוגל להעלות דרגה לדרגה אחרת (אני מזכיר לך: במקרה הזה, האינדיקטורים מצטברים). אבל לא הייתי צריך "להעיף" את השברים - אולי למישהו זה יהיה קל יותר. :)

בכל מקרה, המשוואה המעריכית המקורית תיכתב מחדש כ:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+(5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

אז מסתבר שהמשוואה המקורית אפילו קלה יותר לפתרון מזו שנחשבה בעבר: כאן אתה אפילו לא צריך לייחד ביטוי יציב - הכל הצטמצם מעצמו. נותר רק לזכור ש$1=((5)^(0))$, שממנו נקבל:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(align)\]

זה כל הפתרון! קיבלנו את התשובה הסופית: $x=-2$. יחד עם זאת, אני רוצה לציין טריק אחד שפישט לנו מאוד את כל החישובים:

במשוואות אקספוננציאליות, הקפד להיפטר משברים עשרוניים, לתרגם אותם לשברים רגילים. זה יאפשר לך לראות את אותם בסיסים של התארים ולפשט מאוד את הפתרון.

כעת נעבור למשוואות מורכבות יותר שבהן ישנם בסיסים שונים, שבדרך כלל אינם ניתנים לצמצום זה לזה באמצעות חזקות.

שימוש במאפיין המעריך

הרשו לי להזכיר לכם שיש לנו עוד שתי משוואות קשות במיוחד:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(align)\]

הקושי העיקרי כאן הוא שלא ברור מה ולאיזה בסיס להוביל. איפה הביטויים הקבועים? איפה הבסיס המשותף? אין שום דבר מזה.

אבל בואו ננסה ללכת בדרך אחרת. אם אין בסיסים זהים מוכנים, אתה יכול לנסות למצוא אותם על ידי פירוק הבסיסים הזמינים.

נתחיל עם המשוואה הראשונה:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\חץ ימינה ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(align)\]

אבל אחרי הכל, אתה יכול לעשות את ההפך - להמציא את המספר 21 מהמספרים 7 ו-3. זה קל במיוחד לעשות זאת בצד שמאל, שכן האינדיקטורים של שתי המעלות זהים:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\end(align)\]

זה הכל! הוצאת את המעריך מהמוצר ומיד קיבלת משוואה יפה שאפשר לפתור בכמה שורות.

כעת נעסוק במשוואה השנייה. כאן הכל הרבה יותר מסובך:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

במקרה זה, השברים התבררו כבלתי ניתנים לצמצום, אך אם ניתן להפחית משהו, הקפידו לצמצם אותו. זה יגרום לרוב לטעמים מעניינים שאתה כבר יכול לעבוד איתם.

לצערי, לא הגענו לשום דבר. אבל אנו רואים שהמעריכים בצד שמאל במוצר הם הפוכים:

תן לי להזכיר לך: כדי להיפטר מסימן המינוס במעריך, אתה רק צריך "להעיף" את השבר. אז בואו נכתוב מחדש את המשוואה המקורית:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9) )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

בשורה השנייה, פשוט צירפנו את הסכום הכולל מהמוצר לפי הכלל $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, ובאחרון פשוט הכפילו את המספר 100 בשבר.

עכשיו שימו לב שהמספרים משמאל (בבסיס) ומימין דומים במקצת. אֵיך? כן, ברור: הם כוחות מאותו מספר! יש לנו:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

לפיכך, המשוואה שלנו תכתוב מחדש באופן הבא:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3))\right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \right))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3)\right))^(3))\right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

במקביל, בצד ימין, אתה יכול גם לקבל תואר עם אותו בסיס, שעבורו מספיק רק "להעיף" את השבר:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

לבסוף, המשוואה שלנו תקבל את הצורה:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

זה כל הפתרון. הרעיון המרכזי שלו מסתכם בעובדה שאפילו מסיבות שונות, אנחנו מנסים על ידי וו או על ידי נוכל לצמצם את הסיבות הללו לאותה אחת. בכך אנו נעזרים בטרנספורמציות אלמנטריות של משוואות ובכללים לעבודה עם כוחות.

אבל באילו כללים ומתי להשתמש? איך להבין שבמשוואה אחת צריך לחלק את שני הצדדים במשהו, ובאחרת - לפרק את בסיס הפונקציה האקספוננציאלית לגורמים?

התשובה לשאלה זו תבוא עם הניסיון. נסה את כוחך בהתחלה על משוואות פשוטות, ולאחר מכן תסבך את המשימות בהדרגה - ובקרוב מאוד הכישורים שלך יספיקו כדי לפתור כל משוואה אקספוננציאלית מאותו USE או כל עבודה עצמאית/מבחן.

וכדי לעזור לך במשימה הקשה הזו, אני מציע להוריד סט משוואות באתר שלי לפתרון עצמאי. לכל המשוואות יש תשובות, כך שאתה תמיד יכול לבדוק את עצמך.