18 معادله مثلثاتی. روش های حل معادلات مثلثاتی

هنگام حل بسیاری از مسائل ریاضیبه خصوص آنهایی که قبل از درجه 10 رخ می دهند، ترتیب اقدامات انجام شده که منجر به هدف می شود به وضوح مشخص شده است. چنین مسائلی عبارتند از، برای مثال، معادلات خطی و درجه دوم، نابرابری های خطی و درجه دوم، معادلات کسری و معادلاتی که به معادلات درجه دوم کاهش می یابند. اصل حل موفقیت آمیز هر یک از مشکلات ذکر شده به شرح زیر است: باید مشخص شود که چه نوع مشکلی حل می شود، دنباله ای از اقدامات لازم را به خاطر بسپارید که منجر به نتیجه مطلوب می شود، یعنی. پاسخ دهید و این مراحل را دنبال کنید.

بدیهی است که موفقیت یا شکست در حل یک مسئله خاص عمدتاً به این بستگی دارد که چگونه نوع معادله حل شده به درستی تعیین شده است، چگونه دنباله تمام مراحل حل آن به درستی بازتولید می شود. البته در این صورت داشتن مهارت انجام تبدیل ها و محاسبات یکسان ضروری است.

وضعیت با معادلات مثلثاتیاثبات این واقعیت که معادله مثلثاتی است اصلاً دشوار نیست. هنگام تعیین توالی اقداماتی که منجر به پاسخ صحیح می شود، مشکلات ایجاد می شود.

گاهی اوقات تعیین نوع آن بر اساس شکل ظاهری یک معادله دشوار است. و بدون دانستن نوع معادله، تقریباً غیرممکن است که از بین چندین ده فرمول مثلثاتی درست را انتخاب کنید.

برای حل یک معادله مثلثاتی، باید سعی کنید:

1. همه توابع موجود در معادله را به "زوایای یکسان" بیاورید.
2. معادله را به "توابع یکسان" برسانید.
3. سمت چپ معادله و غیره را فاکتور بگیرید.

در نظر بگیریم روش های اساسی برای حل معادلات مثلثاتی

I. تقلیل به ساده ترین معادلات مثلثاتی

نمودار حل

مرحله 1.یک تابع مثلثاتی را بر حسب مولفه های شناخته شده بیان کنید.

مرحله 2.آرگومان تابع را با استفاده از فرمول ها پیدا کنید:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn، n ЄZ.

گناه x = a; x = (-1) n arcsin a + πn، n Є Z.

tan x = a; x = آرکتان a + πn، n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn، n Є Z.

مرحله 3.متغیر مجهول را پیدا کنید.

مثال.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

راه حل.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn، n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn، n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn، n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3، n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3، n Є Z.

پاسخ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3، n Є Z.

II. جایگزینی متغیر

نمودار حل

مرحله 1.معادله را با توجه به یکی از توابع مثلثاتی به شکل جبری کاهش دهید.

مرحله 2.تابع به دست آمده را با متغیر t مشخص کنید (در صورت لزوم محدودیت هایی را برای t وارد کنید).

مرحله 3.معادله جبری حاصل را بنویسید و حل کنید.

مرحله 4.یک جایگزین معکوس انجام دهید.

مرحله 5.ساده ترین معادله مثلثاتی را حل کنید.

مثال.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

راه حل.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) بگذارید sin (x/2) = t، که در آن |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 یا e = -3/2، شرط |t| را برآورده نمی کند ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn، n Є Z;

x = π + 4πn، n Є Z.

پاسخ: x = π + 4πn، n Є Z.

III. روش کاهش ترتیب معادله

نمودار حل

مرحله 1.با استفاده از فرمول کاهش درجه، این معادله را با یک معادله خطی جایگزین کنید:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

مرحله 2.معادله به دست آمده را با استفاده از روش های I و II حل کنید.

مثال.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

راه حل.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn، n Є Z;

x = ±π/6 + πn، n Є Z.

پاسخ: x = ±π/6 + πn، n Є Z.

IV. معادلات همگن

نمودار حل

مرحله 1.این معادله را به شکل کاهش دهید

الف) a sin x + b cos x = 0 (معادله همگن درجه اول)

یا به منظره

ب) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (معادله همگن درجه دوم).

مرحله 2.دو طرف معادله را بر تقسیم کنید

الف) cos x ≠ 0;

ب) cos 2 x ≠ 0;

و معادله tan x را بدست آورید:

الف) a tan x + b = 0;

ب) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

مرحله 3.معادله را با استفاده از روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

راه حل.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) بگذارید tg x = t، سپس

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 یا t = -4 که ​​به این معنی است

tg x = 1 یا tg x = -4.

از معادله اول x = π/4 + πn، n Є Z; از معادله دوم x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

پاسخ: x = π/4 + πn، n Є Z; x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

V. روش تبدیل یک معادله با استفاده از فرمول های مثلثاتی

نمودار حل

مرحله 1.با استفاده از تمام فرمول های مثلثاتی ممکن، این معادله را به معادله ای کاهش دهید که با روش های I، II، III، IV حل شده است.

مرحله 2.معادله به دست آمده را با استفاده از روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

راه حل.

1) (سین x + گناه 3x) + گناه 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 یا 2cos x + 1 = 0;

از معادله اول 2x = π/2 + πn، n Є Z; از معادله دوم cos x = -1/2.

ما x = π/4 + πn/2، n Є Z داریم. از معادله دوم x = ±(π – π/3) + 2πk، k Є Z.

در نتیجه x = π/4 + πn/2، n Є Z; x = ± 2π/3 + 2πk، k Є Z.

پاسخ: x = π/4 + πn/2، n Є Z; x = ± 2π/3 + 2πk، k Є Z.

توانایی و مهارت حل معادلات مثلثاتی بسیار زیاد است مهم است، توسعه آنها نیاز به تلاش قابل توجهی دارد، هم از طرف دانش آموز و هم از طرف معلم.

بسیاری از مسائل استریومتری، فیزیک و غیره با حل معادلات مثلثاتی مرتبط است.

معادلات مثلثاتی جایگاه مهمی در فرآیند یادگیری ریاضیات و به طور کلی رشد فردی دارند.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی -.
درس اول رایگان است

blog.site، هنگام کپی کردن کامل یا جزئی مطالب، پیوند به منبع اصلی الزامی است.

دوره ویدیویی "Get a A" شامل تمام موضوعات لازم برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی واحد در ریاضیات با امتیاز 60-65 است. به طور کامل تمام وظایف 1-13 از آزمون دولتی یکپارچه پروفایل در ریاضیات. همچنین برای قبولی در آزمون پایه یکپارچه دولتی در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید در آزمون یکپارچه دولتی با 90-100 امتیاز قبول شوید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!

دوره آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی برای پایه های 10-11 و همچنین برای معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 آزمون دولتی واحد در ریاضیات (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) نیاز دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون یکپارچه دولتی است و نه یک دانش آموز 100 امتیازی و نه دانش آموز علوم انسانی نمی تواند بدون آنها باشد.

تمام تئوری لازم راه حل های سریع، دام ها و اسرار آزمون یکپارچه دولتی. تمام وظایف فعلی بخش 1 از بانک وظیفه FIPI تجزیه و تحلیل شده است. این دوره به طور کامل با الزامات آزمون یکپارچه دولتی 2018 مطابقت دارد.

این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است که هر کدام 2.5 ساعت است. هر موضوع از ابتدا، ساده و واضح ارائه شده است.

صدها تکلیف یکپارچه آزمون دولتی. مسائل کلمه و نظریه احتمال. الگوریتم های ساده و آسان برای به خاطر سپردن برای حل مسائل. هندسه. تئوری، مواد مرجع، تجزیه و تحلیل انواع وظایف آزمون دولتی واحد. استریومتری. راه حل های حیله گر، برگه های تقلب مفید، توسعه تخیل فضایی. مثلثات از ابتدا تا مسئله 13. درک به جای انباشته کردن. توضیحات واضح مفاهیم پیچیده جبر. ریشه ها، توان ها و لگاریتم ها، تابع و مشتق. مبنایی برای حل مشکلات پیچیده قسمت 2 آزمون یکپارچه دولتی.

شما می توانید یک راه حل دقیق برای مشکل خود سفارش دهید!!!

تساوی حاوی یک مجهول تحت علامت یک تابع مثلثاتی ("sin x، cos x، tan x" یا "ctg x") معادله مثلثاتی نامیده می‌شود و فرمول‌های آن‌ها است که در ادامه بررسی خواهیم کرد.

ساده ترین معادلات عبارتند از: sin x=a، cos x=a، tg x=a، ctg x=a». اجازه دهید فرمول های ریشه را برای هر یک از آنها بنویسیم.

1. معادله `sin x=a`.

برای `|a|>1` هیچ راه حلی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. معادله «cos x=a».

برای `|a|>1` - مانند سینوس، هیچ راه حلی در بین اعداد حقیقی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

موارد ویژه برای سینوس و کسینوس در نمودارها.

3. معادله `tg x=a`

تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. معادله «ctg x=a».

همچنین تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

فرمول های ریشه معادلات مثلثاتی در جدول

برای سینوس:
برای کسینوس:
برای مماس و کوتانژانت:
فرمول های حل معادلات حاوی توابع مثلثاتی معکوس:

روش های حل معادلات مثلثاتی

حل هر معادله مثلثاتی شامل دو مرحله است:

• با کمک تبدیل آن به ساده ترین.
• ساده ترین معادله به دست آمده را با استفاده از فرمول های ریشه و جداول نوشته شده در بالا حل کنید.

بیایید با استفاده از مثال به روش های اصلی راه حل نگاه کنیم.

روش جبری.

این روش شامل جایگزینی یک متغیر و جایگزینی آن با یک برابری است.

مثال. معادله را حل کنید: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`،

جایگزینی ایجاد کنید: «cos(x+\frac \pi 6)=y»، سپس «2y^2-3y+1=0»،

ما ریشه ها را پیدا می کنیم: `y_1=1, y_2=1/2` که دو حالت از آن پیروی می کنند:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

پاسخ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

فاکتورسازی

مثال. معادله "sin x+cos x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید تمام شرایط برابری را به سمت چپ منتقل کنیم: `sin x+cos x-1=0`. با استفاده از ، سمت چپ را تبدیل و فاکتورسازی می کنیم:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0"،

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. «cos x/2-sin x/2=0»، «tg x/2=1»، «x/2=arctg 1+ \pi n»، «x/2=\pi/4+ \pi n» ، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

پاسخ: «x_1=2\pi n»، «x_2=\pi/2+ 2\pi n».

کاهش به یک معادله همگن

ابتدا باید این معادله مثلثاتی را به یکی از دو شکل کاهش دهید:

«a sin x+b cos x=0» (معادله همگن درجه اول) یا «a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0» (معادله همگن درجه دوم).

سپس هر دو قسمت را بر «cos x \ne 0» - برای مورد اول و بر «cos^2 x \ne 0» - برای مورد دوم تقسیم کنید. ما معادلاتی را برای «tg x» به دست می‌آوریم: «a tg x+b=0» و «a tg^2 x + b tg x +c =0» که باید با استفاده از روش‌های شناخته شده حل شوند.

مثال. معادله "2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید سمت راست را به صورت `1=sin^2 x+cos^2 x` بنویسیم:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -`` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

این یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم است، سمت چپ و راست آن را بر 'cos^2 x \ne 0' تقسیم می کنیم، به دست می آوریم:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

«tg^2 x+tg x — 2=0». بیایید جایگزین «tg x=t» را معرفی کنیم که نتیجه آن «t^2 + t - 2=0» است. ریشه های این معادله «t_1=-2» و «t_2=1» هستند. سپس:

1. «tg x=-2»، «x_1=arctg (-2)+\pi n»، «n \in Z»
2. «tg x=1»، «x=arctg 1+\pi n»، «x_2=\pi/4+\pi n»، «n \in Z».

پاسخ دهید. `x_1=arctg (-2)+\pi n`، `n \in Z`، `x_2=\pi/4+\pi n`، `n \in Z`.

به نیم گوشه بروید

مثال. معادله را حل کنید: '11 sin x - 2 cos x = 10'.

راه حل. بیایید فرمول‌های زاویه دوتایی را اعمال کنیم و به این نتیجه می‌رسیم: `22 sin (x/2) cos (x/2) -`` 2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2 =` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

با استفاده از روش جبری که در بالا توضیح داده شد، به دست می آوریم:

1. «tg x/2=2», «x_1=2 arctg 2+2\pi n»، «n \in Z»،
2. «tg x/2=3/4»، «x_2=arctg 3/4+2\pi n»، «n \in Z».

پاسخ دهید. `x_1=2 arctg 2+2\pi n، n \in Z`، `x_2=arctg 3/4+2\pi n`، `n \in Z`.

معرفی زاویه کمکی

در معادله مثلثاتی "a sin x + b cos x =c" که در آن a,b,c ضرایب هستند و x یک متغیر است، هر دو طرف را بر "sqrt (a^2+b^2) تقسیم کنید:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

ضرایب سمت چپ دارای ویژگی های سینوس و کسینوس هستند، یعنی مجموع مربع های آنها برابر با 1 است و مدول های آنها بزرگتر از 1 نیست. اجازه دهید آنها را به صورت زیر نشان دهیم: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`، سپس:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

بیایید نگاهی دقیق تر به مثال زیر بیندازیم:

مثال. معادله "3 sin x+4 cos x=2" را حل کنید.

راه حل. هر دو طرف تساوی را بر 'sqrt (3^2+4^2)' تقسیم کنید، به دست می آوریم:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

«3/5 گناه x+4/5 cos x=2/5».

بیایید "3/5 = cos \varphi"، "4/5=sin \varphi" را نشان دهیم. از آنجایی که `sin \varphi>0`، `cos \varphi>0`، پس "\varphi=arcsin 4/5" را به عنوان یک زاویه کمکی در نظر می گیریم. سپس برابری خود را به شکل زیر می نویسیم:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

با اعمال فرمول مجموع زوایای سینوس، تساوی خود را به شکل زیر می نویسیم:

`sin (x+\varphi)=2/5`،

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

پاسخ دهید. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

معادلات مثلثاتی گویا کسری

اینها تساوی با کسری هستند که صورت و مخرج آنها دارای توابع مثلثاتی هستند.

مثال. معادله را حل کنید. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

راه حل. سمت راست تساوی را ضرب و تقسیم بر «(1+cos x)» کنید. در نتیجه دریافت می کنیم:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

با توجه به اینکه مخرج نمی تواند برابر با صفر باشد، «1+cos x \ne 0»، «cos x \ne -1»، «x \ne \pi+2\pi n، n \in Z» به دست می‌آید.

بیایید عدد کسر را با صفر برابر کنیم: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. سپس «sin x=0» یا «1-sin x=0».

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. «1-sin x=0»، «sin x=-1»، «x=\pi /2+2\pi n، n \in Z».

با توجه به اینکه `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`، راه حل ها عبارتند از `x=2\pi n, n \in Z` و `x=\pi /2+2\pi n` ، `n \ در Z`.

پاسخ دهید. `x=2\pi n`، `n \in Z`، `x=\pi /2+2\pi n`، `n \in Z`.

مثلثات و به طور خاص معادلات مثلثاتی تقریباً در تمام زمینه های هندسه، فیزیک و مهندسی استفاده می شود. مطالعه از کلاس دهم شروع می شود، همیشه وظایفی برای آزمون یکپارچه دولتی وجود دارد، بنابراین سعی کنید تمام فرمول های معادلات مثلثاتی را به خاطر بسپارید - آنها قطعا برای شما مفید خواهند بود!

با این حال، شما حتی نیازی به حفظ آنها ندارید، نکته اصلی این است که ماهیت را درک کنید و بتوانید آن را استخراج کنید. آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست. خودتان با تماشای ویدیو ببینید.

مفهوم حل معادلات مثلثاتی.

• برای حل یک معادله مثلثاتی، آن را به یک یا چند معادله مثلثاتی اصلی تبدیل کنید. حل یک معادله مثلثاتی در نهایت به حل چهار معادله مثلثاتی اصلی ختم می شود.

حل معادلات مثلثاتی پایه

• 4 نوع معادلات مثلثاتی اساسی وجود دارد:
• گناه x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• حل معادلات مثلثاتی اولیه شامل نگاه کردن به موقعیت های x مختلف در دایره واحد و همچنین استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب) است.
• مثال 1. sin x = 0.866. با استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب) به این پاسخ خواهید رسید: x = π/3. دایره واحد پاسخ دیگری می دهد: 2π/3. به یاد داشته باشید: همه توابع مثلثاتی تناوبی هستند، به این معنی که مقادیر آنها تکرار می شود. برای مثال، تناوب sin x و cos x 2πn است و تناوب tg x و ctg x πn است. بنابراین پاسخ به صورت زیر نوشته می شود:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• مثال 2. cos x = -1/2. با استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب) به این پاسخ خواهید رسید: x = 2π/3. دایره واحد پاسخ دیگری می دهد: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• مثال 3. tg (x - π/4) = 0.
• پاسخ: x = π/4 + πn.
• مثال 4. ctg 2x = 1.732.
• پاسخ: x = π/12 + πn.

تبدیل های مورد استفاده در حل معادلات مثلثاتی.

• برای تبدیل معادلات مثلثاتی از تبدیل های جبری (فاکتورسازی، کاهش عبارت های همگن و ...) و هویت های مثلثاتی استفاده می شود.
• مثال 5: با استفاده از هویت های مثلثاتی، معادله sin x + sin 2x + sin 3x = 0 به معادله 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 تبدیل می شود. بنابراین، معادلات مثلثاتی اساسی زیر باید حل شود: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• یافتن زاویه با استفاده از مقادیر تابع شناخته شده

  • قبل از یادگیری نحوه حل معادلات مثلثاتی، باید یاد بگیرید که چگونه زاویه ها را با استفاده از مقادیر تابع شناخته شده پیدا کنید. این را می توان با استفاده از جدول تبدیل یا ماشین حساب انجام داد.
  • مثال: cos x = 0.732. ماشین حساب پاسخ x = 42.95 درجه را می دهد. دایره واحد زوایای اضافی می دهد که کسینوس آن نیز 0.732 است.

• محلول را روی دایره واحد کنار بگذارید.

  • می توانید جواب های معادله مثلثاتی را روی دایره واحد رسم کنید. راه حل های معادله مثلثاتی روی دایره واحد رئوس یک چندضلعی منتظم هستند.
  • مثال: جواب های x = π/3 + πn/2 روی دایره واحد نشان دهنده رئوس مربع هستند.
  • مثال: راه حل های x = π/4 + πn/3 روی دایره واحد نشان دهنده رئوس یک شش ضلعی منتظم است.

• روش های حل معادلات مثلثاتی.

  • اگر یک معادله مثلثاتی معین فقط یک تابع مثلثاتی داشته باشد، آن معادله را به عنوان یک معادله مثلثاتی پایه حل کنید. اگر یک معادله داده شده شامل دو یا چند تابع مثلثاتی باشد، 2 روش برای حل چنین معادله ای (بسته به امکان تبدیل آن) وجود دارد.
    • روش 1.
  • این معادله را به معادله ای به این شکل تبدیل کنید: f(x)*g(x)*h(x) = 0، که در آن f(x)، g(x)، h(x) معادلات مثلثاتی اولیه هستند.
  • مثال 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • راه حل. با استفاده از فرمول دو زاویه sin 2x = 2*sin x*cos x، جایگزین sin 2x کنید.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. حالا دو معادله مثلثاتی اصلی را حل کنید: cos x = 0 و (sin x + 1) = 0.
  • مثال 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • راه حل: با استفاده از هویت های مثلثاتی، این معادله را به یک معادله تبدیل کنید: cos 2x(2cos x + 1) = 0. حال دو معادله مثلثاتی اصلی را حل کنید: cos 2x = 0 و (2cos x + 1) = 0.
  • مثال 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • راه حل: با استفاده از هویت های مثلثاتی، این معادله را به معادله ای به شکل: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0 تبدیل کنید. اکنون دو معادله مثلثاتی اصلی را حل کنید: cos 2x = 0 و (2sin x + 1) = 0 .
    • روش 2.
  • معادله مثلثاتی داده شده را به معادله ای که فقط یک تابع مثلثاتی دارد تبدیل کنید. سپس این تابع مثلثاتی را با یک تابع مجهول جایگزین کنید، به عنوان مثال، t (sin x = t؛ cos x = t؛ cos 2x = t، tan x = t؛ tg (x/2) = t و غیره).
  • مثال 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • راه حل. در این معادله (cos^2 x) را با (1 - sin^2 x) (با توجه به هویت) جایگزین کنید. معادله تبدیل شده به صورت زیر است:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x را با t جایگزین کنید. حالا معادله به نظر می رسد: 5t^2 - 4t - 9 = 0. این یک معادله درجه دوم است که دو ریشه دارد: t1 = -1 و t2 = 9/5. ریشه دوم t2 محدوده تابع (-1) را برآورده نمی کند< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • مثال 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • راه حل. tg x را با t جایگزین کنید. معادله اصلی را به صورت زیر بازنویسی کنید: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. حالا t را پیدا کنید و سپس x را برای t = tan x پیدا کنید.

نیاز به دانش فرمول های اساسی مثلثات - مجموع مربع های سینوس و کسینوس، بیان مماس از طریق سینوس و کسینوس، و دیگران است. برای کسانی که آنها را فراموش کرده اند یا آنها را نمی شناسند، خواندن مقاله "" را توصیه می کنیم.
بنابراین، ما فرمول های مثلثاتی اساسی را می دانیم، وقت آن است که از آنها در عمل استفاده کنیم. حل معادلات مثلثاتیبا رویکرد درست، این یک فعالیت بسیار هیجان انگیز است، مانند حل مکعب روبیک.

بر اساس نام خود مشخص می شود که معادله مثلثاتی معادله ای است که مجهول در آن تحت علامت تابع مثلثاتی قرار دارد.
به اصطلاح ساده ترین معادلات مثلثاتی وجود دارد. شکل ظاهری آنها به این صورت است: sinx = a، cos x = a، tan x = a. در نظر بگیریم چگونه می توان چنین معادلات مثلثاتی را حل کرد، برای وضوح، از دایره مثلثاتی آشنا استفاده خواهیم کرد.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

تخت x = a

هر معادله مثلثاتی در دو مرحله حل می شود: معادله را به ساده ترین شکل آن کاهش می دهیم و سپس آن را به صورت یک معادله مثلثاتی ساده حل می کنیم.
7 روش اصلی برای حل معادلات مثلثاتی وجود دارد.

1. جایگزینی متغیر و روش جایگزینی

حل معادله 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

با استفاده از فرمول های کاهش می گیریم:

2cos 2 (x + /6) - 3cos(x + /6) +1 = 0

برای ساده کردن و به دست آوردن معادله درجه دوم معمول، cos(x + /6) را با y جایگزین کنید:

2 سال 2 - 3 سال + 1 + 0

که ریشه های آن y 1 = 1، y 2 = 1/2 است

حالا به ترتیب معکوس برویم

مقادیر یافت شده y را جایگزین می کنیم و دو گزینه پاسخ می گیریم:

2. حل معادلات مثلثاتی از طریق فاکتورسازی

چگونه معادله sin x + cos x = 1 را حل کنیم؟

بیایید همه چیز را به سمت چپ حرکت دهیم تا 0 در سمت راست باقی بماند:

sin x + cos x – 1 = 0

اجازه دهید از هویت هایی که در بالا بحث شد برای ساده کردن معادله استفاده کنیم:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

بیایید فاکتورسازی کنیم:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

دو معادله بدست می آوریم

3. کاهش به یک معادله همگن

یک معادله از نظر سینوس و کسینوس همگن است اگر تمام عبارات آن نسبت به سینوس و کسینوس توان یکسان از یک زاویه باشد. برای حل یک معادله همگن به صورت زیر عمل کنید:

الف) تمام اعضای خود را به سمت چپ منتقل کنید.

ب) همه عوامل مشترک را از پرانتز خارج کنید.

ج) همه عوامل و براکت ها را با 0 برابر کنید.

د) در پرانتز یک معادله همگن با درجه پایین تر به دست می آید که به نوبه خود به سینوس یا کسینوس درجه بالاتر تقسیم می شود.

ه) معادله حاصل را برای tg حل کنید.

حل معادله 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

بیایید از فرمول sin 2 x + cos 2 x = 1 استفاده کنیم و از دو باز سمت راست خلاص شویم:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

تقسیم بر cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tan x را با y جایگزین کنید و یک معادله درجه دوم بدست آورید:

y 2 + 4y +3 = 0، که ریشه آن y 1 = 1، y 2 = 3 است

از اینجا دو راه حل برای معادله اصلی پیدا می کنیم:

x 2 = آرکتان 3 + k

4. حل معادلات از طریق انتقال به نیم زاویه

معادله 3sin x – 5cos x = 7 را حل کنید

بیایید به x/2 برویم:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

بیایید همه چیز را به سمت چپ منتقل کنیم:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

تقسیم بر cos(x/2):

tg 2 (x/2) - 3tg (x/2) + 6 = 0

5. معرفی زاویه کمکی

برای در نظر گرفتن، اجازه دهید معادله ای به شکل: a sin x + b cos x = c،

که در آن a، b، c برخی از ضرایب دلخواه هستند و x یک مجهول است.

بیایید هر دو طرف معادله را بر دو تقسیم کنیم:



اکنون ضرایب معادله، طبق فرمول های مثلثاتی، دارای ویژگی های sin و cos هستند، یعنی: مدول آنها بیشتر از 1 نیست و مجموع مربع ها = 1. اجازه دهید آنها را به ترتیب به عنوان cos و sin نشان دهیم، جایی که - این است. به اصطلاح زاویه کمکی. سپس معادله به شکل زیر در می آید:

cos * sin x + sin * cos x = c

یا sin(x + ) = C

راه حل این ساده ترین معادله مثلثاتی است

x = (-1) k * arcsin C - + k، که در آن



لازم به ذکر است که نمادهای cos و sin قابل تعویض هستند.

معادله sin 3x – cos 3x=1 را حل کنید

ضرایب در این معادله عبارتند از:

a = , b = -1 پس هر دو طرف را بر 2 تقسیم کنید