یک چند ضلعی منتظم نامیده می شود که تمام اضلاع و همه زوایای آن برابر باشند. در بین مثلث ها، مثلث متساوی الاضلاع و فقط آن صحیح خواهد بود. یک مربع (و فقط یک مربع) یک چهار ضلعی منظم است. اجازه دهید نشان دهیم که چند ضلعی های منظم با هر تعداد ضلع وجود دارد که در آن . برای انجام این کار، ما دو روش برای ساخت چنین چند ضلعی ارائه می دهیم.
روش 1. یک دایره دلخواه بردارید و آن را به قسمت های مساوی تقسیم کنید. چنین ساخت و سازی به هیچ وجه با قطب نما و خط کش امکان پذیر نیست، اما در اینجا فرض می کنیم که چنین ساخت و سازی انجام شده است. اجازه دهید نقاط تقسیم را در موقعیت متوالی آنها روی دایره به عنوان رئوس مثلث محاط شده در این دایره در نظر بگیریم. اجازه دهید ثابت کنیم که gon ساخته شده منظم است. در واقع، اضلاع چند ضلعی ما (شکل 312) آکوردهایی هستند که توسط کمان های مساوی فرو رفته اند و بنابراین با یکدیگر برابر هستند.
همه زوایا توسط کمان های مساوی پشتیبانی می شوند و بنابراین نیز برابر هستند. بنابراین چند ضلعی منظم است.
روش 2. دوباره دایره را به قسمت های مساوی تقسیم کنید و در نقاط تقسیم بر دایره مماس بکشید. اجازه دهید هر یک از مماس ها را به نقاط تقاطع آن با مماس های ترسیم شده در نقاط تقسیم مجاور محدود کنیم. ما یک چند ضلعی منظم به دست می آوریم که اطراف یک دایره است (شکل 313). در واقع، زوایای آن همگی مساوی هستند، زیرا هر یک از آنها مانند زاویه بین مماس ها، با نصف اختلاف کمان ها اندازه گیری می شود که کوچکتر همیشه برابر با بخشی از دایره و بزرگتر همیشه برابر است با دایره کامل منهای قسمت تساوی اضلاع را حداقل می توان از تساوی مثلث هایی که توسط جفت های نیم مماس و وتر (مثلا مثلث ها و غیره) تشکیل شده اند، مشاهده کرد. همه آنها متساوی الساقین هستند، دارای زوایای برابر در رئوس و قاعده های مساوی هستند.
دو مثلث منظم با تعداد ضلع یکسان شبیه هم هستند.
در واقع، طرفین آنها آشکارا در یک رابطه ثابت، برابر با رابطه هر جفت طرف هستند. علاوه بر این، با توجه به قضیه مجموع زوایای یک -گون، هر - گون منتظم دارای زوایای یکسان، برابر با 1 است. شرایط آزمون در مورد 224 برآورده می‌شود و -گون‌ها مشابه هستند.
بنابراین، برای همه، gon های معمولی مشابه هستند. از اینجا به طور مستقیم تعدادی نتیجه به دست می آوریم:
1. دو مثلث منتظم با اضلاع مساوی مساوی هستند.
2. یک دایره را می توان در اطراف هر مثلث منظم توصیف کرد.
اثبات اجازه دهید هر چند ضلعی منتظم را با همان تعداد ضلع مورد نظر بگیریم که طبق روش اول ساخته شده است، یعنی در یک دایره محاط شده است. بیایید آن را به طور مشابه تبدیل کنیم تا برابر با داده شده شود. سپس دایره ای که دور آن احاطه شده است به طور مشابه به دایره ای تبدیل می شود که اطراف یک چند ضلعی برابر با آن مشخص شده است.
3. یک دایره را می توان در هر چند ضلعی منتظم حک کرد.
اثبات مشابه است. با این حال، مفید است که کمی متفاوت فکر کنیم. ما قبلاً می دانیم که یک دایره را می توان در اطراف یک چند ضلعی مشخص توصیف کرد. بیایید مرکز آن را بگیریم. اضلاع چند ضلعی به عنوان آکوردهای آن عمل می کنند. از آنجایی که با یکدیگر برابر هستند، باید به همان اندازه از مرکز فاصله داشته باشند. بنابراین، دایره ای با مرکز و شعاع یکسان برابر با فاصله از مرکز تا اضلاع چند ضلعی، تمام ضلع های چند ضلعی را لمس می کند، یعنی یک دایره محاطی خواهد بود.
بنابراین دایره و دایره یک چندضلعی منتظم مرکز مشترکی دارند. به آن مرکز این چند ضلعی منظم می گویند. شعاع دایره محاطی را شعاع چند ضلعی می گویند، شعاع دایره محاطی آن را می گویند. واضح است که آپوتم همیشه کمتر از شعاع است.
شما چند ضلعی. به عنوان مثال، اگر شما نیاز به پیدا کردن دارید زاویه هادرست است چند ضلعیبا 15 ضلع، n=15 را در معادله جایگزین کنید. شما S=180⁰(15-2)، S=180⁰x13، S=2340⁰ دریافت خواهید کرد.
سپس مجموع زوایای داخلی را بر تعداد آنها تقسیم کنید. به عنوان مثال، در یک چند ضلعی، تعداد زاویه ها، تعداد اضلاع است، یعنی 15. بنابراین، شما دریافت می کنید که زاویه 2340⁰/15=156⁰ است. هر گوشه داخلی چند ضلعیبرابر با 156⁰.
اگر محاسبه کردن برای شما راحت تر است زاویه ها چند ضلعیدر رادیان به صورت زیر عمل کنید. عدد 2 را از تعداد اضلاع کم کنید و اختلاف حاصل را در عدد P (Pi) ضرب کنید. سپس حاصل ضرب را بر تعداد زوایای چند ضلعی تقسیم کنید. به عنوان مثال، اگر شما نیاز به محاسبه دارید زاویه ها 15 گون معمولی، به صورت زیر عمل کنید: P*(15-2)/15=13/15P، یا 0.87P، یا 2.72 (اما، مانند، عدد P بدون تغییر باقی می ماند). یا به سادگی اندازه زاویه را بر حسب درجه بر 57.3 تقسیم کنید - این مقدار در یک رادیان است.
شما همچنین می توانید سعی کنید محاسبه کنید زاویه هادرست است چند ضلعیدر مقاطع تحصیلی برای این کار، عدد 2 را از تعداد اضلاع کم کنید، عدد حاصل را بر تعداد اضلاع تقسیم کنید و حاصل را در 200 ضرب کنید. این زاویه تقریبا هرگز استفاده نمی شود، اما اگر تصمیم بگیرید زاویه هادر تگرگ، فراموش نکنید که تگرگ به ثانیه و دقیقه متریک (هر کدام 100 ثانیه) تقسیم می شود.
ممکن است لازم باشد زاویه بیرونی صحیح را محاسبه کنید چند ضلعی، در این صورت این کار را انجام دهید. زاویه داخلی را از 180⁰ کم کنید - در نتیجه مقدار زاویه مجاور یعنی زاویه خارجی را دریافت خواهید کرد. می تواند از -180⁰ تا +180⁰ متغیر باشد.
توصیه مفید
اگر بتوانید زوایای یک چند ضلعی منظم را پیدا کنید، به راحتی می توانید آن را بسازید. یک ضلع را به طول مشخص بکشید و با نقاله زاویه مورد نظر را از آن رسم کنید. دقیقاً همان فاصله را اندازه بگیرید (همه اضلاع چند ضلعی منظم برابر هستند) و دوباره زاویه مورد نظر را کنار بگذارید. تا دیدار طرفین ادامه دهید.
منابع:
- زاویه در یک چند ضلعی منظم
یک چند ضلعی از چند بخش تشکیل شده است که به یکدیگر متصل شده و یک خط بسته را تشکیل می دهند. تمام اشکال این کلاس به ساده و پیچیده تقسیم می شوند. ساده ها شامل مثلث ها و چهار ضلعی ها هستند، در حالی که پیچیده ها شامل چند ضلعی ها با تعداد زیادی احزاب، و همچنین چند ضلعی های ستاره ای.
دستورالعمل ها
اغلب در مشکلات با یک مثلث منظم مواجه می شویم احزاباوه یک از آنجایی که چند ضلعی منظم است، پس هر سه آن احزاب s برابر هستند. بنابراین، با دانستن میانه و ارتفاع یک مثلث، می توانید تمام آن را پیدا کنید احزابس برای این کار از روش یافتن استفاده کنید احزاب s :a=x/cosα احزاباس، یعنی a=b=c=a، a=b=c=x/cosα، که در آن x ارتفاع، میانه یا نیمساز است احزاب s در یک مثلث متساوی الساقین، اما تحت یک شرط - ارتفاع معین. باید روی پایه مثلث پیش بینی شود. با دانستن ارتفاع پایه x، پیدا کنید احزاب y a:a=x/cosα چون a=b، چون مثلث متساوی الساقین است، آن را پیدا کنید احزاب s به صورت زیر است:a=b=x/cosα.بعد از اینکه طرف را پیدا کردید احزاب s یک مثلث، طول قاعده مثلث را با استفاده از قضیه فیثاغورث برای یافتن نیمی از قاعده محاسبه کنید: c/2=√(x/cosα)^2-(x^2)=√x^2 (1 -cos^2α)/ cos^2α =xtgα. از اینجا پایه را پیدا کنید:c=2xtgα.
مربع نشان دهنده، احزاب s که به روش های مختلفی محاسبه می شوند. هر یک از آنها در زیر مورد بحث قرار گرفته است. روش اول یافتن را پیشنهاد می کند احزاب s مربع از آنجایی که تمام زوایای یک مربع قائم الزاویه هستند، آنها را به گونه ای از وسط نصف می کنیم که دو مثلث قائم الزاویه با زوایای 45 درجه در . به ترتیب، احزابو مربع برابر است با:a=b=c=f=d*cosα=d√2/2، که در آن d مربع در یک دایره است، با دانستن شعاع این دایره، آن را پیدا کنید احزاب y:a4=R√2، که در آن R شعاع دایره است.
حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.
جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی
اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.
ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.
در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.
چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:
- هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.
نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:
- اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
- هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
- ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
- اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.
افشای اطلاعات به اشخاص ثالث
ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.
استثنائات:
- در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
- در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.
حفاظت از اطلاعات شخصی
ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.
احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت
برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.
بررسی مواد
چند ضلعی منتظم چند ضلعی محدب با اضلاع مساوی و زاویه های مساوی نامیده می شود.a ضلع هشت ضلعی است،
R - شعاع دایره محدود شده،
r شعاع دایره محاطی است.
مجموع زوایای داخلی یک n-gon منظم
180 (n-2).
درجه اندازه گیری زاویه داخلی یک n-gon
180 (n-2): n.
سمت راست n-ka
شعاع دایره ای که در یک چندضلعی منتظم محاط شده است
مساحت n صحیح
تمرینات
1. الف) مجموع زوایای داخلی یک شش ضلعی برابر است با:
1) 360 درجه؛ 2) 180 درجه؛ 3) 720 درجه؛ 4) 540 درجه.
ب) مجموع زوایای داخلی یک هشت ضلعی برابر است با:
1) 360 درجه؛ 2) 180 درجه؛ 3) 720 درجه؛ 4) 1080 درجه.
راه حل:
الف) بر اساس فرمول، مجموع زوایای یک شش ضلعی برابر است با: 180(6-2)=180*4=720
°
.
جواب: 720
°
.
2. الف) ضلع یک چند ضلعی منتظم 5 سانتی متر و زاویه داخلی آن 144 است°
الف) ضلع چند ضلعی منتظم 7 سانتی متر و زاویه داخلی آن 150 است°
. محیط چند ضلعی را پیدا کنید.
راه حل:
الف) 1) تعداد اضلاع چند ضلعی را بیابید:
144=180(n - 2):n;
144n=180n-360;
36n=360;
n=10.
2) محیط ده ضلعی را پیدا کنید: P=5*10=50 سانتی متر.
جواب: 50 سانتی متر.
3. الف) محیط یک پنج ضلعی منتظم 30 سانتی متر است قطر دایره ای را که به دور پنج ضلعی محصور شده است.
ب) قطر دایره 10 سانتی متر است محیط پنج ضلعی حک شده در آن را پیدا کنید.
راه حل:
الف) 1) ضلع پنج ضلعی را بیابید: 30:5=6 سانتی متر.
2) شعاع دایره محدود شده را پیدا کنید:
a=2R*sin(180
°
:n)؛
6=2R*sin (180
°
:5);
R=3:sin 36
°
=3:0.588=5.1 سانتی متر
جواب: 5.1 سانتی متر.
4. الف) مجموع زوایای داخلی یک چند ضلعی منتظم 2520 است°
ب) مجموع زوایای داخلی یک چند ضلعی منتظم 1800 است°
. تعداد اضلاع چند ضلعی را بیابید.
راه حل:
الف) تعداد اضلاع چند ضلعی را بیابید:
2520
°
= 180
°
(n-2)؛
2520
°
+360
°
=180
°
n
2880
°
=180
°
n
n=16.
جواب: 16 طرف.
5. الف) شعاع دایره ای که حول یک دوازده ضلعی منتظم است 5 سانتی متر است مساحت چند ضلعی را پیدا کنید.
ب) شعاع دایره ای که در اطراف یک هشت ضلعی منتظم قرار گرفته است 6 سانتی متر است مساحت چند ضلعی را پیدا کنید.
راه حل:
الف) مساحت دوازده ضلعی را بیابید:
S=0.5*
R 2 *n*sin(360°
:n)=0.5*25*12*sin30°
=75 سانتی متر 2
.
جواب: 75 سانتی متر 2
.
6. اگر مساحت قسمت سایه دار مشخص باشد، مساحت شش ضلعی را بیابید:
الف) 1) طول ضلع AB شش ضلعی را بیابید. مثلث ABC - متساوی الساقین (AB=BC) را در نظر بگیرید.
∠ABC=180 ° (6-2):6=120 ° .
مساحت مثلث ABC 0.5*AB*BC*sin120 است° و با شرط برابر با 48 است.
3) مساحت شش ضلعی را پیدا کنید:
جواب: 288 سانتی متر 2 .
7. الف) تعداد اضلاع یک چندضلعی منتظم را بیابید اگر زاویه خارجی آن در راس 18 باشد.°
.
ب) تعداد اضلاع یک چندضلعی منتظم را در صورتی بیابید که زاویه خارجی آن در راس 45 باشد°
.
راه حل:
الف) مجموع زوایای خارجی یک چندضلعی منتظم 360 است
°
.
بیایید تعداد اضلاع را پیدا کنیم: 360
°
:18
°
=20.
جواب: 20 طرف.
8. مساحت حلقه را در صورتی که وتر AB برابر با:
الف) 8 سانتی متر؛ ب) 10 سانتی متر
الف)
1) OV - شعاع دایره بیرونی، OH - شعاع دایره داخلی. مساحت حلقه را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد: حلقه S = دایره بیرونی S - دایره داخلی S.
S= π *OB 2 - π *OH 2 = π(OB 2 -اوه 2 ).
2) مثلث ABO - متساوی الساقین (OA = OB به عنوان شعاع) را در نظر بگیرید. OH ارتفاع و میانه در مثلث ABO است، بنابراین AN=HB=8:2=4 سانتی متر است.
3) مثلث ONB - مستطیل: HB را در نظر بگیرید 2 = OB 2 -او 2 ، از این رو
OB 2 -او 2 =16.
4) مساحت حلقه را پیدا کنید:
S=π(OB 2 -اوه 2 )=16 π سانتی متر 2 .
پاسخ:16 π سانتی متر 2 .
9. الف) اگر AC = 9 سانتی متر باشد، محیط یک شش ضلعی منظم را پیدا کنید.
ب) مساحت یک شش ضلعی منتظم را اگر FA=6 سانتی متر باشد، پیدا کنید.
الف) 1) زاویه ABC را پیدا کنید: 180 ° (6-4):6=120 ° .
2) مثلث ABC - متساوی الساقین (AB = BC به عنوان اضلاع یک شش ضلعی منتظم) را در نظر بگیرید.
∠ شما= ∠ BCA=(180° -120 ° ):2=30 ° .
طبق قضیه سینوس: AC: گناه ∠ ABC = AB: گناه∠ BCA;
AB=AC*sin30 ° :sin120;
P=6*AB;
10. ثابت کنید که در یک هشت ضلعی منتظم مساحت قسمت سایه دار برابر است با:
الف) یک چهارم مساحت هشت ضلعی؛ ب) نصف مساحت هشت ضلعی:
الف)
1) اجازه دهید نیمسازهای گوشه های هشت ضلعی را رسم کنیم، آنها در نقطه O قطع می شوند. مساحت هشت ضلعی برابر است با مجموع مساحت های هشت مثلث مساوی حاصل، یعنی. S (ABCDEFKM) =8* S (OEF).
2) ABEF چهار ضلعی متوازی الاضلاع است (AB//EF و AB=EF). قطرهای متوازی الاضلاع برابر هستند: AE=BF (به عنوان قطر دایره ای که حدود یک هشت ضلعی است)، بنابراین، ABEF یک مستطیل است. قطرهای یک مستطیل آن را به چهار مثلث مساوی تقسیم می کنند.
3) مساحت AFKM چهار ضلعی را پیدا کنید:
S (ABEF)= 4* S (OEF).
2*S (AFKM)=S (ABCDEFKM) - S (ABEF) =8* S (OEF)-4* S (OEF)=4* S (OEF).
S (AFKM)=2* S (OEF).
4) نسبت مساحت هشت ضلعی به مساحت قسمت سایه دار را بیابید:
S (ABCDEFKM): S (AFKM) = 8* S (OEF): (2* S (OEF))=4.
Q.E.D.
11. نسبت مساحت بخش BAC به مساحت شکل سایه دار را بیابید، اگر BA=AC و مساحت بخش BAC برابر با یک چهارم مساحت دایره باشد. :
الف)
1) AB=AC=2R. زاویه BAC مستقیم است، زیرا مساحت بخش BAC برابر با یک چهارم مساحت دایره است .
2) چهارضلعی AO را در نظر بگیرید 2 MO 1 . لوزی است زیرا همه اضلاع برابر با شعاع هستند و از آنجا که یکی از زاویه های آنها 90 درجه و سپس AO است 2 MO 1 - مربع
مثلث S = 0.5 R 2 سانتی متر 2 .بخش S = (0.25 π - 0.5) R 2 cm 2.
S قسمت سایه دار = 2* بخش S = 2*(0.25 π - 0.5) R2 =(0,5 π -1)R 2 sمتر 2.
4) ناحیه BAC بخش را پیدا کنید:
اسبخش ها =π *(2R) 2 *90:360= π آر 2 بامتر 2.
5) بیایید نسبت مساحت بخش BAC را به مساحت قسمت سایه دار پیدا کنیم:
π آر 2 :(0,5 π -1) R 2= 2 π : (π-2).
پاسخ: 2 π : (π-2).
وظایف برای راه حل مستقل
1. مجموع زوایای خارجی یک پنج ضلعی چقدر است؟
2. اگر مساحت ناحیه سایه دار 20 باشد مساحت هشت ضلعی چقدر است.
4. ضلع AB یک چند ضلعی منتظم 8 سانتی متر است O مرکز چند ضلعی است، زاویه AOB 36 است° . محیط چند ضلعی را پیدا کنید.
5. محیط یک هشت ضلعی منتظم 80 سانتی متر است قطر کوچکتر آن را پیدا کنید.
6. یک دایره در یک مثلث منتظم و یک دایره به دور آن محصور شده است. اگر ضلع مثلث 8 سانتی متر باشد، مساحت حلقه تشکیل شده توسط دایره ها را پیدا کنید.
7. زاویه بین دو قطر کوچکتر که از یک راس یک هفت ضلعی منتظم بیرون می آیند را بیابید.
8. یک مثلث منتظم در اطراف یک دایره توصیف شده است و یک شش ضلعی منتظم در آن حک شده است. نسبت مساحت های مثلث و شش ضلعی را بیابید.
9. یک چند ضلعی محدب دارای 48 ضلع است. تعداد قطرهای آن را بیابید.
10. ABCD یک مربع است. دایره هایی با شعاع AB از رئوس B و C رسم می شوند. نسبت مساحت شکل سایه دار را به مساحت مربع پیدا کنید:
قضیه 1. یک دایره را می توان در اطراف هر چند ضلعی منظم توصیف کرد.
اجازه دهید ABCDEF (شکل 419) یک چندضلعی منتظم باشد. لازم است ثابت شود که می توان یک دایره را در اطراف آن توصیف کرد.
ما می دانیم که همیشه می توان یک دایره را از طریق سه نقطه ترسیم کرد که روی یک خط قرار ندارند. این بدان معنی است که همیشه می توان دایره ای رسم کرد که از هر سه راس یک چند ضلعی منتظم عبور کند، به عنوان مثال از رئوس E، D و C. بگذارید نقطه O مرکز این دایره باشد.
اجازه دهید ثابت کنیم که این دایره از راس چهارم چند ضلعی نیز عبور می کند، برای مثال از راس B.
بخش های OE، OD و OS با یکدیگر برابر هستند و هر کدام برابر با شعاع دایره است. بیایید یک بخش دیگر OB را انجام دهیم. در مورد این بخش نمی توان بلافاصله گفت که آن نیز برابر با شعاع دایره است. مثلث های OED و ODC را در نظر بگیرید، آنها متساوی الساقین و مساوی هستند، بنابراین، ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.
اگر زاویه داخلی یک چند ضلعی برابر با α باشد، آنگاه ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = α / 2. اما اگر ∠4= α / 2، آنگاه ∠5 = α / 2، یعنی. ∠4 = ∠5.
از اینجا نتیجه می گیریم که (Delta)OSD = (Delta)OSV و بنابراین، OB = OS، یعنی قطعه OB برابر با شعاع دایره ترسیم شده است. از این نتیجه می شود که دایره از راس B چندضلعی منتظم نیز عبور خواهد کرد.
با استفاده از همین تکنیک، ثابت خواهیم کرد که دایره ساخته شده از تمام رئوس دیگر چند ضلعی عبور خواهد کرد. این بدان معنی است که این دایره در مورد این چند ضلعی منتظم محصور خواهد شد. قضیه ثابت شده است.
قضیه 2. یک دایره را می توان در هر چندضلعی منظم حک کرد.
اجازه دهید ABCDEF یک چند ضلعی منتظم باشد (شکل 420)، باید ثابت کنیم که یک دایره می تواند در آن حک شود.
از قضیه قبلی مشخص شد که یک دایره را می توان در اطراف یک چندضلعی منتظم توصیف کرد. بگذارید نقطه O مرکز این دایره باشد.
بیایید نقطه Oc را با رئوس چندضلعی وصل کنیم. مثلث های به دست آمده OED، ODC و غیره با یکدیگر برابر هستند، یعنی ارتفاع آنها از نقطه O نیز برابر است، یعنی OK = OL = OM = ON = OP = OQ.
بنابراین، دایره ای که از نقطه O به عنوان از مرکز با شعاع برابر با قطعه OK توصیف می شود، از نقاط K، L، M، N، P و Q می گذرد و ارتفاع مثلث ها شعاع دایره خواهد بود. اضلاع چند ضلعی بر شعاع های این نقاط عمود هستند، بنابراین بر این دایره مماس هستند. این بدان معنی است که دایره ساخته شده در این چند ضلعی منتظم حک شده است.
همین ساختار را می توان برای هر چند ضلعی منتظم انجام داد.
نتیجه. دایره هایی که دور یک چند ضلعی منتظم محاط شده و در آن حک شده اند، مرکز مشترکی دارند.
تعاریف.
1. مرکز یک چند ضلعی منتظم مرکز مشترک دایره هایی است که پیرامون این چند ضلعی محصور شده و در آن حک شده است.
2. عمودی که از مرکز یک چند ضلعی منتظم به سمت آن کشیده می شود را آپوتم چند ضلعی منتظم می گویند.
بیان اضلاع چند ضلعی های منتظم بر حسب شعاع محیطی
با استفاده از توابع مثلثاتی، می توانید ضلع هر چندضلعی منتظم را بر حسب شعاع دایره محصور شده در اطراف آن بیان کنید.
بگذارید AB سمت راست باشد n-gon در دایره ای به شعاع OA = R محاط شده است (شکل).
بیایید OD یک چند ضلعی منظم را رسم کنیم و مثلث قائم الزاویه AOD را در نظر بگیریم. در این مثلث
∠AOD = 1/2 ∠AOB = 1/2 360 درجه / n= 180 درجه / n
AD = AO sin ∠AOD = R sin 180 درجه / n ;
اما AB = 2AD و بنابراین AB = 2R sin 180 درجه / n .
طول ضلع صحیح n-gon که در یک دایره حک شده است معمولاً نشان داده می شود a n، بنابراین فرمول حاصل را می توان به صورت زیر نوشت:
a n= 2R sin 180 درجه / n .
عواقب:
1. طول ضلع یک شش ضلعی منظم که در دایره ای به شعاع محاط شده استآر ، با فرمول بیان می شود الف 6 = R، زیرا
الف 6 = 2R sin 180° / 6 = 2R sin 30° = 2R 1/2 = R.
2. طول ضلع یک چهارضلعی منظم (مربع) که در دایره ای به شعاع محاط شده استآر ، با فرمول بیان می شود الف 4 = R√2 ، زیرا
الف 4 = 2R sin 180° / 4 = 2R sin 45° = 2R √ 2 / 2 = R√2
3. طول ضلع یک مثلث منظم که در دایره ای به شعاع محاط شده استآر ، با فرمول بیان می شود الف 3 = R√3 ، زیرا.
الف 3 = 2R sin 180° / 3 = 2R sin 60° = 2R √ 3 / 2 = R√3
مساحت یک چند ضلعی منظم
بگذارید صحیح داده شود n-گون (شکل). تعیین مساحت آن الزامی است. اجازه دهید ضلع چند ضلعی را با علامت گذاری کنیم الفو مرکز را از طریق O. ما مرکز را با انتهای هر ضلع چند ضلعی با پاره ها وصل می کنیم، مثلثی می گیریم که در آن آپوتم چند ضلعی را رسم می کنیم.
مساحت این مثلث است آه / 2. برای تعیین مساحت کل چند ضلعی، باید مساحت یک مثلث را در تعداد مثلث ها ضرب کنید، یعنی در n. دریافت می کنیم: S = آه / 2 n = ahn / 2 اما یکبرابر با محیط چند ضلعی است. بیایید آن را با R نشان دهیم.
در نهایت می‌گیریم: S = P ساعت / 2. جایی که S مساحت یک چندضلعی منتظم است، P محیط آن است، ساعت- فریضه.
مساحت یک چندضلعی منتظم برابر با نصف حاصلضرب محیط و آپوتم آن است.
مواد دیگر
در حال بارگیری...
