L'espérance mathématique (MO) est la somme du produit des probabilités de tirer profit d'une transaction, multipliée par le résultat réel de chaque transaction :
Où n est le nombre de transactions.
Les transactions perdantes sont remplacées dans la formule par un signe négatif et sont soustraites lorsqu'elles sont additionnées, de sorte que l'attente prend à la fois des valeurs positives et négatives.
Les probabilités d'un résultat positif (ou risque) pour chaque transaction sont remplacées par sa valeur réelle, en ajoutant le rapport de la moyenne arithmétique des profits et des pertes. Dans ce cas, la formule ressemble à ceci :
Où la probabilité réelle est égale au pourcentage réel de transactions rentables par rapport au nombre total de transactions effectuées.
Le profit moyen est calculé comme la somme des transactions rentables divisée par leur nombre. La perte moyenne (perte moyenne) est également calculée en additionnant les valeurs négatives et en faisant la moyenne des résultats des transactions.
Le rapport entre le plat et la tendance change de manière imprévisible, il est donc impossible de calculer avec précision la probabilité que les mouvements directionnels qui ont atteint un maximum entraînent une perte qui ne peut pas être « compensée » par de petites prises.
La règle de collecte de données statistiques pour le calcul de l'espérance mathématique de profit
Les calculs des attentes mathématiques sont considérés comme fiables si :
les données incluent une période historique de 2 000 à 10 000 bougies ou barres de "période de travail" ; les tests contiennent également des sections d'une tendance à la hausse, à la baisse et à plat ; la volatilité ne présente pas de fortes déviations par rapport aux valeurs historiques (pas de crises ni de ventes de panique).
Tactiques pour augmenter la valeur de l'espérance mathématique
L'espérance mathématique dépend fortement du choix des tactiques de fixation des bénéfices et de limitation des pertes. Avant de décider de vous séparer de la stratégie trouvée ou développée, en raison du faible résultat de MO, vous devez faire attention au rapport des arrêts et des prises.
La petite taille de la limite de perte entraîne une augmentation du nombre de transactions négatives et l'accumulation des pertes. Si un trader trade l'EUR/USD en intraday, il doit tenir compte du fait que le "bruit de trading" est de 30 pips en moyenne et conduira à des déclenchements fréquents de stop loss situés dans cette zone.
Un ratio take/stop de 2 pour 1 augmente la valeur d'attente. On pense que les prises et les arrêts ne doivent pas être inférieurs à la parité (1 pour 1).
Une diminution du nombre de transactions peut entraîner une augmentation de la valeur de MO. Les traders utilisent des filtres temporels, négociant pendant la session sur des sections qui coïncident dans le temps avec le travail des bourses des pays auxquels appartiennent les devises de la paire.
Améliorer la qualité des entrées - achats ou ventes de paires de devises. Des filtres sont introduits dans le système commercial qui permettent des transactions à des points significatifs. Ce sont - des hauts et des bas historiques, des bougies qui correspondent à la tendance sur des périodes inférieures et supérieures, des lectures d'indicateurs avec une grande période (à partir de 50), etc.
Particularités de l'espérance mathématique dans le scalping
Le scalping se caractérise par un grand nombre de transactions intrajournalières avec un faible MO positif. La petite taille des arrêts dans ce cas est une exception, justifiée par la forte activité de trading. Avec une faible prévalence des profits sur les pertes, les bénéfices apportent un grand nombre de transactions dans la journée.
Il n'y a aucune exception aux autres règles tactiques - le scalpeur applique une valeur de prise fixe qui dépasse le niveau d'arrêt en valeur. La recherche de la valeur optimale de l'espérance est réalisée en sélectionnant le temps de détention de la transaction, le scalpeur ne doit pas "s'asseoir" ou travailler lorsqu'il n'y a pas de volatilité.
Le paramètre considéré ne détermine pas à lui seul l'opportunité d'adopter une stratégie. L'évaluation des performances est basée sur une analyse complète des résultats des tests.
- le nombre de garçons parmi 10 nouveau-nés.
Il est bien clair que ce nombre n'est pas connu à l'avance, et dans les dix prochains enfants nés, il peut y avoir:
Ou les garçons - seul et l'unique des options listées.
Et, pour garder la forme, un peu d'éducation physique :
- distance de saut en longueur (dans certaines unités).
Même le maître du sport n'est pas capable de le prévoir :)
Cependant, quelles sont vos hypothèses ?
2) Variable aléatoire continue - prend tout valeurs numériques d'une plage finie ou infinie.
Noter : les abréviations DSV et NSV sont populaires dans la littérature éducative
D'abord, analysons une variable aléatoire discrète, puis - continu.
Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète
- c'est conformité entre les valeurs possibles de cette grandeur et leurs probabilités. Le plus souvent, la loi est écrite dans un tableau : 
Le terme est assez courant ligne
Distribution, mais dans certaines situations, cela semble ambigu, et donc j'adhérerai à la "loi".
Et maintenant point très important: puisque la variable aléatoire nécessairement va accepter une des valeurs, puis la forme des événements correspondants groupe complet et la somme des probabilités de leur occurrence est égale à un :
ou, s'il est écrit plié :
Ainsi, par exemple, la loi de la distribution des probabilités des points sur un dé a la forme suivante : 
Aucun commentaire.
Vous pouvez avoir l'impression qu'une variable aléatoire discrète ne peut prendre que de "bonnes" valeurs entières. Dissipons l'illusion - ils peuvent être n'importe quoi :
Exemple 1
Certains jeux ont la loi de distribution des gains suivante : 
… vous rêvez probablement de telles tâches depuis longtemps :) Laissez-moi vous dire un secret - moi aussi. Surtout après avoir terminé le travail sur théorie des champs.
La solution: comme une variable aléatoire ne peut prendre qu'une valeur sur trois, les événements correspondants forment groupe complet, ce qui signifie que la somme de leurs probabilités est égale à un : 
Nous exposons le "partisan": 
– ainsi, la probabilité de gagner des unités conventionnelles est de 0,4.
Contrôle : ce dont vous avez besoin pour vous assurer.
Réponse:
Il n'est pas rare que la loi de distribution doive être compilée indépendamment. Pour cette utilisation définition classique de la probabilité, théorèmes de multiplication / addition pour les probabilités d'événements et autres jetons tervera:
Exemple 2
Il y a 50 billets de loterie dans la boîte, dont 12 gagnants, et 2 d'entre eux gagnent 1000 roubles chacun, et le reste - 100 roubles chacun. Élaborez une loi de distribution d'une variable aléatoire - la taille des gains, si un ticket est tiré au hasard dans la boîte.
La solution: comme vous l'avez remarqué, il est d'usage de placer les valeurs d'une variable aléatoire dans ordre croissant. Par conséquent, nous commençons par les plus petits gains, à savoir les roubles.
Au total, il y a 50 - 12 = 38 de ces tickets, et selon définition classique:
est la probabilité qu'un ticket tiré au sort ne gagne pas.
Le reste des cas sont simples. La probabilité de gagner des roubles est de :
Vérification : - et c'est un moment particulièrement agréable de telles tâches !
Réponse: la loi de distribution des gains requise : 
La tâche suivante pour une décision indépendante :
Exemple 3
La probabilité que le tireur atteigne la cible est . Faites une loi de distribution pour une variable aléatoire - le nombre de coups après 2 coups.
... Je savais qu'il te manquait :) On s'en souvient théorèmes de multiplication et d'addition. Solution et réponse à la fin de la leçon.
La loi de distribution décrit complètement une variable aléatoire, mais en pratique il est utile (et parfois plus utile) de n'en connaître qu'une partie. caractéristiques numériques .
Espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète
En termes simples, cela valeur moyenne attendue avec des tests répétés. Laisser une variable aléatoire prendre des valeurs avec des probabilités 
respectivement. Alors l'espérance mathématique de cette variable aléatoire est égale à somme des produits toutes ses valeurs par les probabilités correspondantes :
ou sous forme pliée : 
Calculons, par exemple, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire - le nombre de points lâchés sur un dé :
Rappelons maintenant notre jeu hypothétique : 
La question se pose : est-ce même rentable de jouer à ce jeu ? ... qui a des impressions ? Donc, vous ne pouvez pas dire « désinvolte » ! Mais cette question peut être facilement résolue en calculant l'espérance mathématique, essentiellement - moyenne pondérée probabilités de gagner :
Ainsi, l'espérance mathématique de ce jeu perdant.
Ne vous fiez pas aux impressions - faites confiance aux chiffres !
Oui, ici, vous pouvez gagner 10 ou même 20 à 30 fois de suite, mais à long terme, nous serons inévitablement ruinés. Et je ne vous conseillerais pas de jouer à de tels jeux :) Eh bien, peut-être seulement pour s'amuser.
De tout ce qui précède, il s'ensuit que l'espérance mathématique n'est PAS une valeur ALÉATOIRE.
Tâche créative pour la recherche indépendante :
Exemple 4
Monsieur X joue à la roulette européenne selon le système suivant : il mise constamment 100 roubles sur le rouge. Composez la loi de distribution d'une variable aléatoire - son gain. Calculez l'espérance mathématique des gains et arrondissez-la à kopecks. Comment moyen le joueur perd-il pour chaque pari de cent ?
Référence : La roulette européenne contient 18 secteurs rouges, 18 noirs et 1 vert ("zéro"). En cas de chute "rouge", le joueur est payé un pari double, sinon il va au revenu du casino
Il existe de nombreux autres systèmes de roulette pour lesquels vous pouvez créer vos propres tables de probabilités. Mais c'est le cas lorsque nous n'avons pas besoin de lois et de tables de distribution, car il est établi avec certitude que l'espérance mathématique du joueur sera exactement la même. Seuls les changements d'un système à l'autre
Espérance mathématique de gain/perte- l'un des indicateurs de l'efficacité du trading d'un trader sur le Forex, qui est calculé comme la somme des produits de chaque profit et perte possibles et de la probabilité d'obtenir ce gain et cette perte.
Comment l'espérance mathématique est-elle calculée sur le Forex ?
Par exemple, si nous avons la possibilité de gagner 40 % des transactions pour 3 $ et de perdre 60 % des transactions pour 1 $, alors notre espérance mathématique sera calculée comme suit :
Valeur attendue = (0,4 * 3) + (0,6 * (-1)) =1,2+(-0.6) =0,6.
Nous obtenons que notre espérance de gain pour chaque transaction est de 60 cents. En d'autres termes, il s'agit de l'efficacité du trader, exprimée en argent. Avec une espérance mathématique négative, on ne parle plus de gagner, mais de perdre.
Comment utiliser le tapis. attente?
L'espérance mathématique de gagner est un moyen efficace de révéler la rentabilité du système commercial choisi.
Après avoir collecté les statistiques de votre trade, vous pouvez calculer l'espérance mathématique, qui peut être positive ou négative.
Si la valeur de mat. les attentes sont positives, ce qui signifie que le trading est toujours rentable, le dépôt augmentera. Dans le même temps, plus la valeur de l'espérance mathématique est élevée, plus le dépôt augmentera rapidement.
Si la valeur de l'espérance mathématique est négative, cela signifie que si ces échanges se poursuivent, le dépôt sera perdu. En conséquence, vous devez apporter des ajustements à votre stratégie de trading et la réviser.
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L'espérance mathématique est le montant moyen des gains sur lesquels vous pouvez compter lorsque vous jouez des paris de bookmaker. C'est probablement le critère le plus important à suivre lors du choix d'un bookmaker. L'article est consacré au calcul de ce critère.
L'espérance mathématique est le montant des gains sur lesquels un joueur peut compter en plaçant des paris sur les mêmes cotes.
Exemple : dans un jeu de pièces, vous pariez 10 $ sur pile et vous vous attendez à réaliser un bénéfice de 11 $, avec chaque résultat réussi, votre espérance est de 0,5. Cela signifie que si vous pariez 10 $ sur pile tout le temps, alors sur la distance, vous gagnerez 0,50 $ sur chaque pari.
Calcul de l'espérance mathématique
La formule de calcul de ce critère est très simple. Premièrement, la probabilité de gagner est multipliée par le montant des gains de chaque pari. Ensuite, du résultat obtenu, nous soustrayons la probabilité de perdre et multiplions par le montant de la perte pour chaque pari.
- probabilité de gagner * montant du gain sur le pari - probabilité de perdre * montant de la perte du pari
- Tout d'abord, trouvez les cotes pour chacun des résultats : match nul, victoire, défaite.
- Pour calculer vos gains potentiels, multipliez le montant du pari par la cote décimale pour chaque sélection, puis soustrayez le montant du pari.
- Pour déterminer la probabilité d'un événement, divisez 1 par la cote décimale du résultat que nous calculons. La probabilité de perdre est égale à la somme des probabilités de gagner pour les deux autres résultats.
- Ensuite, nous substituons les valeurs pour nous dans la formule ci-dessus.
Exemple : match entre Manchester et Wigan. Cotes respectives de 1,263 et 13,5 et un match nul avec une cote de 6,5. Si vous pariez 10 $ sur Wigan, vous pouvez gagner 125 $. La probabilité d'un tel événement sera de 0,074 ou 7,4 %. (1 doit être divisé par 13,5).
La cote de l'autre résultat est la somme des chances de victoire de Manchester et d'un match nul, soit 0,792+0,154=0,946. Le montant des pertes possibles est égal à notre pari - 10 $. Notre formule finale ressemblera à ceci :
- (0,074 *125$) – (0,946 * 10$) = -0,20$
A en juger par la formule, ici notre espérance mathématique sera négative. Nous perdrons en moyenne 0,20 $ par pari.
Pourquoi le calcul de l'espérance mathématique est-il utile lors d'un pari ?
L'espérance mathématique négative ne signifie pas que nous perdrons toujours. Toutes les cotes chez les bookmakers sont unilatérales, ce qui signifie que si nous parvenons à battre le bookmaker, nous pouvons gagner.
Comment battre le bookmaker ? L'un des moyens consiste à calculer de vos propres mains toutes les probabilités d'un événement sportif particulier. En calculant vous-même les probabilités des événements, vous pouvez trouver l'erreur du bookmaker et l'utiliser habilement. Cela augmentera considérablement vos chances de gagner.
Exemple : à en juger par les cotes, les chances de Wigan de gagner sont de 7,4 %. Mais si, avec vos calculs, Wigan gagne 10 % du temps, alors notre attente de parier sur lui passera à 3,26 $.
Le calcul de l'espérance mathématique nous donne des informations supplémentaires sur les bookmakers. La plupart des bookmakers ont une espérance mathématique de -1$ pour chaque pari de 10$, et si vous trouvez une espérance mathématique positive, alors vous pouvez battre un tel bookmaker.
Le calcul de la valeur attendue est un excellent moyen de déterminer si un pari est rentable. Un mathématicien a même utilisé l'espérance mathématique pour gagner à plusieurs reprises le jackpot de la loterie. Et bien que cette technique soit très utile, de nombreux joueurs ne la connaissent pas.
L'espérance mathématique est un moyen de mesurer la probabilité d'un résultat particulier dans des situations où deux résultats possibles sont possibles (par exemple, pile ou face sur un tirage au sort). Il utilise une matrice de décision simple qui évalue les avantages et les inconvénients de chaque option.
Cette technique aide les parieurs à déterminer le montant attendu à gagner ou à perdre sur un pari particulier, avec une attente mathématique positive indiquant que l'offre est rentable. Prenons l'exemple de la loterie nationale du Royaume-Uni : une espérance mathématique négative de -0,50 signifie qu'en théorie, les joueurs perdent 50 pences sur chaque livre sterling mise, c'est-à-dire qu'un pari avec une telle espérance mathématique n'est pas rentable.
Comment calculer l'espérance mathématique
La formule pour calculer l'espérance mathématique dans une loterie est assez simple. Multipliez la probabilité de gagner par le montant qui peut être gagné sur le pari, et soustrayez la probabilité de gagner multipliée par le montant qui peut être perdu :
(montant du pari gagné x probabilité de gagner) – (montant du pari perdu x probabilité de perdre)
Un exemple simple est un tirage au sort où il y a deux façons de gagner. Supposons que vous pariez 10 € sur les deux résultats avec la même probabilité (probabilité 0,5 ou cote 2,0 lorsque vous utilisez une cote décimale). Dans ce cas, l'espérance mathématique pour chaque résultat sera 0. Nous avons obtenu 0 car la probabilité de chacun des résultats est la même. Autrement dit, si vous lancez une pièce indéfiniment, en théorie, vous ne gagnerez ni ne perdrez.
Mais en supposant que les gains sur face sont de 11 £ (c'est-à-dire une cote de 0,48 ou une cote de 2,1 en utilisant une cote décimale), alors la matrice change, et pour un pari sur face, la valeur attendue est de 50p. Cela signifie qu'avec des paris constants uniquement sur face, vous pouvez vous attendre à un profit de 50 pence pour 10 £, puisque les cotes utilisées dans cet exemple sont supérieures aux cotes implicites de face.
Par conséquent, si vous trouvez une espérance mathématique positive, vous pouvez placer des paris en toute sécurité. Mais gardez à l'esprit que cela ne fonctionne qu'à long terme, puisque l'espérance mathématique n'est qu'une valeur théorique.
Mathématiques de la loterie : Gagner à la loterie avec espérance
L'idée d'attente mathématique est apparue au 17ème siècle à la suite d'une discussion entre trois éminents mathématiciens sur les gains en jouant aux dés. L'un d'eux, Blaise Pascal, devenu plus tard célèbre pour ses travaux sur le développement binomial (triangle de Pascal), fut le premier à utiliser l'idée d'espérance mathématique, par opposition à l'intervention de Dieu.
Plusieurs années plus tard, le mathématicien roumain Stefan Mandel a réalisé comment l'espérance mathématique bien connue fonctionne par rapport aux loteries et a utilisé ses connaissances pour obtenir des avantages en jouant à la loterie.
Sur la base de l'attente mathématique, il est possible d'établir une étude de faisabilité pour la tenue de loteries.
Pour gagner le jackpot de la loterie nationale britannique, vous devez faire correspondre 6 numéros sur 49, c'est-à-dire qu'avec 14 millions de combinaisons possibles, la chance de gagner est d'une sur 14 millions. Attente négative de moins 50 pence pour chaque 1 £ misé à la Loterie nationale du Royaume-Uni. En conséquence, pour que le jeu de loterie soit rentable pour les joueurs, les gains (jackpot) doivent être bien supérieurs au montant de la mise (ticket de loterie). Mais en même temps, la loterie est un moyen sans risque pour le gouvernement de reconstituer le trésor public, de sorte que les chances de gagner sont généralement calculées par la direction de la loterie de telle sorte que l'espérance mathématique soit négative.
Et si vous classez les jeux de hasard les plus courants, du bingo au blackjack, en termes d'attentes mathématiques, les grandes loteries se trouveront tout en bas. Par exemple, la Loterie nationale du Royaume-Uni a une attente négative de moins 50 pence pour chaque livre sterling mise (c'est-à-dire -0,50). C'est pourquoi on l'appelle parfois la méthode de la fiscalité indirecte, et les mathématiques expliquent pourquoi la loterie porte malheur. Dans le même temps, les gens continuent avec plaisir d'acheter des billets de loterie, même s'ils connaissent l'attente mathématique négative de la loterie. Ils peuvent être compris, car en sacrifiant 50 pence sur chaque livre sterling, ils achètent le plaisir du jeu et ont la chance de gagner beaucoup d'argent qui peut changer radicalement leur vie.
Cependant, il existe une certaine particularité lors du calcul de l'espérance mathématique pour les loteries. Elle réside dans le fait que si le jackpot n'a été remporté à aucun tirage, son montant est ajouté au jackpot du tirage suivant. Ainsi, le montant du jackpot est accumulé et à un certain moment il peut atteindre une valeur à laquelle l'espérance mathématique deviendra déjà positive. Mandel a compris cet avantage et a cherché des moyens d'en tirer parti.
En théorie, tout est simple : il fallait attendre un jackpot suffisamment important et miser sur toutes les combinaisons possibles. En pratique, de sérieuses difficultés sont apparues, car il faut beaucoup de temps pour acheter des billets dans un magasin local et remplir toutes les combinaisons de chiffres possibles. Néanmoins, malgré la quantité de travail nécessaire, Mandel a réussi (et par la suite plus d'une fois). Ainsi, la question de savoir quel mathématicien a gagné à la loterie a une réponse : Stefan Mandel. Les fonds qu'il a dépensés pour acheter le nombre requis de billets étaient inférieurs au montant du jackpot, c'est-à-dire qu'il a vraiment fait un profit (mais n'oubliez pas qu'il a quand même eu de la chance - il a parié sur la combinaison gagnante seule, donc il n'avait pas partager les gains avec quelqu'un d'autre).
Un bon exemple d'utilisation d'une attente mathématique positive à leurs propres fins est lorsque les soi-disant "compteurs de cartes" lorsqu'ils jouent au blackjack comptent et se souviennent des cartes qui ont été libérées et qui jouent toujours, tout en gagnant un avantage et en battant le casino.
On peut dire sans risque de se tromper que le parieur moyen n'achètera jamais 14 millions de billets de loterie ou n'apprendra pas à compter les cartes, mais il existe deux situations où tout parieur peut profiter d'une valeur attendue positive : les surebets et les paris sur des sports de niche.
Surebets et espérance mathématique positive
Le surebet d'un bookmaker est la différence entre les cotes de différents bookmakers pour le même événement. Les joueurs peuvent l'utiliser pour créer une table de pari artificielle et, par conséquent, une attente mathématique positive.
Les paris sûrs sont un moyen efficace et légitime de réaliser des bénéfices depuis des décennies et gagnent de plus en plus en popularité. Cette méthode présente vraiment de grands avantages, car elle est basée sur un calcul mathématique et ne dépend pas du résultat du jeu ou du match. Par conséquent, de nombreux bookmakers essaient de toutes les manières possibles de contrer les joueurs qui utilisent des paris sûrs. Dans ce contexte, Pinnacle Sports se démarque positivement des autres, car au contraire, il soutient de tels joueurs.
Attente implicite
Alors que les paris sur les surebets utilisent une espérance mathématique positive explicite (écarts de cotes spécifiques entre les bookmakers), il existe des situations où l'espérance mathématique peut être implicite en raison de différences d'évaluation. Les joueurs sérieux créent leurs propres systèmes d'évaluation des cotes et, par conséquent, ont leur propre évaluation des chances des équipes ou des joueurs de gagner. Et si le score du joueur est très différent du score du bookmaker, une attente mathématique positive peut se produire.
Cela se produit particulièrement souvent dans les sports de niche, lorsque la différence entre les estimations du joueur et du bookmaker est la plus notable. Le résultat est une matrice de décision où les cotes du joueur sont meilleures que les cotes offertes par le bookmaker, ce qui peut vous rapporter des bénéfices à long terme sur les paris.
L'idée d'attente mathématique aurait pu naître d'une dispute entre d'éminents mathématiciens du passé dans le but de trouver des réponses aux questions les plus importantes de l'univers, mais elle peut maintenant être parfaitement utilisée à des fins plus banales. C'est un formidable outil qui permet aux joueurs d'évaluer la rentabilité de leurs paris. Si vous n'avez pas encore utilisé l'espérance mathématique, il n'est pas nécessaire de se référer à la matrice de décision pour justifier son efficacité.
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