ادامه محاسبه کسری با استفاده از فرمول براون. معنی کسرهای ادامه دار در فرهنگ لغت Collier. نوآوری مستمر: بازخورد

کسری های ادامه دار.دنباله ای که هر جمله آن یک کسری معمولی است، یک کسری ادامه یافته (یا ادامه یافته) ایجاد می کند اگر جزء دوم آن به اولین جزء اضافه شود و هر کسری که با سوم شروع می شود به مخرج کسر قبلی اضافه می شود.

به عنوان مثال، دنباله 1، 1/2، 2/3، 3/4،...، n/(n+ 1)،... یک کسر ادامه دار ایجاد می کند

جایی که بیضی در انتها نشان می دهد که این روند به طور نامحدود ادامه دارد. به نوبه خود، یک کسر ادامه دار باعث ایجاد دنباله دیگری از کسرها به نام کسر مناسب می شود. در مثال ما، کسرهای مناسب اول، دوم، سوم و چهارم برابر هستند

آنها را می توان با استفاده از یک قانون ساده از دنباله ای از ضرایب ناقص 1، 1/2، 2/3، 3/4، ساخت... اول از همه، کسرهای مناسب اول و دوم را 1/1 و 3 می نویسیم. /2. کسر مناسب سوم برابر است با (2H 1 + 3H 3)/(2H 1 + 3H 2) یا 11/8، صورت آن برابر است با مجموع حاصلضرب های کسرهای مناسب اول و دوم، به ترتیب ضرب با صورت و مخرج سومین ضریب ناقص و مخرج برابر است با حاصل جمع مخرج های ضریب ناقص اول و دوم که به ترتیب در صورت و مخرج سومین ضریب ناقص ضرب می شود. کسر مناسب چهارم به طور مشابه از چهارمین ضریب ناقص 3/4 و کسر دوم و سوم مناسب بدست می آید: (3H 3 + 4H 11)/(3H 2 + 4H 8) یا 53/38. با پیروی از این قانون، هفت کسر مناسب اول را پیدا می کنیم: 1/1، 3/2، 11/8، 53/38، 309/222، 2119/1522 و 16687/11986. بیایید آنها را به صورت کسری اعشاری (با شش رقم اعشار) بنویسیم: 1.000000; 1.500000; 1.375000; 1.397368; 1.391892; 1.392247 و 1.392208. مقدار کسر ادامه دار ما عدد خواهد بود xکه اولین ارقام آن 1.3922 است. کسرهای برازنده بهترین تقریب یک عدد هستند x. علاوه بر این، آنها به طور متناوب یا کوچکتر یا بزرگتر از تعداد می شوند x(اعداد فرد بیشتر است xو حتی آنهایی - کمتر).

برای نشان دادن نسبت دو عدد صحیح مثبت به عنوان یک کسر ادامه یافته محدود، باید از بزرگترین روش مقسوم علیه مشترک استفاده کنید. برای مثال، بیایید نسبت 50/11 را در نظر بگیریم. از آنجایی که 50 = 4H 11 + 6 یا 11/50 = 1/(4 + 6/11)، و به طور مشابه، 6/11 = 1/(1 + 5/6) یا 5/6 = 1/(1 + 1) /5)، دریافت می کنیم:

کسرهای ادامه دار برای تقریب اعداد غیر منطقی به اعداد گویا استفاده می شوند. بیایید این را فرض کنیم x- یک عدد غیر منطقی (یعنی نمی توان به عنوان نسبت دو عدد صحیح نمایش داد). سپس اگر n 0 بزرگترین عدد صحیح است که کمتر از x، آن x = n 0 + (x – n 0) کجا x – n 0 یک عدد مثبت کوچکتر از 1 است، بنابراین معکوس آن است x 1 بزرگتر از 1 و x = n 0 + 1/x 1. اگر n 1 بزرگترین عدد صحیح است که کمتر از x 1، سپس x 1 = n 1 + (x 1 – n 1) کجا x 1 – n 1 عدد مثبتی است که کمتر از 1 است، پس معکوس آن است x 2 بزرگتر از 1 است و x 1 = n 1 + 1/x 2. اگر n 2 بزرگترین عدد صحیح است که کمتر از x 2، سپس x 2 = n 2 + 1/x 3 کجا x 3 بزرگتر از 1 است و غیره در نتیجه، گام به گام دنباله ای از ضرایب ناقص را پیدا می کنیم n 0 , 1/n 1 , 1/n 2 ,... کسرهای ادامه دار که تقریبی هستند x.

اجازه دهید این موضوع را با یک مثال توضیح دهیم. بیایید آن را فرض کنیم

6 کسر منطبق اول عبارتند از 1/1، 3/2، 7/5، 17/12، 41/29، 99/70. وقتی به صورت کسری اعشاری نوشته می شود، مقادیر تقریبی زیر را به دست می دهند: 1000; 1500; 1,400; 1.417; 1.4137; 1.41428. کسر ادامه دار برای دارای ضرایب جزئی 1، 1/1، 1/2، 1/1، 1/2، 1/1، .... یک عدد غیر منطقی ریشه یک معادله درجه دوم با ضرایب صحیح است اگر و فقط اگر انبساط جزئی ناقص آن به کسرهای ادامه دار دوره ای هستند.

کسرهای ادامه‌یافته با بسیاری از شاخه‌های ریاضیات مانند نظریه تابع، سری‌های واگرا، مسئله گشتاورها، معادلات دیفرانسیل و ماتریس‌های نامتناهی مرتبط هستند. اگر xاندازه رادیان یک زاویه حاد و سپس مماس زاویه است x x/1, - x 2 /3, - x 2 /7, - x 2/9، ...، و اگر xیک عدد مثبت است، سپس لگاریتم طبیعی 1 + است xبرابر با مقدار کسر ادامه دار با ضریب جزئی 0، x/1, 1 2 x/2, 1 2 x/3, 2 2 x/4, 2 2 x/5, 3 2 x/6،... . حل رسمی معادله دیفرانسیل x 2 دو/dx + y = 1 + xدر قالب یک سری توان، سری توان واگرا 1 + است x – 1!x 2 + 2!x 3 – 3!x 4 + .... این سری توان را می توان به کسر ادامه دار با ضریب جزئی 1 تبدیل کرد، x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1،...، و به نوبه خود از آن برای به دست آوردن جواب معادله دیفرانسیل استفاده کنید x 2 دو/dx + y = 1 + x.

اغلب نماد فشرده تر x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + … برای کسرهای ادامه دار استفاده می شود.

اعداد x 1 y 1 = x 1 y 1 , x 1 y 1 + x 2 y 2 = x 1 y 1 + x 2 y 2 , x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 , ... نامیده می شوند کسرهای مناسبکسر ادامه داده شده است. اگر دنباله ای از کسرهای مناسب بدون محدودیت به عدد معینی نزدیک شود، کسر ادامه دار نامتناهی گفته می شود همگرا می شودبه این شماره به طور دقیق تر، تقریب نامحدود دنباله عددی a 1 a 2 ... به عدد a به این معنی است که هر چقدر هم عدد مثبت ε را کوچک بگیریم، همه عناصر دنباله، با شروع از یک عدد معین، قرار خواهند گرفت. از عدد a در فاصله کمتر از ε. معمولاً همگرایی یک دنباله به یک عدد را به صورت زیر نشان می دهند: lim s → ∞ a s = a.

ما به جالب ترین مسئله مطالعه همگرایی کسرهای ادامه دار نمی پردازیم. در عوض، ما وظیفه محاسبه الگوریتمی دنباله ای از کسرهای مناسب را برای یک کسر ادامه دار معین قرار می دهیم. با نگاهی به این دنباله، محاسبه شده در رایانه، می توانید فرضیه هایی در مورد همگرایی کسر ادامه دار ایجاد کنید.

شما می توانید یک کسر مناسب را به عنوان تابعی در نظر بگیرید که در فضای دنباله های جفت اعداد تعریف شده است: f⁡ x 1 y 1 x 2 y 2 … x n y n = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + … + x n y n . خوب است اگر این تابع القایی باشد یا پسوند القایی آن پیدا شود.

مثال دیگر: 1 1 + 1 1 + 1 1 + ... با فرض اینکه این کسر به عدد a همگرا شود، این عدد را خواهیم یافت. برای انجام این کار، توجه داشته باشید که a = 1 1 + a (بررسی کنید!). این معادله دو راه حل دارد که جواب مثبت آن a = 5 − 1 2 است. به هر حال، a = 1 φ = φ − 1 = 0.61803398874989…، جایی که φ عدد فیدیاس از فصل 9 است. اعداد فیبوناچی". کسر ادامه دار خود مستقیماً با اعداد فیبوناچی مرتبط است: آنها به راحتی در صورت شمار و مخرج کسرهای مناسب 1، 1 2، 2 3، 3 5، 5 8، 8 13، ... قرار دارند.

لازم به ذکر است که روش استدلالی که به وسیله آن مقدار صحیح کسر ادامه یافته پیدا شد دارای نقص قابل توجهی است. دقیقاً به همین روش استدلال می کنیم، قبلاً در بخش "روش های محاسبه تقریبی عدد π" "مقدار" مجموع نامتناهی 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - … = 1 2 را یافته ایم. عجیب است که مجموع اعداد صحیح یک کسری است. فرمول حاصل از مجموع یک پیشروی هندسی نامتناهی با مخرج − 1 به همین نتیجه منجر می شود: S = 1 1 − − 1 = 1 2 . با این حال، فراموش نکنیم که فرمول مجموع یک پیشروی هندسی نامتناهی فقط برای مخرج هایی که به شدت کمتر از یک در قدر مطلق هستند اعمال می شود.

اجازه دهید به یک نتیجه حتی عجیب‌تر اشاره کنیم که باز هم با فرمول مجموع یک پیشرفت هندسی بی‌نهایت تأیید شده است: S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = 1 + 2 ⁢ 1 + 2 + 4 + 8 + … = 1 + 2 ⁢ S، از آنجا S = − 1، یعنی مجموع جمله های مثبت منفی شد! موضوع این است که جست و جوی این مبلغ با فرض وجود آن انجام شده است. برای تکمیل تصویر، باید مورد دیگری را در نظر بگیریم که مجموع وجود ندارد، اما در آن صورت نتیجه ای نخواهیم گرفت.

یک عدد بسیار مهم در ریاضیات، e = 2.718281828459045...، نام های زیادی دارد: پایه لگاریتم های طبیعی, شماره ناپیر , شماره اویلر . فهرست کردن موقعیت هایی که این عدد در ریاضیات ظاهر می شود غیرممکن است، که علاوه بر این، یادآوری ابدی تولد L. N. تولستوی است. به طور معمول e با استفاده از تعیین می شود دومین محدودیت فوق العاده

مانند عدد π، عدد ناپیر از نظر کسرهای ادامه دار چندین نمایش زیبا دارد: e − 2 = 1 1 + 1 2 1 + 1 3 1 + 1 4 1 + … = 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + … = 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + 1 6 + 1 1 + 1 1 + 1 8 + 1 1 + 1 1 + 1 10 + …

برای خوانندگان علاقه مند به کسرهای ادامه دار، بروشور را توصیه می کنیم.

طرح:

1 ادامه گسترش کسری
2 تطبیق کسری
3 تقریب اعداد حقیقی با اعداد گویا
- 3.1 مثال ها
4 خواص و مصادیق
5 کاربرد کسرهای ادامه دار
- 5.1 تئوری تقویم
- 5.2 حل مقایسه درجه اول
- 5.3 برنامه های کاربردی دیگر
  - 5.3.1 خواص نسبت طلایی
6 پیشینه تاریخی
7- انگیزه

مقدمه

کسری ادامه یافته(یا کسری ادامه یافته) یک عبارت ریاضی از فرم است

کجا الف 0 یک عدد صحیح و بقیه است الف nاعداد طبیعی (یعنی اعداد صحیح غیر منفی). هر عدد حقیقی را می توان به صورت یک کسر ادامه دار (متناهی یا نامتناهی) نشان داد. یک عدد را می توان به صورت یک کسر ادامه متناهی نشان داد اگر و فقط اگر گویا باشد. یک عدد با یک کسر متناوب ادامه یافته نشان داده می شود اگر و فقط اگر غیرعقلانی درجه دوم باشد.

1. ادامه گسترش کسری

هر عدد واقعی xرا می توان با کسری ادامه دار (متناهی یا نامتناهی) نشان داد، که در آن

کجا نشان دهنده قسمت صحیح عدد است x .

برای یک عدد گویا xاین گسترش زمانی که به صفر برسد پایان می یابد x nبرای برخی n. در این مورد xبا یک کسر ادامه متناهی نشان داده می شود.

برای غیر منطقی ها xتمام مقادیر x nغیر صفر خواهد بود و روند گسترش را می توان به طور نامحدود ادامه داد. در این مورد xبه نظر می رسد یک کسر ادامه دار بی نهایت است.

برای اعداد گویا می توان از الگوریتم اقلیدسی برای به دست آوردن سریع بسط کسر ادامه دار استفاده کرد.

2. تطبیق کسرها

n-اوه کسر مناسببرای کسر ادامه دار، کسر ادامه متناهی نامیده می شود که مقدار آن برابر با مقداری گویا باشد. تطبیق کسرها با اعداد زوج یک دنباله افزایشی را تشکیل می دهد که حد آن است x. به همین ترتیب، تطبیق کسرها با اعداد فرد، دنباله ای نزولی را تشکیل می دهد که حد آن نیز برابر است با x .

فرمول های بازگشتی مشتق شده از اویلر برای محاسبه اعداد و مخرج کسرهای مناسب:

بنابراین، مقادیر ص nو q nبا مقادیر پیوسته نشان داده می شوند:

توالی ها در حال افزایش است.

صورت‌ها و مخرج‌های کسرهای مناسب مجاور با این رابطه به هم مرتبط می‌شوند:

ص n q n - 1 - q n ص n - 1 = (- 1) n - 1 ,

(1)

که می تواند در فرم بازنویسی شود

از آنجا نتیجه می گیرد که

3. تقریب اعداد حقیقی با اعداد گویا

کسرهای ادامه دار به شما این امکان را می دهند که تقریب های گویا خوبی را برای اعداد واقعی به طور موثر پیدا کنید. یعنی اگر یک عدد واقعی باشد xبه یک کسر ادامه دار گسترش می یابد، سپس کسرهای مناسب آن نابرابری را برآورده می کنند

از اینجا، به ویژه، به شرح زیر است:

3.1. نمونه ها

بیایید عدد π =3.14159265... را به کسر ادامه یافته تجزیه کرده و کسرهای مناسب آن را محاسبه کنیم: 3، 22/7، 333/106، 355/113، 103993/33102، ...

کسر دوم (22/7) تقریب ارشمیدسی معروف است. چهارمین (355/113) اولین بار در چین باستان به دست آمد.

4. خواص و مصادیق

هر عدد گویا را می توان به صورت یک کسر ادامه متناهی به دو صورت نشان داد، برای مثال:

قضیه لاگرانژ: یک عدد به عنوان یک کسر متناوب نامتناهی نشان داده می شود اگر و فقط اگر حل غیر منطقی یک معادله درجه دوم با ضرایب صحیح باشد.

به عنوان مثال: نسبت طلایی ه − 1 =

برای شماره

عدد پی الگوی ساده ای ندارد:

π =

قضیه گاوس-کوزمین: تقریباً برای همه (به جز مجموعه اندازه صفر) اعداد حقیقی، میانگین هندسی ضرایب کسرهای ادامه یافته مربوطه وجود دارد و برابر با ثابت خینچین است.
قضیه مارشال هال. اگر در بسط اعداد xدر یک کسر ادامه دار، با شروع از عنصر دوم، هیچ عددی بزرگتر وجود ندارد n، سپس می گویند که شماره xمتعلق به کلاس است اف(n). افهر عدد واقعی را می توان به صورت مجموع دو عدد از کلاس نشان داد اف(4) و به صورت حاصل ضرب دو عدد از کلاس اف(4). افبعداً نشان داده شد که هر عدد واقعی را می توان به صورت مجموع 3 عدد از کلاس نشان داد

(3) و به صورت مجموع 4 عدد از کلاس

(2).

تعداد عبارت های مورد نیاز در این قضیه را نمی توان کاهش داد - برای نمایش برخی اعداد به این روش، تعداد کمتری از عبارت ها کافی نیست.

5. کاربرد کسرهای ادامه دار

5.1. تئوری تقویم

هنگام توسعه یک تقویم شمسی، باید یک تقریب منطقی برای تعداد روزهای یک سال پیدا کرد که برابر با 365.2421988 است... بیایید کسرهای مناسب را برای قسمت کسری این عدد محاسبه کنیم: الفکسر اول به این معنی است که هر 4 سال باید یک روز اضافی اضافه کنید. این اصل اساس تقویم جولیان را تشکیل داد. در این حالت، خطای 1 روزه در طول 128 سال جمع می شود. مقدار دوم (7/29) هرگز استفاده نشد. کسر سوم (8/33)، یعنی 8 سال کبیسه در یک دوره 33 ساله، توسط عمر خیام در قرن یازدهم پیشنهاد شد و آغاز تقویم ایرانی است که در آن خطا در هر روز بیش از 4500 سال جمع می شود. (در میلادی - بیش از 3280 سال). یک نسخه بسیار دقیق با کسر چهارم (31/128، خطا در هر روز فقط برای 100000 سال جمع می شود) توسط ستاره شناس آلمانی یوهان فون مدلر (1864) تبلیغ شد، اما علاقه زیادی برانگیخت. 5.2. حل مقایسه درجه اولبیایید مقایسه را در نظر بگیریم: ، جایی که شناخته شده است، و می توانیم آن را فرض کنیم x .

متقابل فقط با

5.2. حل مقایسه درجه اولq n − 1 − الفص n − 1 = (− 1) n − 1

متر

. ما باید پیدا کنیم

بیایید آن را به کسری ادامه دهیم. آخرین کسر خواهد بود و آخرین کسر مناسب خواهد بود. بیایید فرمول (1) را جایگزین کنیم:

از این نتیجه می شود:

، یا:

نتیجه جالبی که از این واقعیت حاصل می شود که عبارت کسری ادامه دار برای φ از اعداد صحیح بزرگتر از 1 استفاده نمی کند این است که φ یکی از "سخت ترین" اعداد واقعی برای تقریب با استفاده از اعداد گویا است. یک قضیه (قضیه هورویتز) بیان می کند که هر عدد واقعی کرا می توان با کسری تقریب زد 5.2. حل مقایسه درجه اول/nبا کمک

سپس زمانی که تقریبا تمام اعداد واقعی کدر نهایت تقریب های بی نهایت زیادی دارند 5.2. حل مقایسه درجه اول/n، که در فاصله قابل توجهی کمتر از کبیش از این حد، تقریب‌هایی برای φ (یعنی اعداد 5/3، 8/5، 13/8، 21/13، و غیره) به‌طور متوالی "مرز را لمس می‌کنند"، فاصله را تقریباً در فاصله‌ای از φ نگه می‌دارند، در نتیجه هرگز تولید نمی‌کنند. تقریبی به اندازه 113/355 برای π چشمگیر است. می توان نشان داد که هر عدد واقعی از فرم ( الف + بφ)/( ج + دφ) – کجا الف, ب, جو داعداد صحیحی هستند مانند آگهی − قبل از میلاد= ± 1 - دارای ویژگی یکسانی با نسبت طلایی φ است. و همچنین تمام اعداد واقعی دیگر را می توان بسیار بهتر تقریب کرد.

6. پیشینه تاریخی

ریاضیدانان قدیم با استفاده از الگوریتم اقلیدس توانستند روابط مقادیر غیرقابل قیاس را در قالب زنجیره ای از روابط مناسب متوالی نشان دهند. ظاهراً ارشمیدس تقریب را اینگونه به دست آورده است - این دوازدهمین کسر مناسب برای یا از چهارمین کسر مناسب برای .

در قرن پنجم میلادی، آریابهاتا، ریاضیدان هندی، از «روش سنگ زنی» مشابهی برای حل معادلات نامشخص درجه اول و دوم استفاده کرد. با استفاده از همین تکنیک، احتمالاً یک تقریب شناخته شده برای عدد π (355/113) به دست آمده است. در قرن شانزدهم، رافائل بومبلی با استفاده از کسرهای ادامه دار، ریشه های مربع استخراج کرد (به الگوریتم او مراجعه کنید).

نظریه مدرن کسرهای پیوسته در سال 1613 توسط پیترو آنتونیو کاتالدی پایه گذاری شد. او به ویژگی اصلی آنها (موقعیت بین کسرهای مناسب) اشاره کرد و نمادی را یادآور نماد مدرن معرفی کرد. نظریه او بعداً توسط جان والیس، که این اصطلاح را ابداع کرد، گسترش یافت "کسری ادامه یافته". اصطلاح معادل " کسری ادامه یافته"در پایان قرن 18 ظاهر شد.

این کسرها در درجه اول برای تقریب منطقی اعداد واقعی استفاده می‌شوند. برای مثال، کریستیان هویگنز از آنها برای طراحی چرخ دنده های افلاک نما استفاده کرد. هویگنز قبلاً می دانست که کسرهای مناسب همیشه تقلیل ناپذیر هستند و بهترین تقریب منطقی را نشان می دهند.

در قرن هجدهم، تئوری کسرهای ادامه دار به صورت کلی توسط لئونارد اویلر و جوزف لوئیس لاگرانژ تکمیل شد.

7. انگیزه

کسرهای ادامه یافته «از نظر ریاضی طبیعی» ترین نمایش اعداد حقیقی هستند.

اکثر مردم با نمایش اعشاری اعداد حقیقی آشنا هستند که می توان آن را به صورت تعریف کرد

که در آن 0 می تواند هر عدد صحیحی باشد و a بعدی یکی از عناصر (0,1,2,…,9) است. در این نمایش، برای مثال، عدد π را می توان به صورت دنباله ای از اعداد صحیح نشان داد.

این نمایش اعشاری چندین مشکل دارد. یکی از آنها این است که بسیاری از اعداد گویا در این سیستم نمایش محدودی ندارند. به عنوان مثال، عدد 1/3 را می توان با یک دنباله بی نهایت (0،3،3،3،3،...) نشان داد. مشکل دیگر این است که ثابت 10 اساساً یک انتخاب دلخواه است که به نفع اعدادی است که به نحوی با عدد صحیح 10 مرتبط هستند. برای مثال، 137/1600 دارای نمایش اعشاری محدود است، در حالی که 1/3 ندارد، زیرا، 137/1600 است. ساده تر از 1/3، اما فقط به این دلیل که 1600 توان 10 را تقسیم می کند (10 6 = 1600 × 625). علامت گذاری به عنوان کسری ادامه یافته نمایشی از اعداد واقعی است که این مشکلات را ندارد.

بیایید ببینیم چگونه می توانیم عددی مانند 415/93 را توصیف کنیم که تقریباً برابر با 4.4624 است. تقریباً 4 است. در واقع کمی بیشتر از 4 است، حدود 4 + 1/2. اما 2 در مخرج کاملاً دقیق نیست. باید عددی کمی بزرگتر از 2، تقریباً 2 + 1/6 وجود داشته باشد. بنابراین 415/93 تقریباً برابر است با 4 + 1/(2 + 1/6). اما 6 در مخرج صحیح نیست. مقدار واقعی کمی بیشتر از 6.6+1/7 است. بنابراین 415/93 4+1/(2+1/(6+1/7) است. این مقدار دقیق است.

با حذف برخی از قسمت های مورد نیاز در عبارت 4 + 1 / (2 + 1 / (6 + 1 / 7)) یک نماد کوتاه به دست می آوریم. (توجه داشته باشید که جایگزین کردن کاما اول با نقطه ویرگول معمول است.)

نمایش به عنوان کسری ادامه یافته از یک عدد واقعی را می توان به این ترتیب تعریف کرد. چندین ویژگی مطلوب دارد:

نمایش به عنوان کسری ادامه دار محدود است اگر و فقط اگر عدد گویا باشد.

هر عدد گویا اساساً یک نمایش منحصر به فرد به عنوان کسر ادامه دار دارد. هر عدد گویا را می توان دقیقاً به دو صورت نشان داد، زیرا [ الف 0 ; الف 1 , … الف n − 1 , الف n ] = [الف 0 ; الف 1 , … الف n − 1 , الف n− 1، 1]. ریاضیدانان ترجیح می‌دهند بین اعداد گویا و کسرهای ادامه دار مطابقت یک به یک داشته باشند. اولین نماد کوتاه تر به عنوان نمایش متعارف انتخاب می شود.

نمایش به عنوان کسری ادامه یافته از یک عدد غیر منطقی منحصر به فرد است.

کسر ادامه دار تناوبی است اگر و فقط اگر عدد غیرمنطقی درجه دوم باشد، یعنی. شکل دارد

برای اعداد صحیح الف, ب, ج, د; کجا بو دصفر نیست و ج> 1 و جمربع دقیقی نیست

به عنوان مثال، کسر ادامه متناوب نسبت طلایی است، و کسر ادامه متناوب جذر 2 است.

برش اولیه نمایش کسری ادامه یافته x منجر به تقریب منطقی x می شود که به یک معنا "بهترین" تقریب منطقی است.

آخرین ویژگی بسیار مهم است. نمایش دهدهی یک عدد آن را ندارد. کوتاه کردن نمایش اعشاری یک عدد منجر به تقریب معقولی از عدد می شود، اما معمولاً تقریب خیلی خوبی نیست. به عنوان مثال، برش 1/7 = 0.142857... در جاهای مختلف منجر به تقریب هایی مانند 142/1000، 14/100 و 1/10 می شود. اما بدیهی است که بهترین تقریب منطقی خود عدد "1/7" خواهد بود. با قطع نمایش اعشاری π، تقریبی مانند 31415/10000 و 314/100 به دست می آید. کسر ادامه دار π با شروع می شود. با کوتاه کردن این نمایش، تقریب های منطقی عالی 3، 22/7، 333/106، 355/113، 103993/33102، … مخرج 314/100 و 333/106 تقریباً یکسان است، اما خطا در تقریب 314/100 نوزده برابر بیشتر از خطا در تقریب 333/106 است. با تقریب π، تقریب 3.1416 بیش از صد برابر دقیق تر است.

, کسر, کسر (ریاضی) کسر مناسب.

به عنوان مثال، دنباله 1، 1/2، 2/3، 3/4،...، n/(n+ 1)،... یک کسر ادامه دار ایجاد می کند

اجازه دهید این موضوع را با یک مثال توضیح دهیم. بیایید آن را فرض کنیم

ارسال کار خوب خود به پایگاه دانش آسان است. از فرم زیر استفاده کنید

دانشجویان، دانشجویان تحصیلات تکمیلی، دانشمندان جوانی که از دانش پایه در تحصیل و کار خود استفاده می کنند از شما بسیار سپاسگزار خواهند بود.

ارسال شده در http://allbest.ru

وزارت آموزش و پرورش و علوم منطقه KEMEROVSK

موسسه آموزشی دولتی آموزش حرفه ای متوسطه کالج حمل و نقل انرژی Tom-Usinsk

در رشته ریاضی

کسرهای ادامه دار

تکمیل شد:

دانش آموز گروه TRUCK-1-14

ژولوا داریا

بررسی شد:

معلم ریاضی

Kemerova S.I.

مقدمه

1. تاریخچه کسرهای ادامه دار

2. ادامه گسترش کسری

3. تقریب اعداد حقیقی به اعداد گویا

4. کاربرد کسرهای ادامه دار

5. خواص نسبت طلایی

مراجع

مقدمه

کسر ادامه یافته (یا کسر ادامه دار) یک عبارت ریاضی از فرم است

که در آن a0 یک عدد صحیح و بقیه an اعداد طبیعی (اعداد صحیح مثبت) هستند. هر عدد حقیقی را می توان به صورت یک کسر ادامه دار (متناهی یا نامتناهی) نشان داد. یک عدد را می توان به صورت یک کسر ادامه متناهی نشان داد اگر و فقط اگر گویا باشد. یک عدد با یک کسر متناوب ادامه یافته نشان داده می شود اگر و فقط اگر غیرعقلانی درجه دوم باشد.

1. تاریخچه کسرهای ادامه دار

کسرهای ادامه دار در سال 1572 توسط ریاضیدان ایتالیایی بومبلی معرفی شدند. نماد مدرن برای کسرهای ادامه دار توسط ریاضیدان ایتالیایی کاتالدی در سال 1613 یافت شد. بزرگترین ریاضیدان قرن هجدهم، لئوناردو اویلر، اولین کسی بود که نظریه کسرهای مستمر را توضیح داد، مسئله استفاده از آنها را برای حل معادلات دیفرانسیل مطرح کرد، آنها را در بسط توابع به کار برد، محصولات نامتناهی را نشان داد، و تعمیم مهمی ارائه کرد. از آنها

کار اویلر در مورد تئوری کسرهای مداوم توسط M. Sofronov (1729-1760)، آکادمیک V.M. ویسکواتی (1779-1819)، دی. برنولی (1700-1782) و غیره. بسیاری از نتایج مهم این نظریه متعلق به ریاضیدان فرانسوی لاگرانژ است که روشی را برای حل تقریبی معادلات دیفرانسیل با استفاده از کسرهای ادامه دار یافته است.

الگوریتم اقلیدس یافتن نمایش (یا تجزیه) هر عدد گویا را در قالب یک کسر ادامه دار ممکن می سازد. به عنوان عناصر یک کسر ادامه دار، ضرایب ناقص تقسیم های متوالی در سیستم برابری ها به دست می آیند، بنابراین عناصر کسری ادامه یافته را ضریب ناقص نیز می گویند. علاوه بر این، برابری های سیستم نشان می دهد که فرآیند تجزیه به یک کسر ادامه دار شامل جدا کردن متوالی کل قسمت و معکوس کردن قسمت کسری است.

2. ادامه گسترش کسری

دیدگاه دوم کلی تر از دیدگاه اول است، زیرا برای بسط کسری ادامه دار نه تنها یک عدد گویا، بلکه همچنین برای هر عدد واقعی قابل استفاده است.

بدیهی است که تجزیه یک عدد گویا دارای تعداد محدودی از عناصر است، زیرا الگوریتم اقلیدسی برای تقسیم ترتیبی a بر b محدود است.

واضح است که هر کسر ادامه دار عدد گویا معینی را نشان می دهد، یعنی برابر با عدد گویا معینی است. اما این سوال پیش می‌آید: آیا نمایش‌های کسری ادامه‌دار متفاوتی از یک عدد گویا وجود ندارد؟ معلوم می شود که وجود ندارد، اگر بخواهید وجود داشته باشد.

کسرهای ادامه دار - دنباله ای که هر جمله آن یک کسری معمولی است، اگر جزء دوم آن به کسر اول اضافه شود، کسری ادامه یافته (یا ادامه یافته) ایجاد می کند و هر کسری که با سومی شروع می شود به مخرج قبلی اضافه می شود. کسری

هر عدد واقعی را می توان با کسری ادامه دار (متناهی یا نامتناهی، تناوبی یا غیر تناوبی) نشان داد.

جایی که قسمت صحیح عدد را نشان می دهد.

برای یک عدد گویا، این بسط زمانی به پایان می رسد که برای مقداری n به صفر برسد. در این مورد با کسری متناهی ادامه یافته نشان داده می شود.

برای غیر منطقی، همه کمیت ها غیر صفر خواهند بود و روند گسترش را می توان به طور نامحدود ادامه داد. در این مورد به عنوان یک کسر ادامه دار بی نهایت ظاهر می شود.

برای اعداد گویا می توان از الگوریتم اقلیدسی برای به دست آوردن سریع بسط کسر ادامه دار استفاده کرد.

3. نزدیک شدن دراعداد اضافیبه عقلانی

کسرهای ادامه دار به شما این امکان را می دهند که تقریب های گویا خوبی را برای اعداد واقعی به طور موثر پیدا کنید. یعنی اگر یک عدد واقعی به کسر ادامه دار تجزیه شود، کسرهای مناسب آن نابرابری را برآورده می کنند.

از اینجا، به ویژه، به شرح زیر است:

· کسر مناسب بهترین تقریب برای همه کسری است که مخرج آنها بیشتر نباشد.

· میزان غیرمنطقی بودن هر عدد غیر منطقی کمتر از 2 نباشد.

4. کاربرد کسرهای ادامه دار

تئوری تقویم

کسر اول به این معنی است که هر 4 سال باید یک روز اضافی اضافه کنید. این اصل اساس تقویم جولیان را تشکیل داد. در این حالت، خطای 1 روزه در طول 128 سال جمع می شود. مقدار دوم (7/29) هرگز استفاده نشد. کسر سوم (8/33)، یعنی 8 سال کبیسه در یک دوره 33 ساله، توسط عمر خیام در قرن یازدهم پیشنهاد شد و شالوده تقویم ایرانی را گذاشت که در آن خطا در هر روز بیش از 4500 سال جمع می شود. (در میلادی - بیش از 3280 سال) . یک نسخه بسیار دقیق با کسر چهارم (31/128، خطا در هر روز فقط برای 100000 سال جمع می شود) توسط ستاره شناس آلمانی یوهان فون مدلر (1864) تبلیغ شد، اما علاقه زیادی برانگیخت.

برنامه های کاربردی دیگر

· اثبات غیرمنطقی بودن اعداد. برای مثال، غیرمنطقی بودن تابع زتای ریمان با استفاده از کسرهای ادامه دار ثابت شد

جواب عدد صحیح معادله پل

و سایر معادلات آنالیز دیوفانتین

· تعریف یک عدد آشکارا متعالی (به قضیه لیوویل مراجعه کنید)

· الگوریتم های فاکتورسازی SQUFOF و CFRAC

· ویژگی های چند جمله ای متعامد

· ویژگی های چند جمله ای های پایدار

5. خواص نسبت طلایی

یک نتیجه جالب که از این واقعیت حاصل می شود که عبارت کسر ادامه دار برای μ از اعداد صحیح بزرگتر از 1 استفاده نمی کند این است که μ یکی از "سخت ترین" اعداد واقعی برای تقریب با استفاده از اعداد گویا است.

قضیه هورویتز بیان می کند که هر عدد واقعی کرا می توان با کسری تقریب زد 5.2. حل مقایسه درجه اول/nبنابراین

اگرچه تقریباً همه اعداد واقعی کتقریب بی نهایت زیادی دارند 5.2. حل مقایسه درجه اول/n، که در فاصله بسیار کمتری قرار دارند ک، بیش از این حد بالا، تقریبی برای q (یعنی اعداد 5/3، 8/5، 13/8، 21/13، و غیره) در حد به این حد می رسند، فاصله تقریباً دقیقاً از q را حفظ می کنند، بنابراین هرگز ایجاد تقریب خوب مانند، برای مثال، 355/113 برای p. می توان نشان داد که هر عدد واقعی از فرم ( الف + ب ts)/( ج + دج) الف,ب, جو داعداد صحیح هستند و

آگهی ? قبل از میلاد= 1±،

دارای همان خاصیت نسبت طلایی q هستند. و همچنین تمام اعداد واقعی دیگر را می توان بسیار بهتر تقریب کرد.

کسری معادله اعداد ریاضی

بافهرست ادبیات

1. V.I. آرنولد کسرهای ادامه دار - M.: MTsNMO، 2000. - T. 14. - 40 p. -- (کتابخانه "آموزش ریاضی").

2. ن.م. بسکین کسرهای ادامه دار // کوانتومی. -- 1970. -- T. 1. -- P. 16--26.62.

3. ن.م. کسرهای ادامه دار بی نهایت بسکین // کوانتومی. -- 1970. -- T. 8. -- P. 10--20.

4. D.I. کسری شعبه بدنار ادامه داد. - ک.: علم، 1986. - 174 ص.

5. الف. ستاد حسابداری. نظریه اعداد - م.: آموزش و پرورش، 1966. - 384 ص.

6. آی.م. وینوگرادوف مبانی نظریه اعداد. -- م.-ل.: ایالت. ویرایش ادبیات فنی و نظری، 1952. - 180 ص.

7. س.ن. گلادکوفسکی. تجزیه و تحلیل کسرهای مداوم دوره ای مشروط، قسمت 1. - Nezlobnaya، 2009. - 138 p.

8. آی.یا. دپمن تاریخچه حساب. کتابچه راهنمای معلمان. -- اد. دوم - م.: تعلیم و تربیت، 1965. - ص 253--254.

9. جی داونپورت. حسابی بالاتر - M.: Nauka، 1965.

10. S.V. خاکستری. سخنرانی در مورد نظریه اعداد. -- اکاترینبورگ: دانشگاه دولتی اورال به نام. A. M. Gorky، 1999.

11. V. Skorobogatko. نظریه انشعاب کسرهای مداوم و کاربرد آن در ریاضیات محاسباتی. - م.: ناوکا، 1983. - 312 ص.

12. A.Ya. خینچین. کسرهای ادامه دار - M.: GIFML، 1960.

ارسال شده در Allbest.ru

اسناد مشابه

برای قرن های متمادی، در زبان مردم، یک عدد شکسته کسری نامیده می شد. نیاز به کسری در مراحل اولیه رشد انسان بوجود آمد. انواع کسر. نوشتن کسر در مصر، بابل. سیستم کسری رومی کسرها در روسیه "اعداد شکسته" هستند.

ارائه، اضافه شده در 2011/01/21

اولین کسری که مردم در مصر با آن آشنا شدند. صورت و مخرج کسری. کسرهای مناسب و نامناسب. عدد مختلط تقلیل به مخرج مشترک. ضریب ناقص قطعات صحیح و کسری. کسرهای معکوس ضرب و تقسیم کسرها.

ارائه، اضافه شده در 10/11/2011

از تاریخچه اعشار و کسرهای معمولی. عملیات با کسرهای اعشاری جمع (تفریق) کسرهای اعشاری. ضرب اعشار تقسیم اعشار

چکیده، اضافه شده در 2006/05/29

تاریخچه حساب باقیمانده مفهوم باقیمانده، بزرگترین مقسوم علیه مشترک، الگوریتم اقلیدسی توسعه یافته و کاربرد آن برای حل معادلات دیوفانتین خطی. یک رویکرد جبری به بخش پذیری در حلقه ها و تجزیه اعداد به کسرهای ادامه دار.

پایان نامه، اضافه شده در 2009/08/23

مجموع n عدد اول سری طبیعی. محاسبه مساحت یک قطعه سهمی. اثبات فرمول استرن. بیان مجموع توان kth اعداد طبیعی از طریق یک تعیین کننده و با استفاده از اعداد برنولی. مجموع توان ها و اعداد فرد.

کار دوره، اضافه شده در 2015/09/14

ظهور کلمه "کسری" در زبان روسی در قرن هشتم. اسامی قدیمی کسرها: نصف، چهار، ثلث، نصف، نیم ثلث. ویژگی های سیستم کسری روم باستان. L. Pizansky دانشمندی است که شروع به استفاده و انتشار نماد مدرن کسری کرد.

ارائه، اضافه شده در 2013/11/18

کلاس توابع منطقی یک مثال عملی از حل انتگرال. تغییر خطی متغیر ماهیت و وظایف اصلی روش ضرایب نامعین. ویژگی ها، دنباله ای از نمایش انتگرال به عنوان مجموع کسرهای ساده.

ارائه، اضافه شده در 2013/09/18

علامت گذاری کسری اعشاری در زمان های مختلف. استفاده از سیستم اعشاری اندازه گیری در چین باستان. نوشتن کسرها در یک خط با استفاده از اعداد در سیستم اعشاری و قوانین کار با آنها. سیمون استوین در نقش دانشمند فلاندری، مخترع اعشار.

ارائه، اضافه شده در 2010/04/22

مبانی نظری و روش شناختی برای شکل گیری مفهوم ریاضی کسری در درس ریاضیات. فرآیند شکل‌گیری مفاهیم ریاضی و روش‌شناسی معرفی آنها. بررسی عملی معرفی و تشکیل مفهوم ریاضی کسرها.

پایان نامه، اضافه شده در 2009/02/23

ریاضیات چین باستان و قرون وسطی. قاعده دو موضع نادرست. سیستم های معادلات خطی با مجهولات زیاد. مراحل اولیه توسعه مثلثات. ایجاد شماره دهی موقعیتی حسابی اعداد و کسرهای طبیعی.

محبوب

انشا «حرفه من معلمی است

« گلوب اوکسانا نیکولاونا "کسی معلم به دنیا نمی آید، معلم می شود" من معتقدم که حرفه معلمی یکی از مهم ترین حرفه های دنیای مدرن است، در ... »

نبرد بورودینو نقطه اوج رمان "جنگ و صلح" است.

« نبرد بورودینو در رمان "جنگ و من" تصویر نبرد بورودینو تصویری از شاهکار باورنکردنی ارتش روسیه است. »

اواگا در دوران بارداری - چیست؟

« قسمت پاسپورت نام کامل: سن: 24 تاریخ تولد: 22 دسامبر 1975 وضعیت تأهل: متاهل شغل: شاغل نیست تاریخ پذیرش:... »