Piirkonna mõiste

Mis tahes geomeetrilise kujundi, eriti kolmnurga pindala mõiste seostatakse sellise kujundiga nagu ruut. Mis tahes geomeetrilise kujundi pindalaühiku jaoks võtame ruudu pindala, mille külg on võrdne ühega. Täielikkuse huvides tuletagem meelde geomeetriliste kujundite pindala mõiste kaht põhiomadust.

Atribuut 1: Kui geomeetrilised kujundid on võrdsed, on ka nende pindalad võrdsed.

Atribuut 2: Iga figuuri saab jagada mitmeks figuuriks. Veelgi enam, algse joonise pindala on võrdne kõigi selle moodustavate arvude pindalade summaga.

Vaatame näidet.

Näide 1

Ilmselgelt on kolmnurga üks külgedest ristküliku diagonaal, mille ühe külje pikkus on $5$ (kuna seal on $5$ lahtrid) ja teine ​​on $6$ (kuna seal on $6$ lahtreid). Seetõttu on selle kolmnurga pindala võrdne poolega sellisest ristkülikust. Ristküliku pindala on

Siis on kolmnurga pindala võrdne

Vastus: 15 dollarit.

Järgmisena kaalume mitut meetodit kolmnurkade pindalade leidmiseks, nimelt kõrguse ja aluse, Heroni valemi ja võrdkülgse kolmnurga pindala abil.

Kuidas leida kolmnurga pindala selle kõrguse ja aluse abil

1. teoreem

Kolmnurga pindala võib leida poolena külje pikkuse ja selle külje kõrguse korrutisest.

Matemaatiliselt näeb see välja selline

$S=\frac(1)(2)αh$

kus $a$ on külje pikkus, $h$ on sellele tõmmatud kõrgus.

Tõestus.

Vaatleme kolmnurka $ABC$, milles $AC=α$. Sellele küljele tõmmatakse kõrgus $BH$, mis võrdub $h$. Ehitame selle kuni ruuduni $AXYC$ nagu joonisel 2.

Ristküliku $AXBH$ pindala on $h\cdot AH$ ja ristküliku $HBYC$ pindala on $h\cdot HC$. Siis

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Seetõttu on kolmnurga nõutav pindala omaduse 2 järgi võrdne

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teoreem on tõestatud.

Näide 2

Leidke allolevalt jooniselt kolmnurga pindala, kui lahtri pindala on võrdne ühega

Selle kolmnurga alus on võrdne $ 9 $ (kuna $ 9 $ on $ 9 $ ruudud). Kõrgus on samuti 9 dollarit. Seejärel saame teoreemi 1 järgi

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Vastus: 40,5 dollarit.

Heroni valem

2. teoreem

Kui meile on antud kolmnurga kolm külge $α$, $β$ ja $γ$, siis selle pindala leitakse järgmiselt

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

siin $ρ$ tähendab selle kolmnurga poolperimeetrit.

Tõestus.

Mõelge järgmisele joonisele:

Pythagorase teoreemi järgi saame kolmnurgast $ABH$

Kolmnurgast $CBH$ on Pythagorase teoreemi järgi meil

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Nendest kahest seosest saame võrdsuse

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Kuna $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, siis $α+β+γ=2ρ$, mis tähendab

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

1. teoreemiga saame

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Kolmnurk on kõigile tuttav kujund. Ja seda hoolimata selle vormide rikkalikust mitmekesisusest. Ristkülikukujuline, võrdkülgne, terav, võrdhaarne, nürikujuline. Igaüks neist on mõnes mõttes erinev. Kuid igaühe jaoks peate välja selgitama kolmnurga pindala.

Kõigile kolmnurkadele ühised valemid, mis kasutavad külgede või kõrguste pikkusi

Neis vastu võetud nimetused: küljed - a, b, c; kõrgused vastavatel külgedel a, n sisse, n koos.

1. Kolmnurga pindala arvutatakse ½, külje ja sellest lahutatud kõrguse korrutisena. S = ½ * a * n a. Ülejäänud kahe külje valemid tuleks kirjutada sarnaselt.

2. Heroni valem, milles esineb poolperimeeter (seda tähistatakse tavaliselt väikese tähega p, erinevalt täisperimeetrist). Poolperimeeter tuleb arvutada järgmiselt: liida kokku kõik küljed ja jaga need 2-ga. Poolperimeetri valem on: p = (a+b+c) / 2. Seejärel võrdub ​​joonis näeb välja selline: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Kui te ei soovi poolperimeetrit kasutada, on kasulik valem, mis sisaldab ainult külgede pikkusi: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). See on küll veidi pikem kui eelmine, kuid aitab sellest, kui oled unustanud, kuidas poolperimeetrit leida.

Üldvalemid, mis hõlmavad kolmnurga nurki

Valemite lugemiseks vajalikud tähistused: α, β, γ - nurgad. Need asuvad vastavalt vastaskülgedel a, b, c.

1. Selle järgi on pool kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest võrdne kolmnurga pindalaga. See tähendab: S = ½ a * b * sin γ. Ülejäänud kahe juhtumi valemid tuleks kirjutada sarnaselt.

2. Kolmnurga pindala saab arvutada ühe külje ja kolme teadaoleva nurga järgi. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. On olemas ka valem, millel on üks teadaolev külg ja kaks külgnevat nurka. See näeb välja selline: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Kaks viimast valemit ei ole kõige lihtsamad. Neid on üsna raske meeles pidada.

Üldvalemid olukorra jaoks, kui sissekirjutatud või piiritletud ringide raadiused on teada

Lisatähistused: r, R - raadiused. Esimest kasutatakse sisse kirjutatud ringi raadiuse jaoks. Teine on kirjeldatud jaoks.

1. Esimene valem, mille abil arvutatakse kolmnurga pindala, on seotud poolperimeetriga. S = r * r. Teine viis selle kirjutamiseks on: S = ½ r * (a + b + c).

2. Teisel juhul peate korrutama kolmnurga kõik küljed ja jagama need neljakordse piiritletud ringi raadiusega. Sõnasõnalises avaldises näeb see välja järgmine: S = (a * b * c) / (4R).

3. Kolmas olukord võimaldab teil teha külgi teadmata, kuid teil on vaja kõigi kolme nurga väärtusi. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Erijuhtum: täisnurkne kolmnurk

See on kõige lihtsam olukord, kuna nõutav on ainult mõlema jala pikkus. Neid tähistatakse ladina tähtedega a ja b. Täisnurkse kolmnurga pindala on võrdne poolega sellele lisatud ristküliku pindalast.

Matemaatiliselt näeb see välja järgmine: S = ½ a * b. Seda on kõige lihtsam meeles pidada. Kuna see näeb välja nagu ristküliku pindala valem, kuvatakse ainult murdosa, mis näitab poolt.

Erijuhtum: võrdhaarne kolmnurk

Kuna sellel on kaks võrdset külge, näivad mõned selle ala valemid mõnevõrra lihtsustatud. Näiteks Heroni valem, mis arvutab võrdhaarse kolmnurga pindala, on järgmisel kujul:

S = ½ tolli √((a + ½ tolli)*(a - ½ tolli)).

Kui muudate selle, muutub see lühemaks. Sel juhul kirjutatakse Heroni võrdhaarse kolmnurga valem järgmiselt:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

Pindala valem tundub mõnevõrra lihtsam kui suvalise kolmnurga puhul, kui küljed ja nendevaheline nurk on teada. S = ½ a 2 * sin β.

Erijuhtum: võrdkülgne kolmnurk

Tavaliselt on probleemide puhul teada, mis pool sellega seotud on või saab selle kuidagi teada. Siis on sellise kolmnurga pindala leidmise valem järgmine:

S = (a 2 √3) / 4.

Probleemid ala leidmisega, kui kolmnurk on kujutatud ruudulisel paberil

Lihtsaim olukord on siis, kui joonistatakse täisnurkne kolmnurk nii, et selle jalad langevad kokku paberi joontega. Siis peate lihtsalt loendama jalgadesse mahtuvate rakkude arvu. Seejärel korrutage need ja jagage kahega.

Kui kolmnurk on terav või nüri, tuleb see tõmmata ristkülikuks. Siis on saadud joonisel 3 kolmnurka. Üks on probleemis antud. Ja ülejäänud kaks on abi- ja ristkülikukujulised. Kahe viimase pindalad tuleb määrata ülalkirjeldatud meetodil. Seejärel arvutage ristküliku pindala ja lahutage sellest abipindade jaoks arvutatud väärtus. Kolmnurga pindala määratakse.

Olukord, kus kolmnurga ükski külg ei lange kokku paberi joontega, osutub palju keerulisemaks. Seejärel tuleb see kirjutada ristkülikusse, nii et algkujundi tipud jääksid selle külgedele. Sel juhul on kolm täisnurkset abikolmnurka.

Näide probleemist, kasutades Heroni valemit

Seisund. Mõnel kolmnurgal on teada küljed. Need on võrdsed 3, 5 ja 6 cm Peate välja selgitama selle pindala.

Nüüd saate ülaltoodud valemi abil arvutada kolmnurga pindala. Ruutjuure all on nelja arvu korrutis: 7, 4, 2 ja 1. See tähendab, et pindala on √(4 * 14) = 2 √(14).

Kui suuremat täpsust pole vaja, võite võtta ruutjuure 14-st. See võrdub 3,74-ga. Siis on ala 7.48.

Vastus. S = 2 √14 cm 2 või 7,48 cm 2.

Näidisülesanne täisnurkse kolmnurgaga

Seisund. Täisnurkse kolmnurga üks jalg on 31 cm suurem kui teine ​​Kui kolmnurga pindala on 180 cm 2, peate välja selgitama nende pikkused.
Lahendus. Peame lahendama kahe võrrandi süsteemi. Esimene on seotud piirkonnaga. Teine on jalgade suhtega, mis on antud ülesandes.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Esiteks tuleb "a" väärtus asendada esimeses võrrandis. Selgub: 180 = ½ (in + 31) * tolli. On ainult üks teadmata kogus, nii et seda on lihtne lahendada. Pärast sulgude avamist saadakse ruutvõrrand: 2 + 31 360 = 0. See annab kaks väärtust "in" jaoks: 9 ja - 40. Teine arv ei sobi vastuseks, kuna külje pikkus on kolmnurga väärtus ei saa olla negatiivne.

Jääb üle arvutada teine ​​jalg: saadud arvule lisada 31. Selgub, et ülesandes otsitakse neid koguseid.

Vastus. Kolmnurga jalad on 9 ja 40 cm.

Kolmnurga pindala, külje ja nurga kaudu külje leidmise ülesanne

Seisund. Teatud kolmnurga pindala on 60 cm 2. On vaja arvutada üks selle külgedest, kui teine ​​külg on 15 cm ja nende vaheline nurk on 30º.

Lahendus. Aktsepteeritud tähise alusel on soovitud külg “a”, teadaolev külg “b”, antud nurk “γ”. Seejärel saab pindala valemi ümber kirjutada järgmiselt:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Siin on 30 kraadi siinus 0,5.

Pärast teisendusi osutub "a" võrdseks 60 / (0,5 * 0,5 * 15). See on 16.

Vastus. Nõutav külg on 16 cm.

Ülesanne täisnurksesse kolmnurka kirjutatud ruudu kohta

Seisund. 24 cm küljega ruudu tipp langeb kokku kolmnurga täisnurgaga. Ülejäänud kaks asuvad külgedel. Kolmas kuulub hüpotenuusile. Ühe jala pikkus on 42 cm Mis on täisnurkse kolmnurga pindala?

Lahendus. Mõelge kahele täisnurksele kolmnurgale. Esimene on ülesandes määratud. Teine põhineb algse kolmnurga teadaoleval jalal. Need on sarnased, kuna neil on ühine nurk ja need on moodustatud paralleelsete joontega.

Siis on nende jalgade suhted võrdsed. Väiksema kolmnurga jalad on võrdsed 24 cm (ruudu külg) ja 18 cm (antud jalaga 42 cm lahutage ruudu külg 24 cm). Suure kolmnurga vastavad jalad on 42 cm ja x cm. Kolmnurga pindala arvutamiseks on vaja seda "x".

18/42 = 24/x, see tähendab x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Siis võrdub pindala 56 ja 42 korrutisega, mis on jagatud kahega, see tähendab 1176 cm 2.

Vastus. Vajalik pindala on 1176 cm2.

Kooli õppekava näeb ette lastele geomeetria õpetamise juba varakult. Üks põhiteadmisi selles valdkonnas on erinevate kujundite ala leidmine. Selles artiklis püüame anda kõikvõimalikud viisid selle väärtuse saamiseks, alates kõige lihtsamast kuni keerukaima.

Alus

Esimene valem, mida lapsed koolis õpivad, hõlmab kolmnurga pindala leidmist selle kõrguse ja aluse pikkuse kaudu. Kõrgus on segment, mis on tõmmatud kolmnurga tipust risti vastasküljega, millest saab alus. Kuidas leida nende suuruste abil kolmnurga pindala?

Kui V on kõrgus ja O on alus, siis on pindala S=V*O:2.

Teine võimalus soovitud väärtuse saamiseks eeldab, et me teame kahe külje pikkust ja nendevahelise nurga suurust. Kui meil on L ja M - külgede pikkused ja Q - nendevaheline nurk, siis saate pindala valemiga S=(L*M*sin(Q))/2.

Heroni valem

Lisaks kõigile teistele vastustele küsimusele, kuidas kolmnurga pindala arvutada, on olemas valem, mis võimaldab meil saada vajaliku väärtuse, teades ainult külgede pikkusi. See tähendab, et kui me teame kõigi külgede pikkusi, siis ei pea me kõrgust joonistama ja selle pikkust arvutama. Võime kasutada nn Heroni valemit.

Kui M, N, L on külgede pikkused, siis leiame kolmnurga pindala järgmiselt. P=(M+N+L)/2, siis on meile vajalik väärtus S 2 =P*(P-M)*(P-L)*(P-N). Lõpuks peame ainult juure arvutama.

Täisnurkse kolmnurga puhul on Heroni valem veidi lihtsustatud. Kui M, L on jalad, siis S=(P-M)*(P-L).

Suhtlusringid

Teine viis kolmnurga pindala leidmiseks on kasutada ümber- ja ümberringjooni. Vajaliku väärtuse saamiseks sisse kirjutatud ringi abil peame teadma selle raadiust. Tähistame seda "r-ga". Siis on valem, mille järgi arvutusi teostame, järgmisel kujul: S=r*P, kus P on pool kõigi külgede pikkuste summast.

Täisnurkses kolmnurgas on seda valemit veidi muudetud. Muidugi võite kasutada ülaltoodud väljendit, kuid arvutuste tegemiseks on parem kasutada teistsugust avaldist. S=E*W, kus E ja W on nende lõikude pikkused, milleks hüpotenuus on jagatud ringi puutumispunktiga.

Piiratud ringist rääkides pole ka kolmnurga pindala leidmine keeruline. Võttes kasutusele tähise R kui piiritletud ringi raadius, saate vajaliku väärtuse arvutamiseks vajaliku järgmise valemi: S= (M*N*L):(4*R). Kus kolm esimest suurust on kolmnurga küljed.

Rääkides võrdkülgsest kolmnurgast, saate mitmete lihtsate matemaatiliste teisenduste abil saada veidi muudetud valemeid:

S=(3 1/2 *M2)/4;

S=(3*3 1/2 *R2)/4;

S=3*3 1/2*r2.

Igal juhul saab mis tahes valemit, mis võimaldab teil leida kolmnurga pindala, muuta vastavalt ülesande andmetele. Seega ei ole kõik kirjalikud väljendid absoluutsed. Probleemide lahendamisel mõelge, et leida sobivaim lahendus.

Koordinaadid

Koordinaatide telgede uurimisel muutuvad õpilaste ees seisvad ülesanded keerukamaks. Siiski mitte niivõrd, kuivõrd paanikaks. Kolmnurga pindala leidmiseks tippude koordinaatide järgi saate kasutada sama, kuid veidi muudetud Heroni valemit. Koordinaatide jaoks on see järgmine vorm:

S=((x2-x1)2*(y2-y1)2*(z2-z 1) 2) 1/2.

Keegi ei keela aga koordinaatide abil kolmnurga külgede pikkusi ja seejärel ülalpool kirjutatud valemite abil pindala arvutamist. Koordinaatide pikkuseks teisendamiseks kasutage järgmist valemit:

l=((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2) 1/2.

Märkmed

Artiklis kasutati standardseid tähistusi koguste jaoks, mida kasutatakse enamikes probleemides. Sel juhul tähendab võimsus "1/2", et sulgude all tuleb eraldada kogu avaldise juur.

Olge valemi valimisel ettevaatlik. Mõned neist kaotavad olenevalt algtingimustest oma tähtsuse. Näiteks ümberringi valem. Ta suudab igal juhul teie eest tulemuse välja arvutada, kuid võib tekkida olukord, kus antud parameetritega kolmnurka ei pruugi üldse eksisteerida.

Kui istud kodus ja teed kodutöid, saad kasutada veebikalkulaatorit. Paljud saidid pakuvad võimalust arvutada erinevaid koguseid, kasutades etteantud parameetreid, ja pole vahet, millised. Võite lihtsalt sisestada algandmed väljadele ja arvuti (veebisait) arvutab teie eest tulemuse. Nii saad vältida ettevaatamatusest tehtud vigu.

Loodame, et meie artikkel vastas kõigile teie küsimustele erinevate kolmnurkade pindala arvutamise kohta ja te ei pea mujalt lisateavet otsima. Edu õpingutes!

Mõnikord tuleb elus ette olukordi, kus ammu unustatud kooliteadmiste otsimisel tuleb süveneda oma mällu. Näiteks peate määrama kolmnurkse maatüki pindala või on saabunud aeg korteris või eramajas uueks renoveerimiseks ja peate arvutama, kui palju materjali kulub pinna jaoks. kolmnurkne kuju. Oli aeg, mil saite sellise probleemi mõne minutiga lahendada, kuid nüüd proovite meeleheitlikult meeles pidada, kuidas kolmnurga pindala määrata?

Ära selle pärast muretse! On ju täiesti normaalne, kui inimese aju otsustab kaua kasutamata teadmised kuhugi kaugemasse nurka üle kanda, kust neid vahel nii lihtne välja tõmmata polegi. Et te ei peaks sellise probleemi lahendamiseks unustatud kooliteadmiste otsimisega vaeva nägema, sisaldab see artikkel erinevaid meetodeid, mis muudavad kolmnurga vajaliku ala leidmise lihtsaks.

On hästi teada, et kolmnurk on teatud tüüpi hulknurk, mis on piiratud minimaalse võimaliku külgede arvuga. Põhimõtteliselt saab iga hulknurga jagada mitmeks kolmnurgaks, ühendades selle tipud segmentidega, mis ei ristu selle külgi. Seetõttu saate kolmnurka teades arvutada peaaegu iga kujundi pindala.

Kõigi võimalike elus esinevate kolmnurkade hulgast saab eristada järgmisi konkreetseid tüüpe: ja ristkülikukujulised.

Lihtsaim viis kolmnurga pindala arvutamiseks on siis, kui selle üks nurk on täisnurkne, st täisnurkse kolmnurga puhul. On lihtne näha, et see on pool ristkülikut. Seetõttu on selle pindala võrdne poolega nende külgede korrutisest, mis moodustavad üksteisega täisnurga.

Kui teame kolmnurga kõrgust, mis on langetatud selle ühest tipust vastasküljele, ja selle külje pikkust, mida nimetatakse aluseks, siis arvutatakse pindala poolena kõrguse ja aluse korrutisest. See on kirjutatud järgmise valemi abil:

S = 1/2*b*h, milles

S on kolmnurga nõutav pindala;

b, h - vastavalt kolmnurga kõrgus ja alus.

Võrdhaarse kolmnurga pindala on nii lihtne arvutada, kuna kõrgus poolitab vastaskülje ja seda saab hõlpsasti mõõta. Kui pindala on määratud, siis on mugav võtta kõrguseks ühe täisnurga moodustava külje pikkus.

Kõik see on muidugi hea, aga kuidas teha kindlaks, kas kolmnurga üks nurkadest on õige või mitte? Kui meie figuuri suurus on väike, siis saame kasutada konstruktsiooninurka, joonistuskolmnurka, postkaarti või mõnda muud ristkülikukujulist eset.

Aga mis siis, kui meil on kolmnurkne maatükk? Sel juhul toimige järgmiselt: lugege ühelt poolt oletatava täisnurga ülaosast 3-kordne vahemaa (30 cm, 90 cm, 3 m) ja teiselt poolt mõõtke kaugus 4-ga. proportsioon (40 cm, 160 cm, 4 m). Nüüd peate mõõtma nende kahe segmendi lõpp-punktide vahelist kaugust. Kui tulemuseks on 5-kordne (50 cm, 250 cm, 5 m), siis võib öelda, et nurk on õige.

Kui meie joonise iga kolme külje pikkus on teada, saab kolmnurga pindala määrata Heroni valemi abil. Et sellel oleks lihtsam vorm, kasutatakse uut väärtust, mida nimetatakse poolperimeetriks. See on meie kolmnurga kõigi külgede summa, jagatud pooleks. Pärast poolperimeetri arvutamist saate ala määrata järgmise valemi abil:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), kus

sqrt - ruutjuur;

p - poolperimeetri väärtus (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - kolmnurga servad (küljed).

Aga mis siis, kui kolmnurgal on ebakorrapärane kuju? Siin on kaks võimalikku viisi. Esimene neist on püüda selline kujund jagada kaheks täisnurkseks kolmnurgaks, mille pindalade summa arvutatakse eraldi välja ja seejärel liidetakse. Või kui kahe külje vaheline nurk ja nende külgede suurus on teada, siis rakendage valemit:

S = 0,5 * ab * sinC, kus

a,b - kolmnurga küljed;

c on nende külgede vahelise nurga suurus.

Viimane juhtum on praktikas haruldane, kuid sellegipoolest on elus kõik võimalik, nii et ülaltoodud valem ei ole üleliigne. Edu teile arvutuste tegemisel!

Kolmnurga pindala - valemid ja näited probleemide lahendamisest

Allpool on valemid suvalise kolmnurga pindala leidmiseks mis sobivad iga kolmnurga pindala leidmiseks, olenemata selle omadustest, nurkadest või suurustest. Valemid on toodud pildi kujul ning siin on toodud ka selgitused nende rakendamise kohta või õigsuse põhjendus. Samuti on eraldi joonisel näidatud valemite tähemärkide ja joonisel olevate graafiliste sümbolite vastavus.

Märge . Kui kolmnurgal on eriomadused (võrdhaarne, ristkülik, võrdkülgne), võite kasutada alltoodud valemeid, aga ka täiendavaid erivalemeid, mis kehtivad ainult nende omadustega kolmnurkade puhul:

• "Võrdkülgse kolmnurga pindala valemid"

Kolmnurga pindala valemid

Valemite selgitused:
a, b, c- kolmnurga külgede pikkused, mille pindala tahame leida
r- kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius
R- ümber kolmnurga ümbritsetud ringi raadius
h- küljele langetatud kolmnurga kõrgus
lk- kolmnurga poolperimeeter, 1/2 selle külgede summast (ümbermõõt)
α - kolmnurga külje a vastasnurk
β - kolmnurga külje b vastasnurk
γ - kolmnurga külje c vastas olev nurk
h a, h b , h c- kolmnurga kõrgus on langetatud külgedele a, b, c

Pange tähele, et antud tähised vastavad ülaltoodud joonisele, nii et reaalse geomeetriaülesande lahendamisel on teil visuaalselt lihtsam valemis õigeid väärtusi õigetesse kohtadesse asendada.

• Kolmnurga pindala on pool kolmnurga kõrguse ja selle külje pikkuse korrutisest, mille võrra see kõrgus on langetatud(Vormel 1). Selle valemi õigsust saab mõista loogiliselt. Aluseni langetatud kõrgus jagab suvalise kolmnurga kaheks ristkülikukujuliseks. Kui ehitate igaüks neist ristkülikuks, mille mõõtmed on b ja h, siis ilmselgelt võrdub nende kolmnurkade pindala täpselt poolega ristküliku pindalast (Spr = bh)
• Kolmnurga pindala on pool selle kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest(Valem 2) (vt näidet ülesande lahendamisest selle valemi abil allpool). Hoolimata asjaolust, et see tundub eelmisest erinev, saab seda hõlpsasti muuta. Kui alandame kõrgust nurgast B küljele b, siis selgub, et külje a ja nurga γ siinuse korrutis võrdub siinuse omaduste järgi täisnurkses kolmnurgas meie joonistatud kolmnurga kõrgusega. , mis annab meile eelmise valemi
• Suvalise kolmnurga pindala on võimalik leida läbi tööd pool ringi raadiusest, mis on sellesse kantud kõigi selle külgede pikkuste summaga(Valem 3), lihtsalt öeldes, peate korrutama kolmnurga poolperimeetri sisse kirjutatud ringi raadiusega (seda on lihtsam meeles pidada)
• Suvalise kolmnurga pindala saab leida, jagades selle kõigi külgede korrutise selle ümber oleva ringi 4 raadiusega (valem 4)
• Valem 5 on kolmnurga pindala leidmine läbi selle külgede pikkuste ja poolperimeetri (pool kõigi külgede summast)
• Heroni valem(6) on sama valemi esitus ilma poolperimeetri mõistet kasutamata, ainult läbi külgede pikkuste
• Suvalise kolmnurga pindala võrdub kolmnurga külje ruudu ja selle küljega külgnevate nurkade siinuste korrutisega, mis on jagatud selle külje vastasnurga topeltsiinusega (valem 7)
• Suvalise kolmnurga pindala võib leida selle ringi kahe ruudu korrutisena, mis on ümbritsetud selle iga nurga siinustega. (Vormel 8)
• Kui ühe külje pikkus ja kahe külgneva nurga väärtused on teada, saab kolmnurga pindala leida selle külje ruuduna, mis on jagatud nende nurkade kotangentide topeltsummaga (valem 9)
• Kui on teada ainult kolmnurga iga kõrguse pikkus (valem 10), siis on sellise kolmnurga pindala pöördvõrdeline nende kõrguste pikkustega, nagu Heroni valemi järgi
• Valem 11 võimaldab arvutada kolmnurga pindala selle tippude koordinaatide põhjal, mis on iga tipu jaoks määratud kui (x;y) väärtused. Pange tähele, et saadud väärtus tuleb võtta modulo, kuna üksikute (või isegi kõigi) tippude koordinaadid võivad olla negatiivsete väärtuste piirkonnas

Märge. Järgnevalt on toodud näited geomeetriaülesannete lahendamisest kolmnurga pindala leidmiseks. Kui teil on vaja lahendada geomeetria ülesanne, mis pole siin sarnane, kirjutage sellest foorumisse. Lahendustes saab "ruutjuure" sümboli asemel kasutada funktsiooni sqrt(), milles sqrt on ruutjuure sümbol ja radikaalavaldis on märgitud sulgudes.Mõnikord võib sümbolit kasutada lihtsate radikaalsete väljendite jaoks √

Ülesanne. Leidke kahe külje ala ja nendevaheline nurk

Kolmnurga küljed on 5 ja 6 cm. Nurk nende vahel on 60 kraadi. Leidke kolmnurga pindala.

Lahendus.

Selle ülesande lahendamiseks kasutame tunni teoreetilisest osast valemit number kaks.
Kolmnurga pindala on võimalik leida läbi kahe külje pikkuse ja nendevahelise nurga siinuse ning see on võrdne
S=1/2 ab sin γ

Kuna meil on kõik lahenduseks vajalikud andmed olemas (vastavalt valemile), saame valemis asendada vaid probleemitingimuste väärtused:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabelist leiame ja asendame avaldisega siinuse väärtuse 60 kraadi. See võrdub kolm korda kahe juurega.
S = 15 √3/2

Vastus: 7,5 √3 (olenevalt õpetaja nõudmistest võid ilmselt jätta 15 √3/2)

Ülesanne. Leidke võrdkülgse kolmnurga pindala

Leidke võrdkülgse kolmnurga pindala, mille külg on 3 cm.

Lahendus.

Kolmnurga pindala saab leida Heroni valemi abil:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Kuna a = b = c, on võrdkülgse kolmnurga pindala valem järgmine:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Vastus: 9 √3 / 4.

Ülesanne. Pindala muutus külgede pikkuse muutmisel

Mitu korda suureneb kolmnurga pindala, kui külgi suurendada 4 korda?

Lahendus.

Kuna kolmnurga külgede mõõtmed on meile teadmata, siis ülesande lahendamiseks eeldame, et külgede pikkused on vastavalt võrdsed suvaliste arvudega a, b, c. Seejärel leiame ülesande küsimusele vastamiseks antud kolmnurga pindala ja seejärel selle kolmnurga pindala, mille küljed on neli korda suuremad. Nende kolmnurkade pindalade suhe annab meile vastuse probleemile.

Allpool anname samm-sammult probleemilahenduse tekstilise selgituse. Päris lõpus esitatakse see sama lahendus aga mugavamal graafilisel kujul. Soovijad võivad kohe lahenduse alla minna.

Lahenduseks kasutame Heroni valemit (vt ülalt tunni teoreetilises osas). See näeb välja selline:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vt pildi esimest rida allpool)

Suvalise kolmnurga külgede pikkused määratakse muutujatega a, b, c.
Kui külgi suurendada 4 korda, on uue kolmnurga c pindala:

S 2 = 1/4 ruutmeetrit ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(vt teist rida alloleval pildil)

Nagu näete, on 4 tavaline tegur, mille saab matemaatika üldreeglite järgi kõigist neljast avaldisest sulgudest välja võtta.
Siis

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - pildi kolmandal real
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - neljas rida

Arvu 256 ruutjuur on suurepäraselt eraldatud, nii et võtame selle juure alt välja
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vt alloleva pildi viiendat rida)

Ülesandes esitatud küsimusele vastamiseks peame lihtsalt saadud kolmnurga pindala jagama esialgse kolmnurga pindalaga.
Määrame pindala suhted, jagades avaldised üksteisega ja vähendades saadud murdosa.