Существует множество способов найти площадь трапеции. Обычно репетитор по математике владеет несколькими приемами ее вычисления, остановимся на них подробнее:
1) 
, где AD и BC основания, а BH-высота трапеции. Доказательство: проведем диагональ BD и выразим площади треугольников ABD и CDB через полупроизведение их оснований на высоту:
, где DP – внешняя высота в
Сложим почленно эти равенства и учитывая, что высоты BH и DP равны, получим:
Вынесем за скобку
Что и требовалось доказать.
Следствие из формулы площади трапеции:
Так как полусумма оснований равна MN — средней линии трапеции, то
2) Применение общей формулы площади четырехугольника
.
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними
Для доказательства достаточно разбить трапецию на 4 треугольника, выразить площадь каждого через «половину произведения диагоналей на синус угла между ними» (в качестве угла берется , сложить получившиеся выражения, вынести за скобку и раскладываю эту скобку на множители методом группировки получить ее равенство выражению . Отсюда
3) Метод сдвига диагонали
Это мое название. В школьных учебниках репетитор по математике не встретит такого заголовка. Описание приема можно найти только в дополнительных учебных пособиях в качестве примера решения какой-нибудь задачи. Отмечу, что большинство интересных и полезных фактов планиметрии репетиторы по математике открывают ученикам в процессе выполнения практической работы. Это крайне неоптимально, ибо школьнику нужно выделять их в отдельные теоремы и называть «громкими именами». Одно из таких – «сдвиг диагонали». О чем идет речь? Проведем через вершину B прямую параллельную к АС до пересечения с нижним основанием в точке E. В таком случае четырехугольник EBCA будет параллелограммом (по определению) и поэтому BC=EA и EB=AC. Нам сейчас важно первое равенство. Имеем:
Заметим, что треугольник BED, площадь которого равна площади трапеции, имеет еще несколько замечательных свойств:
1) Его площадь равна площади трапеции
2) Его равнобедренность происходит одновременно с равнобедренность самой трапеции
3) Верхний его угол при вершине B равен углу между диагоналями трапеции (что очень часто используется в задачах)
4) Его медиана BK равна расстоянию QS между серединами оснований трапеции. С применением этого свойства я недавно столкнулся при подготовке ученика на мехмат МГУ по учебнику Ткачука, вариант 1973 года (задача приводится внизу страницы).
Спецприемы репетитора по математике.
Иногда я предлагаю задачи на весьма хитрый путь нахождении я площади трапеции. Я отношу его к спецприемам ибо на практике репетитор их использует крайне редко. Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике только в части B, можно про них и не читать. Для остальных рассказываю дальше. Оказывается площадь трапеции в два раза больше площади треугольника с вершинами в концах одной боковой стороны и серединой другой, то есть треугольника ABS на рисунке:
Доказательство: проведем высоты SM и SN в треугольниках BCS и ADS и выразим сумму площадей этих треугольников:
Так как точка S – середина CD, то (докажите это сами).Найдем cумму площадей треугольников:
Так как эта сумма оказалась равной половине площади трапеции, то — вторая ее половина. Ч.т.д.
В копилку спецприемов репетитора я бы отнес форму вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам: где p – полупериметр трапеции. Доказательство я приводить не буду. Иначе ваш репетитор по математике останется без работы:). Приходите на занятия!
Задачи на площадь трапеции:
Замечание репетитора по математике : Нижеприведенный список не является методическим сопровождением к теме, это только небольшая подборка интересных задач на вышерассмотренные приемы.
1) Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 13, а верхнее равно 5. Найдите площадь трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
2) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2см и 5см, а боковые стороны 2см и 3см.
3) В равнобокой трапеции большее основание равно 11, боковая сторона равна 5, а диагональ равна Найти площадь трапеции.
4) Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь.
5) В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь трапеции
6) Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол . Найти площадь трапеции, если ее высота равна 6см.
7) Площадь трапеции равна 20, а одна из ее боковых сторон равна 4 см. Найдите расстояние до нее от середины противоположной боковой стороны.
8) Диагональ равнобокой трапеции делит ее на треугольники с площадями 6 и 14. Найти высоту, если боковая сторона равна 4.
9) В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найти площадь трапеции (Мехмат МГУ, 1970г).
Я выбирал не самые сложные задачи (не стоит пугаться мехмата!) с расчетом на возможность их самостоятельного решения. Решайте на здоровье! Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике, то без участия в этом процессе формулы площади трапеции могут возникнуть серьезные проблемы даже с задачей B6 и тем более с C4. Не запускайте тему и в случае каких-либо затруднений обращайтесь за помощью. Репетитор по математике всегда рад вам помочь.
Колпаков А.Н.
Репетитор по математике в Москве
, подготовка к ЕГЭ в Строгино
.
Потрудитесь проснуться раньше других и поверните подвешенный над ванной душ в сторону умывальника с таким расчетом, чтобы вода из него попадала аккурат на человека, который придет с утра почистить зубы. Не забудьте только переключить воду с умывальника на душ…
Самый телефонный
Не стоит забывать и про телефонные розыгрыши, хотя бы потому, что они самые простые в исполнении. Как разыграть человека подобным способом? К примеру, выбираете номер и просите, чтобы не отвечали на звонки в течение 10 минут, поскольку на линии работает мастер и его может ударить током. Через какое-то время перезваниваете по этому же номеру и, если трубку снова поднимают, издаете ужасающие крики.
Самый смешной
Так можно разыграть, например, Вашего шефа. В его офисе выберите шкаф выше человеческого роста и поставьте на него коробку. Но не простую. У нее должен быть открывающийся верх, но не должно быть дна. Заполняете коробку конфетти или пухом, а снаружи клеите яркую, заметную издалека и при этом вызывающую надпись, например, «Презервативы» или «Яйца средиземноморского перепела». Шеф заходит в кабинет, видит этакую неприличную коробку и естественно снимает ее со шкафа…
Самый безобидный
Покупаете две совершенно одинаковые пары домашних тапочек. Одну пару дарите девушке (жене, маме, брату, свату и т.д.), а другую припрятываете до лучших времен, которые, к примеру, наступят 1 апреля. Именно в этот день утром Вы спрячете два правых тапка, а у кровати выставите два левых (или наоборот). Вот так и получится, что еще вчера у Вашей жертвы были нормальные, а сегодня передвигаться по квартире она сможет только походкой испуганного богомола. Главное тут не купить впопыхах бесформенные тапки с минимальной дифференциацией на левый и правый.
Самый сообразительный
Берете трехлитровую банку, наливаете в нее воду и закрываете сверху листом бумаги. Затем переворачиваете банку вверх дном и ставите на стол или лучше ровный пол и вытаскиваете бумагу. Вода не вытекает. Естественно, банка посреди стола или на полу будет кому-то мешать. Но объекту розыгрыша придется долго ломать голову над тем, как избавиться от нее с минимальными жертвами. Сразу предупредим, что убрать банку с пола намного труднее, чем со стола. Другой вариант - проделать то же самое с кастрюлей или чашкой. Только в этом случае воды не будет видно, поэтому кому-то придется активно побегать с половой тряпкой.
Самый пенный
Запасаетесь тазиком горячей воды, шампунем и сухим льдом. Выливаете шампунь в горячую воду и кидаете туда лед. Химию мы в школе прогуливали, но знакомые химики сказали, что пены будет очень, очень, реально очень много. Так много, что можно заполнить комнату соседа, который по ночам излишне громко включает диск .
Самый чумазый
Для этого розыгрыша Вам понадобится не менее коварный чем Вы подельник. Для начала полностью сжигаете 10-15 спичек, и Вы растираете их в ладонях. Ладони становятся черными, но объекту розыгрыша их показывать нельзя. Затем находите этот самый объект в каком-нибудь людном месте и предлагаете показать ему фокус. Говорите, что сможете спичкой проткнуть его колено, но Вам нужно еще кое-то подготовить для фокуса, поэтому он должен закрыть глаза. Чтобы жертва не подсматривала, Вы закрываете ей глаза руками. Потом ассистент тщетно пытается проткнуть колено спичкой. У него ничего не получается, спичка ломается, а Вы в расстроенных чувствах сообщаете, что фокус не получился. При этом лицо у жертвы остается довольно-таки чумазым.
Самый туалетный
Рисуете табличку «Туалет М/Ж» и вешаете ее в каком-нибудь людном учреждении на двери совершенно другого помещения. Если совсем заморочиться, можно сделать указатели и стрелки, ведущие к псевдо- . Чем реже работники этого помещения будут выходить наружу, тем дольше провисит Ваша табличка и тем дольше служащие будут наблюдать людей, стремительно забегающих к ним, столбенеющих на месте и опрометью выбегающих прочь.
Самый компьютерный
Чтобы провернуть этот розыгрыш, Вам нужно купить прозрачный лак для ногтей и жидкость для его снятия, дабы после учиненного безобразия можно было безболезненно замести следы. Самая большая сложность заключается в том, что в офис придется приехать раньше всех его обитателей, что немилосердно по отношению к своему организму. На работе вынимаете штекер от системного блока компьютера из розетки и тщательно намазываете металлическую часть вилки прозрачным лаком. Ждете, пока лак высохнет, и снова вставляете в розетку. Поскольку лак не является проводником электричества, шансы на то, что компьютер жертвы заработает, более чем умозрительны. Вызов сисадминов и электриков обеспечен.
Самый на спор
На работе собираете коллег и предлагаете поспорить, что никто из них не сможет поставить стакан с водой на внешнюю сторону ладони. Сделать это может любой человек, не страдающий болезнью Паркинсона. Естественно находится кто-то, кто согласится все это продемонстрировать. Тогда говорите, что второй стакан на второй ладони он точно не удержит. Наивная жертва со словами «нет ничего проще» соглашается на второй стакан. После этого Вы разочарованно говорите: «Да я, в принципе, в тебе и не сомневался» и уходите в свой кабинет. Фишка в том, что снять оба стакана без чьей-либо помощи, не разлив воду, крайне трудно. Пройдет немало времени, прежде чем несчастный разыгранный взывая к помощи, догадается, что один стакан нужно просто выпить.
Надеемся, что теперь Вы знаете, как можно разыграть человека: близкого или коллегу по работе, шефа или друга. Удачных Вам розыгрышей!
Добрый день, дорогие гости!
Безобидные розыгрыши делают встречи друзей нескучными и оригинальными, жаль только то, что разыграть можно один раз. Предлагаю несколько способов как разыграть друзей или родственников. Чтобы розыгрыш прошел как надо, попросите гостей, которые ранее видели или слышали про шутку, не участвовать, просто побыть наблюдателем.
Невзначай между делом спросите: как правильно пишется пере- или пери- понная барабанка, все хором скажут, что «перепонная», а вы скажете: нет, не правильно! Правильно писать барабанная перепонка.
Попросите быстро ответить на вопрос: Винни Пух это кабан или все-таки свинья? 90% скажут, что кабан, остальные может и догадаются, что Винни Пух — это медвежонок.
Спросите сколько будет 10 раз по 100 гр, наши люди скажут хором — литр! На самом деле это килограмм.
Желательно, чтобы людей было более 5. Выберете двоих, которые не знают суть прикола. Их нужно отвести за предел слышимости. Оставшимся объясняете, что когда приведете первого участника и спросите «Кто из нас Кабардинский козел?», они должны со всей мочи кричать «Я!». Игрок покажет на кого-то, все должны согласиться и хвалить какой он молодец. Когда приведете второго игрока, зададите тот же самый вопрос и вот тут все должны промолчать. Затем зовите одного и скажите ему, что в толпе загадали «кабардинского козла», и ему надо отгадать кто это.
Громко объявляете: «Кто из нас кабардинский козел?». Все со всей мочи орут: «Я!». Вы объясняете первому, что кто громче орет тот и есть «кабардинский козел» (при необходимости эта процедура повторяется). Игрок указывает на кого-либо, все соглашаются, что он угадал (соглашаются независимо на кого он указал, так как никакого козла и не загадывали) хвалят его и предлагают присоединиться. Вот тут и начинается весь спектакль. Теперь действительно якобы выбирается «кабардинский козел» (можно даже первого игрока) и ему говорят, что он тоже со всеми должен орать «Я». Приводите второго игрока и также объясняете ему правила. Потом опять громко спрашиваете: «Кто из нас Кабардинский козел?». И тут слышится громкий крик первого «Я!» (Все остальные предупреждены, что второй раз не кричим). Все рыдают…
Зоопарк. Все участники встают в круг, на расстояние 30 см друг от друга. Ведущий объясняет правила: сейчас он (ведущий) скажет тихо на ухо название животного каждому игроку, потом когда игрок услышит свое животное, он должен быстро сесть на попу, если ему удастся это сделать, то этот игрок победитель, а другие игроки должны стараться не дать никому сесть. Затем ведущий начинает свой рассказ: пришел как-то раз я в зоопарк, иду и смотрю вдруг мне навстречу бежит волк (в это время игроки очень напряжены, они стараются успеть сесть на пол или не дать соседу справа или слева это сделать), а ведущий продолжает, иду дальше и вдруг смотрю, а сверху на меня смотрит жираф… так можно ведущему назвать 3-4 разных вида животных, и кульминация! — иду дальше и вижу стоит слон!!! все игроки разом повалились на пол. Розыгрыш состоит в том, что ведущий всем игрокам назвал Слона.
Игра-розыгрыш для друзей или гостей за столом на любом празднике «А у меня в штанишках». Вырежьте из журналов или газет заголовки, можно наклеить их на карточки, попросите своих друзей или гостей по очереди вытаскивать по одной, затем сказать «А у меня в штанишках…» и зачитать то, что написано.
Когда ваши друзья дойдут до нужной кондиции, т.е. будут уже изрядно навеселе, предложите повторить за вами поговорки. Но заранее сами несколько раз потренируйтесь обязательно вслух, чтобы выговорить поговорки правильно и без ошибок. Желательно, чтобы на вечере не было детей, т.к. взрослые могут не справится и выразиться нецензурно.
— Из-под выподверта.
— Было у меня две шляпы, одна модна, другая не модна.
— Стоит куль на холме, выйду нАхолм куль поправлю.
— Еду я по выбоинам, да из выбоин не выеду я.
, тоже очень круто можно разыграть друзей. Позаботьтесь только о костюме.
Загрузка...
